Secciones cónicas: qué deja un corte plano a través de un cono

En la sección 04 llevamos $e$ a 1 y vimos una curva abierta, a la que llamamos parábola. Ahora no basta con su aspecto: ¿cómo calculamos los puntos que están en ella? ¿Qué condición cumplen esos puntos para pertenecer a la misma curva?

Conservemos por un momento las coordenadas de la sección anterior: el foco $F$ es el origen, la dirección horizontal positiva apunta hacia $V$ y $FV = 1.5$. Sustituimos $e = 1$ en $r(1 + e \cos \theta ) = 1.5(1 + e)$ y obtenemos $r + r \cos \theta = 3$. La coordenada horizontal es $x = r \cos \theta$. Además, el triángulo rectángulo de $F$ a $P$ da $r^{2} = x^{2} + y^{2}$. Por lo tanto:

Restamos $x^{2}$ en ambos lados y obtenemos $y^{2} = 9 - 6x$, es decir, $x = 1.5 - y^{2}/6$. Como un cuadrado nunca es negativo, $x$ no puede superar 1.5; solo vale 1.5 cuando $y = 0$. Esto da el punto de giro $V = (1.5, 0)$, al que llamamos vértice. Valores opuestos de $y$ tienen el mismo cuadrado, así que las dos mitades de la curva son simétricas respecto al eje horizontal.

Aquí elevar al cuadrado no ha añadido puntos de más. En la ecuación obtenida se cumple $x \le 1.5$, así que $3 - x$ es positivo. Tomando la raíz cuadrada no negativa se recupera $r = 3 - x$, y el recíproco también vale.

Cambiar el origen para leer mejor la regla

La curva actual se abre hacia la izquierda. Para compararla con la gráfica de una función cuadrática que se abre hacia arriba, colocamos el origen en $V$. La nueva coordenada horizontal $X$ es la antigua $y$, y la nueva coordenada vertical $Y$ mide cuánto nos hemos desplazado hacia la izquierda desde $V$: $Y = 1.5 - x$. Estas dos direcciones siguen siendo perpendiculares y las longitudes unitarias no cambian. Al sustituir se obtiene:

Por ejemplo, las coordenadas antiguas (0, 3) pasan a ser (3, 1.5); el foco original (0, 0) pasa a (0, 1.5) y el vértice a (0, 0). El botón de abajo muestra los mismos puntos en los dos sistemas de coordenadas. A partir de la sección siguiente llamaremos de nuevo $x$ e $y$ a las nuevas coordenadas; entonces la curva que se abre hacia arriba se escribe $y = x^{2}/6$.

La ecuación nos permite calcular puntos, pero también queremos explicar su regla con distancias. En las nuevas coordenadas el foco está 1.5 por encima del vértice. Trazamos ahora una recta horizontal 1.5 por debajo del vértice y comparamos la distancia a $F$ de un punto con su distancia a esta recta. Si las dos distancias son iguales, el punto está igual de lejos de los dos objetivos.

Para estudiar también anchos distintos, llamamos $p$ a la distancia del vértice al foco y pedimos $p > 0$. Así, $F = (0, p)$ y la recta es $y = -p$. Esta recta fija de referencia se llama directriz; no es una recta trazada a lo largo de la curva. Al probar distintos puntos $P = (x, y)$, $F$ y la directriz permanecen fijos.

¿Qué significa la distancia a una recta entera?

En la recta hay muchísimos puntos. La distancia a esta recta es la distancia más corta a cualquiera de ellos. El punto de la recta con la misma coordenada horizontal que $P$ es $D = (x, -p)$; tiene la misma coordenada horizontal que $P$, así que $PD = |y + p|$. ¿Por qué es la más corta? Si tomamos otro punto $Q = (s, -p)$ de la recta, se añade una separación horizontal $x - s$. Del triángulo rectángulo se obtiene $PQ^{2} = (x - s)^{2} + (y + p)^{2}$. El primer término nunca es negativo y solo se anula cuando $s = x$, así que $D$ es realmente el más cercano. El valor absoluto mantiene la distancia no negativa incluso cuando $P$ está por debajo de la recta.

Para calcular la distancia a $F$, la separación horizontal es $x$ y la vertical es $y - p$, de modo que $PF = \sqrt{x^{2} + (y - p)^{2}}$. En el modelo, el naranja representa PF y el azul la directriz y el segmento perpendicular PD. Puedes cambiar $x$ e $y$ por separado y observar cómo cambian las dos distancias, o pedir al modelo que las iguale.

Deducir la curva a partir de distancias iguales

Escribimos $PF = PD$. Ambos lados son longitudes no negativas, así que al elevar al cuadrado las soluciones no cambian. Desarrollamos los paréntesis de ambos lados y restamos los términos $y^{2}$ y $p^{2}$ comunes:

La primera línea implica la última, y cada paso puede recorrerse al revés: la ecuación final garantiza que los cuadrados de las distancias son iguales, y si los cuadrados de longitudes no negativas son iguales, las longitudes también lo son. Hemos demostrado las dos direcciones. Por tanto, un punto equidista del foco y de la directriz si y solo si cumple $y = x^{2}/(4p)$. Con $p = 1.5$ se obtiene $y = x^{2}/6$, justamente la parábola de la sección 05.

Ahora también podemos leer el ancho. Si fijamos un $x$ distinto de cero, aumentar $p$ agranda el denominador y hace menor $y$, de modo que la curva es más ancha. Si una parábola que se abre hacia arriba se escribe $y = ax^{2}$ con $a > 0$, al comparar coeficientes se obtiene $a = 1/(4p)$, es decir, $p = 1/(4a)$. Por ejemplo, en $y = x^{2}/8$ se cumple $4p = 8$, así que $p = 2$, el foco es (0, 2) y la directriz es $y = -2$. Aquí el vértice está en el origen y el eje de simetría es vertical; si los ejes se trasladan o giran, hay que hacer el cambio de coordenadas correspondiente.

Un solo $P$ es apenas una respuesta a la condición de distancias. Si reunimos todos los puntos del plano que la cumplen, obtenemos un conjunto de puntos llamado lugar geométrico. Aquí, el lugar geométrico de los puntos equidistantes de $F$ y de la directriz es la parábola. «Todos» importa: no debe faltar ningún punto que cumpla la condición ni colarse ninguno que no la cumpla. Un punto en movimiento nos ayuda a observar el conjunto, pero el lugar geométrico en sí no depende de la velocidad ni de la dirección del movimiento.

Volvemos a $p = 1.5$. Elige una coordenada horizontal $x$; al elevar su cuadrado $x^{2}$ y dividirlo entre 6 se obtiene la altura necesaria. Por ejemplo, para $x = -3$ el cuadrado es 9 y la altura es $9/6 = 1.5$. Este punto está en la posición horizontal $-3$ y a una altura de 1.5. Repite el proceso con otros valores de $x$. El modelo registra las muestras una a una; usa el botón independiente de la curva para compararlas con la regla completa.

Dibujar 9 puntos no demuestra que los infinitos puntos restantes también cumplan la regla. La deducción en ambos sentidos de la sección 06 da esa prueba: todo punto que pasa la prueba de distancias debe cumplir la ecuación, y todo punto que cumple la ecuación pasa la prueba. Cada número real $x$ produce un único $y = x^{2}/6$, así que esta construcción no omite ninguna coordenada horizontal. La ventana de la pantalla es finita y solo muestra una parte de esta curva que se extiende sin límite.

Haz tú mismo la prueba de distancias

Toma el foco $F = (0, 1)$ y la directriz $y = -1$. ¿Cuál de los puntos $P = (2, 1)$ y $Q = (2, 2)$ pertenece al lugar geométrico? Calcula las dos distancias de cada punto. Después, halla el punto del lugar geométrico cuya coordenada horizontal es $-2$.