Factorización y la fórmula cuadrática
Una pelota se lanza desde cierta altura. Después de segundos, su altura se escribe con una expresión que tiene un término en , un término en y una constante (la página del movimiento de proyectil muestra de dónde sale). En una expresión como , cada parte es un término: , y el número suelto , que es el término constante. Una ecuación con un término en , como , se llama ecuación cuadrática. ¿Cuándo llega la pelota al suelo? Necesitamos el valor de que hace que la altura sea cero, es decir, resolver una ecuación cuadrática. Normalmente metemos una entrada en una expresión y calculamos la salida, como en la página de la función. Aquí la pregunta va al revés: conocemos la salida que queremos y debemos hallar la entrada que la produce.
Expandir da . Tomar un término de cada paréntesis da , , y ; los términos del medio suman . Ahora tapa los paréntesis y deja visible la expansión. Para recuperarlos, los dos números deben sumar 5 y multiplicarse para dar 6. Ya tenemos algo concreto que buscar. Reescribir una suma como este tipo de producto es factorización. Si no se te ocurren enteros adecuados, no hace falta seguir adivinando: más adelante completaremos un cuadrado en el diagrama, explicaremos el álgebra correspondiente y deduciremos de esa construcción la fórmula cuadrática.
01¿De dónde sale cada término?
El exponente 2 significa dos paréntesis idénticos, no elevar cada término por separado. Elige una fórmula abajo y reproduce las cuatro selecciones.
Lee la identidad al revés: aquí x hace el papel de a y 3 el de b.
El signo debe coincidir en los dos paréntesis. El último término es siempre , porque tanto como dan . En cambio, el último término de es .
02Hallar los factores invirtiendo la expansión
Supón que se factoriza como . Las mayúsculas , , y son constantes que hay que hallar; las minúsculas , y son coeficientes conocidos, y recibe el nombre de coeficiente principal. Al expandir, se toma un término de cada paréntesis y se multiplican: salen cuatro términos, de los cuales dos contienen y se pueden combinar. Si la expansión y son iguales para todo , sus términos cuadrático, lineal y constante deben coincidir por separado. Comparar por separado el término cuadrático, el lineal y el constante da las tres condiciones siguientes.
Primero elige factores para el coeficiente principal y la constante. Los productos cruzados deben sumar el coeficiente del término medio. La multiplicación cruzada consiste en multiplicar con y con , y luego sumar los dos productos. Los paréntesis de abajo siempre reflejan lo que has elegido.
Si esta expresión es igual a cero, . ¿Por qué algún factor tiene que ser cero? Si no es cero, podemos dividir ambos lados entre él y queda . Por tanto, o bien , de donde , o bien , de donde . Al sustituir cualquiera de las dos respuestas, el producto original también da cero. Los factores enteros son cómodos, pero no toda ecuación cuadrática los tiene. Para esos casos recurriremos a completar el cuadrado.
03Construir la fórmula cuadrática paso a paso
La forma estándar de una ecuación cuadrática es , con . Queremos convertir el lado izquierdo en un cuadrado completo y despejar paso a paso. Recuperar el número original a partir de un cuadrado se llama extraer la raíz (radicación), y el resultado admite dos signos posibles: por ejemplo, si , entonces puede ser o . La notación indica el tamaño de sin su signo. Puedes hacer clic en cualquier línea para detenerte en ese paso y revisarlo.
Ejemplo de área: . Divide 6x en dos tiras de área 3x y mueve una alrededor del cuadrado. Aquí .
El coeficiente cuadrático a no puede ser cero, porque entonces la ecuación no es cuadrática.
¿Qué nos dice la raíz cuadrada?
: los dos signos dan la misma solución, una raíz doble.
