Una regla, una tabla y una gráfica pueden describir la misma relación entre números. ¿Qué cambia al cambiar la entrada?
Introduction to sets
Un conjunto solo registra qué elementos contiene, sin importar el orden ni las repeticiones. La unión, la intersección, la diferencia y el complemento describen relaciones entre conjuntos, y los intervalos y los diagramas de Venn hacen visibles esas relaciones.
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Introduction to function
Una regla convierte una entrada en una salida. Los cálculos, las tablas y las gráficas nos dan distintas formas de describir esa relación.
Edad orientativa · Reino Unido/EE. UU. 14+ · Asia Oriental 13+Abrir modelo¿Cómo se convierte el producto de paréntesis en una suma de términos? La expansión y la factorización recorren ese proceso en direcciones opuestas.
Binomial expansion
Un mismo producto puede aparecer más de una vez al multiplicar paréntesis. Contar esas elecciones explica los coeficientes.
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Factorization & the quadratic formula
¿Cómo se escribe una expresión expandida como dos factores? La factorización y completar el cuadrado nos dan dos formas de resolver una ecuación cuadrática.
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Unit circle & Trigonometry
Las coordenadas de un punto en un círculo permiten que el seno y el coseno describan ángulos más allá de los de un triángulo rectángulo.
Edad orientativa · Reino Unido/EE. UU. 16+ · Asia Oriental 16+Abrir modeloLas coordenadas registran posiciones; los vectores además llevan dirección. Las cónicas, las coordenadas polares y los productos de vectores conectan estas descripciones con la geometría.
Conic sections
Distintos cortes de un mismo cono doble producen un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola.
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Polar coordinates & curves
Una dirección y una distancia también sitúan un punto en el plano. Al variarlas se dibuja una curva polar.
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Dot product & cross product
El producto punto da un número; el producto vectorial da un vector. Ambos usan longitudes y direcciones en cálculos distintos, como el trabajo y los efectos de giro.
Edad orientativa · Reino Unido/EE. UU. 17+ · Asia Oriental 17+Abrir modeloEl velocímetro marca la rapidez en un instante; el cuentakilómetros acumula la distancia recorrida. Las derivadas y las integrales tratan precisamente estos dos tipos de cuestión.
Limits: approaching & growth
¿Qué les ocurre a los valores cercanos de una función cuando la entrada se acerca a un número? Sustituir ese número no siempre responde a esta pregunta.
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The definition of derivative
Una curva puede volverse más o menos empinada. Necesitamos una pendiente en cada punto y una forma de dibujar esas pendientes en otra gráfica.
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Approximation
Sabemos que la raíz cuadrada de 9 es 3. ¿Cómo estimar con más precisión la raíz cuadrada de 9.1? La altura y la pendiente de la tangente en un punto conocido permiten predecir valores cercanos y también ver el error de la aproximación.
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Taylor Expansion
Una recta solo puede igualar la altura y la pendiente de una curva en un punto. Añadir términos a un polinomio permite que más derivadas coincidan en ese punto. El desarrollo de Maclaurin elige el cero como ese punto; el de Taylor permite escoger otro centro.
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Riemann sum & integration
El área bajo una curva tiene una altura cambiante. Unos rectángulos estrechos nos dan una estimación que podemos refinar.
Edad orientativa · Reino Unido/EE. UU. 17+ · Asia Oriental 17+Abrir modeloUna matriz puede estirar o girar una figura, cambiar su área o aplastarla sobre una recta. Estos cambios dan un significado visible a los cálculos con matrices.
Matrix and linear transformation
Las dos columnas de una matriz registran a dónde van dos direcciones básicas y determinan lo que ocurre con toda la imagen.
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Matrix multiplication
Una fila y una columna producen una entrada. Las multiplicaciones y sumas individuales explican Ax, xA y AB.
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Determinants
Una matriz puede agrandar un cuadrado, reducirlo o aplastarlo por completo. Su determinante registra el cambio de área y de orientación.
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Four fundamental subspaces
Algunas salidas de una matriz no se pueden alcanzar; otras provienen de más de una entrada. Estas diferencias determinan si Ax = b tiene solución y si es única.
Edad orientativa · Reino Unido/EE. UU. 19+ · Asia Oriental 19+Abrir modelo整数能否整除，余数是否相同，选择共有多少种——分组、排列和推理可以帮助我们回答这些问题
Divisibility
Si tienes 26 fichas y las agrupas de 4 en 4, ¿cuántas sobran? Las cantidades de este pequeño ejemplo dan sentido al resto y a los divisores comunes, y sostienen el razonamiento del algoritmo de Euclides y de la factorización en primos.
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GCD and LCM
¿Cuántas bolsas idénticas se pueden llenar con 12 fichas rojas y 18 azules? ¿Cuándo vuelven a coincidir dos horarios que se repiten? Mueve los grupos y el reloj para ver por qué los restos y las listas de factores primos dan la respuesta.
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Permutations and combinations
Cuatro amigos pueden ocupar dos trabajos distintos de 12 formas, pero solo forman seis parejas. Sigue cada elección para ver por qué el orden cambia el recuento.
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Congruences
Hallar la última cifra de un número grande no exige calcularlo entero. Las congruencias conservan los restos de la división y permiten estudiar qué operaciones siguen siendo válidas, cuándo se pueden cancelar factores y si una ecuación tiene soluciones enteras.
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Chinese remainder theorem
Agrupar el mismo número de dos formas distintas deja dos registros de restos. Que ambos puedan cumplirse a la vez y qué números determinan depende de los factores que compartan los tamaños de grupo.
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Diophantine equations
¿Cómo se pueden combinar paquetes de 3 y de 5 para obtener exactamente 29? Los números de paquetes deben ser enteros, y esa restricción convierte las soluciones de una recta en puntos de una retícula; también cambia cómo comprobamos si hay solución y cómo las encontramos todas.
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Generating functions: counting with algebra
¿Cuántas combinaciones de monedas suman un mismo importe? Si los importes se registran en los exponentes y las formas de lograrlos en los coeficientes, el álgebra ayuda a organizar las opciones. Este mismo tipo de registro sirve también para dados y embaldosados.
Edad orientativa · Reino Unido/EE. UU. 19+ · Asia Oriental 19+Abrir modelo一张道路图只保留地点和连接，就能研究哪些地方互通，以及怎样用最少的步数到达目的地
Introduction to graph theory
Un mapa de rutas puede conservar solo los lugares y sus conexiones, dejando fuera la forma real de cada camino. Este tipo de grafo permite responder si dos lugares están conectados y también registrar cada lugar por revisar al buscar la ruta con menos pasos.
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Parametric equations
Un mismo t determina a la vez la coordenada horizontal y la vertical, así que también registra el orden en que un punto recorre la curva. La posición, la pendiente de la tangente y la integral de área con signo se describen con ese par de funciones coordenadas.
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First-order differential equations
Si sabemos cómo cambia una cantidad, ¿podemos recuperar su valor en cada instante? Una ecuación diferencial expresa la regla de cambio como una condición, y un valor inicial ayuda a elegir una solución. La solución exacta y la trayectoria aproximada del dibujo sirven para comprobarse mutuamente.
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A first look at groups
Al girar o reflejar un cuadrado con letras, su contorno puede no cambiar mientras las letras sí se mueven. Registrar estas operaciones permite comparar el efecto del orden, combinar instrucciones y encontrar la forma de deshacerlas.
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