Funciones trigonométricas · De las razones entre lados a las coordenadas

Circunferencia unidad y funciones trigonométricas

Los ángulos aparecen por todas partes en la física. En el experimento del plano inclinado, solo una parte del peso del cuerpo tira de él a lo largo de la rampa, y el tamaño de esa parte depende del ángulo de la rampa. En un triángulo rectángulo, el seno y el coseno expresan esas partes como razones de longitudes de lados. Sin embargo, una rueda que gira, como los rotores de la página de rotación, pasa por ángulos mayores de 90° y sigue girando después de una vuelta completa. Esos ángulos no caben en un triángulo rectángulo, así que ¿qué deben significar su seno y su coseno?

Antes de dibujar un círculo entero, identifiquemos los tres lados de un triángulo rectángulo y hagamos que la hipotenusa mida 1 unidad. Así podemos leer las razones como las coordenadas de un punto. Cuando eso esté claro, el mismo punto puede seguir moviéndose por el círculo y la definición seguirá funcionando para cualquier ángulo.

01Conocer primero los tres lados

Elegimos el ángulo agudo inferior izquierdo como $\theta$ . La hipotenusa está frente al ángulo recto de 90° y es el lado más largo; el cateto opuesto está frente a $\theta$ ; el cateto adyacente está junto a $\theta$ , pero no es la hipotenusa.

Seno, coseno y tangente: razones entre los tres lados

\sin\theta=\frac{\text{Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}=\frac{O}{H}

Seno · Cateto opuesto dividido entre hipotenusa

\cos\theta=\frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}}=\frac{A}{H}

Coseno · Cateto adyacente dividido entre hipotenusa

\tan\theta=\frac{\text{Opuesto}}{\text{Cateto adyacente}}=\frac{O}{A}

Tangente · Cateto opuesto dividido entre cateto adyacente

Aquí $O$ , $A$ y $H$ abrevian las longitudes de los tres lados; no son puntos. Si el ángulo agudo $\theta$ es el mismo, los triángulos rectángulos semejantes tienen las mismas razones entre lados, aunque su tamaño sea distinto.

Aquí definimos razones, no la longitud de un lado concreto. A continuación, un radio de 1 hará que dos de esas razones se conviertan directamente en coordenadas.

02Hacer que la hipotenusa mida exactamente 1

Coloca $\theta$ en el origen y el cateto adyacente sobre el semieje positivo de $x$ . Mantén $\theta$ fijo y cambia la escala del triángulo hasta $H = 1$ : las razones entre lados de triángulos semejantes no cambian. Recordemos primero que la circunferencia unidad está formada por todos los puntos que cumplen $x^2+y^2=1$ ; cada punto está a distancia 1 del origen. Ahora la hipotenusa es un radio de la circunferencia unidad y su extremo es $P = (x, y)$ . Por ejemplo, partimos de lados de longitudes $A=4$ , $O=3$ y $H=5$ . Dividimos cada lado entre 5 y obtenemos $A=4/5$ , $O=3/5$ y $H=1$ . Los tres lados cambian de escala por el mismo factor, el ángulo no cambia y la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa sigue siendo $(3/5)/1=3/5$ . Al colocar el cateto adyacente sobre el eje horizontal, el extremo tiene coordenadas (4/5,3/5). En general, dividimos $A$ , $O$ y $H$ entre $H$ y obtenemos las coordenadas $(A/H,O/H)$ , que son respectivamente $\cos \theta$ y $\sin \theta$ .

Empecemos en el primer cuadrante

Aquí x e y son positivos. La longitud del cateto horizontal es $A = x$ , la del vertical es $O = y$ y la de la hipotenusa es $H = 1$ .

\sin\theta=\frac{O}{H}=\frac{O}{1}=O=y

El seno pasa a ser la coordenada vertical.

\cos\theta=\frac{A}{H}=\frac{A}{1}=A=x

El coseno pasa a ser la coordenada horizontal.

\tan\theta=\frac{O}{A}=\frac{y}{x}

Ángulo agudo

\theta

40°

P=(\cos\theta,\sin\theta)

Esta relación entre coordenadas procede directamente de las definiciones mediante razones anteriores. Prueba a cambiar $\theta$ : los catetos varían, pero el radio sigue siendo 1.

03Usar coordenadas para extender la definición a cualquier ángulo

Medimos desde el semieje positivo de $x$ : el sentido antihorario es positivo y el horario es negativo. Fuera del primer cuadrante, las longitudes de los lados no bastan para representar los signos. Definimos la coordenada horizontal del extremo en la circunferencia unidad como $\cos \theta$ y la vertical como $\sin \theta$ . Coincide con la definición para ángulos agudos y sigue funcionando durante toda una vuelta.

cos θ = x0.77

sin θ = y0.64

tan θ = y / x0.84

Ángulo

\theta

40°

\cos\theta=x,\qquad\sin\theta=y

Cuadrante	cos θ · x	sin θ · y
1	+	+
2	−	+
3	−	−
4	+	−

En los demás cuadrantes podemos seguir dibujando un triángulo rectángulo de referencia. Las longitudes de sus catetos son |x| e |y|, siempre no negativas; lo que tiene signo son las coordenadas x e y.

Tras otra vuelta completa, el extremo regresa al mismo lugar: sumar 360° al ángulo no cambia el seno ni el coseno. Por ejemplo, 450° y 90° corresponden al mismo punto.

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\quad(\cos\theta\ne0)