Coordenadas polares: dirección y distancia
El haz de un faro, el barrido de un radar o un planeta retenido cerca del Sol por la gravitación se describen de forma más natural con una dirección y una distancia desde un centro que con cuánto a la derecha y cuánto hacia arriba está. Para describir así un punto, giramos un ángulo y luego avanzamos una distancia en esa dirección. La página del círculo unitario usa la misma idea de girar para los puntos de un círculo y lee sus coordenadas e ; aquí la usamos para todo el plano.
Cambiar de coordenadas no mueve el punto. Estamos describiendo la misma posición: registra distancias horizontal y vertical, mientras que la nueva descripción registra una dirección y una distancia desde el origen. Pon las dos descripciones de un mismo punto una al lado de la otra para que cada número tenga algo a lo que apuntar. Cuando eso resulte familiar, podremos usar el ángulo como entrada y dejar que una regla elija la distancia, dejando tras el punto una curva entera. Si los radianes, el seno o el coseno te resultan desconocidos, el círculo de abajo los reconstruye; por ahora, sigue el giro y la distancia hacia fuera.
01Dos formas de dar coordenadas a un punto
En coordenadas cartesianas, un par de números determina un punto: indica la posición horizontal y la posición vertical. Las coordenadas polares describen el mismo plano de otra manera. Desde el origen podemos preguntar: ¿a qué distancia está el punto?, ¿en qué dirección se encuentra?
Supongamos que elegimos primero una distancia positiva . ¿Qué puntos están a distancia del origen? Hay más de uno: juntos forman una circunferencia de radio centrada en el origen. Así, con solo todavía queda toda una circunferencia de candidatos. Necesitamos un segundo número que seleccione uno: el ángulo medido en sentido antihorario desde el semieje positivo de . Al girar hasta elegimos un único punto de esa circunferencia. Por eso las coordenadas polares se escriben .
¿Por qué hay otra manera de expresar una vuelta completa?
Una unidad para medir ángulos es el grado: dividimos una vuelta completa en partes iguales y cada parte es un grado. También podemos medir ángulos mediante longitudes sobre una circunferencia. Partimos de su punto más a la derecha y giramos en sentido antihorario siguiendo el arco dorado. El radio es la distancia del centro a la circunferencia y lo representamos con ; representamos con la longitud recorrida sobre el arco. Ambas longitudes se expresan en la misma unidad.
La longitud del arco por sí sola no determina cuánto hemos girado: para el mismo ángulo, recorremos una distancia mayor en una circunferencia más grande. Pero si ampliamos la circunferencia por un factor de , tanto el radio como el arco se duplican y su cociente sigue siendo . Este cociente elimina la dependencia del tamaño; por eso definimos la medida en radianes como . Un radián es el ángulo cuyo arco tiene una longitud exactamente igual al radio.
Una vuelta completa recorre toda la longitud de la circunferencia, es decir, la distancia de dar una vuelta entera por ella. es la razón entre esa longitud y el diámetro; el diámetro es , así que la longitud de la circunferencia es . Como una vuelta recorre toda esa longitud, su medida en radianes es . Media vuelta es y un cuarto de vuelta es .
Si el ángulo mide grados, representa de una vuelta. Multiplicamos esa proporción por los radianes de una vuelta completa y obtenemos . Por ejemplo, corresponde a . Por eso podemos expresar una misma dirección tanto en grados como en radianes.
determina la circunferencia y determina la dirección
Cambia primero y observa la circunferencia discontinua: todos sus puntos están a distancia del origen, por lo que por sí solo no los distingue. Cambia después (medido en sentido antihorario desde el semieje positivo de ): el punto se mueve por esa misma circunferencia hasta quedar en una posición. También puedes arrastrarlo directamente sobre el disco. Cuando , la circunferencia se reduce al origen y cambiar no hace que el punto salga de él.
¿Cómo señalan el mismo punto las dos formas de localizarlo?
Ya sabemos encontrar un punto girando un ángulo y recorriendo una distancia. Las fórmulas posteriores también utilizarán sus coordenadas horizontal y vertical, así que necesitamos entender de dónde salen esos dos números. La circunferencia de referencia de abajo tiene radio y se llama circunferencia unidad. Elegido un ángulo, llamamos coseno de ese ángulo a la coordenada horizontal del punto sobre la circunferencia y lo escribimos ; llamamos seno a su coordenada vertical y lo escribimos .
La coordenada horizontal indica cuánto se desplaza el punto a derecha o izquierda: hacia la derecha es positiva y hacia la izquierda, negativa. La coordenada vertical es positiva hacia arriba y negativa hacia abajo. Esta definición funciona en toda la circunferencia unidad; incluso cuando el punto está sobre un eje y no forma un triángulo rectángulo de tamaño no nulo, las coordenadas conservan su significado.
Ahora mantenemos la dirección y ampliamos o reducimos la circunferencia unidad hasta obtener una de radio . Cada desplazamiento horizontal y vertical se multiplica por el mismo factor . La nueva coordenada horizontal es, por tanto, y la vertical, . El diagrama de escala de abajo muestra este cambio y representa por separado ambos desplazamientos.
| Circunferencia | Coordenada horizontal | Coordenada vertical |
|---|---|---|
| Circunferencia unidad |
Las coordenadas decimales se muestran con tres cifras decimales; las igualdades expresan la relación de escala exacta
Cuando , el punto de la circunferencia unidad está arriba del todo: el desplazamiento horizontal es y el vertical hacia arriba es . Según la definición que acabamos de dar, y . Al ampliar hasta , obtenemos y . Si cambiamos a , el punto queda a la derecha del todo y podemos leer igualmente y .
En el origen, hace que y para cualquier ángulo, así que el origen no tiene una dirección única. Deja el punto en el origen y cambia el ángulo: el punto de referencia sobre la circunferencia unidad se mueve, pero el punto real no. Fuera del origen, si tomamos una distancia positiva y permitimos ángulos desde hasta antes de , cada punto tiene una sola dirección polar; si permitimos vueltas completas adicionales, el mismo punto tiene más representaciones.
02Un punto tiene muchas representaciones polares
Antes de empezar a dibujar, conviene observar algo. Girar no es lo mismo que caminar horizontalmente: si seguimos girando, finalmente volvemos a la dirección inicial. ¿Qué implica esto para las coordenadas?
Dar otra vuelta completa y regresar al mismo punto
Pulsa «Una vuelta más» y observa cómo el brazo da una vuelta completa. Una vuelta completa es , es decir, . Al terminar, la dirección es exactamente la inicial y la posición final no cambia; durante el giro el punto sí se mueve y solo regresa al completar la vuelta. Por tanto, un punto tiene infinitas representaciones polares: para cada entero , representa ese mismo punto:
Esta es la principal diferencia con las coordenadas cartesianas, en las que es único. Al dibujar curvas aparece otra convención: un negativo significa «orientarse hacia y después caminar hacia atrás». Pulsa «Usar »: el punto queda al lado opuesto, de modo que y representan el mismo punto.
03Representar una regla polar punto a punto
Al dibujar , cada entrada produce una salida y determina el punto . Repitiendo el cálculo obtenemos puntos de muestra, y la regla también determina la gráfica entre ellos. Podemos tomar muestras de una curva polar de forma parecida, pero ahora la entrada es el ángulo y la salida es . La regla indica la distancia del punto al origen en cada dirección. Elegimos nueve ángulos entre 0 y , calculamos sus valores de y representamos los puntos .
| punto | ||
|---|---|---|
| 0 | … | |
| 0.79 | … | |
| 1.57 | … | |
| 2.36 | … | |
| 3.14 | … | |
| 3.93 | … | |
| 4.71 | … | |
| 5.50 | … | |
| 6.28 | … |
Para cada fila de la tabla, el brazo gira hasta el ángulo . El lápiz se desplaza en esa dirección y deja un punto donde se detiene.
04¿Por qué es una circunferencia?
Dibujemos ahora con el mismo método. Esta vez no depende en absoluto de : cualquiera que sea el ángulo, la distancia del punto al origen es 2. Reproduce la animación y compárala con .
| punto | ||
|---|---|---|
| 2.00 | … | |
| 2.00 | … | |
| 2.00 | … | |
| 2.00 | … | |
| 2.00 | … | |
| 2.00 | … | |
| 2.00 | … | |
| 2.00 | … | |
| 2.00 | … |
Para cada fila de la tabla, el brazo gira hasta el ángulo . El lápiz se desplaza en esa dirección y deja un punto donde se detiene.
En el primer cuadrante, la perpendicular al eje mide y la perpendicular al eje mide . En otros cuadrantes las longitudes tampoco pueden ser negativas, por lo que esas distancias son y . Las coordenadas con signo siguen siendo y : hacia abajo, es negativo; hacia la izquierda, es negativo. El cálculo con el teorema de Pitágoras que sigue usa los cuadrados de las coordenadas, así que es válido en todos los cuadrantes.
Las dos perpendiculares y el segmento del origen al punto delimitan un triángulo rectángulo; por el teorema de Pitágoras podemos calcular la distancia del punto al origen. Sacamos el factor común de la raíz y usamos . Recordemos de dónde sale esa igualdad: en la circunferencia unidad, el punto de ángulo es y está a distancia 1 del origen; por Pitágoras, . Finalmente, como es una distancia positiva, . Arrastra y comprueba si la lectura sigue siendo igual a .
Todos los puntos están a distancia del origen
Para cualquier elegido, la distancia calculada es . Por tanto, todos los puntos de están sobre la circunferencia de radio ; además, cada ángulo da un punto de ella y juntos cubren la circunferencia completa. Es decir, es la circunferencia centrada en el origen de radio .
05Otras curvas trazadas con la misma idea
Ahora que sabemos cómo una regla se convierte en una curva, veamos algunas curvas conocidas. Elige una y pulsa «Trazar la curva»: el brazo naranja gira a velocidad constante a través de , la regla determina y la zona sombreada es la región que acaba de barrer. Observa que el método siempre es el mismo, aunque el lápiz se comporte de formas muy distintas.
Al girar , varía entre y . Cada vez que pasa por cero, el lápiz vuelve al origen y se forma un pétalo; cuando es negativo, el lápiz aparece en el lado opuesto. Si es impar, hay pétalos y el trazado se completa de a ; si es par, hay pétalos y hace falta ir de a . Ahora vale 2 y hay 4 pétalos.
¿Por qué hay o pétalos?
El círculo mantiene la pluma siempre a la misma distancia. Aquí, mientras el ángulo gira, la distancia cambia según r=a cos(kθ), con a>0 y k un entero positivo. Elige la rosa y pulsa «Dibujar la curva»: entre dos ceros consecutivos del coseno, la pluma sale del origen, llega a la distancia a y vuelve; ese recorrido de ida y vuelta forma un pétalo. Cuando el radio es negativo, el pétalo se dibuja en el lado opuesto a la dirección elegida.
Ahora contamos los pétalos distintos, no las veces que se pasa por el mismo lugar. El radio positivo alcanza su máximo cuando kθ=2jπ; la distancia máxima del radio negativo ocurre cuando kθ=(2j+1)π, aunque la pluma tiene que invertir además π. Aquí j toma 0,1,…,k−1 en orden. Por eso, las dos familias de direcciones de los pétalos son estas:
Cuando k es impar, k+1 es par, así que las direcciones del radio negativo ya aparecen en la lista del radio positivo; una diferencia de una vuelta completa cuenta como la misma dirección, y solo hay k pétalos. Cuando k es par, 2j+k+1 es impar y no coincide con las direcciones pares de la lista del radio positivo, así que hay k+k=2k pétalos. Compara k=3 y k=4 en el modelo.
Esto también explica el intervalo de dibujo. Aumentar θ en π invierte la dirección. Cuando k es impar, el signo de cos(kθ) también se invierte, y las dos inversiones devuelven la pluma al mismo punto, así que con [0,π] ya se dibuja la curva completa. Cuando k es par, el signo del radio no cambia y la segunda mitad tiene que dibujar los pétalos del otro lado, por lo que se necesita [0,2π].
Alcance del modelo: geometría plana ideal con una unidad de longitud fija. Todos los ángulos de las fórmulas se expresan en radianes; el disco señala las posiciones de los cuartos de vuelta. En las rosas polares solo se permiten valores enteros de k.
