PHYSICS / FIELDS & GRAVITY · 02

Toda masa genera gravedad

Una manzana cae al suelo y la Luna sigue girando alrededor de la Tierra. La idea de Newton era que una sola atracción explica ambas cosas, y que actúa entre cada par de masas, no solo entre la Tierra y lo que está cerca de ella. En la página de la inversa del cuadrado encontramos por qué un efecto así puede debilitarse con el cuadrado de la distancia. Aquí añadimos las masas y usamos la tercera ley de Newton: si la Tierra atrae a una manzana, la manzana atrae a la Tierra con una fuerza del mismo tamaño. ¿Por qué, entonces, parece que solo se mueve la manzana?

«Fuerzas iguales» puede sonar a que los dos movimientos deberían ser igual de notorios. Recuerda la distinción de la segunda ley de Newton: la misma fuerza cambia la velocidad de una masa mayor más despacio. Da a los dos cuerpos masas parecidas y suéltalos juntos; luego haz uno más pesado y compara los cambios. La pregunta de la manzana y la Tierra ya tiene algo que podemos inspeccionar. Mantener las masas fijas mientras cambiamos su separación nos permite distinguir el efecto de la masa del efecto de la distancia, y dar a cada parte de la fórmula de la gravitación un trabajo concreto.

01Dos masas, una misma atracción mutua

En la mecánica newtoniana, toda masa genera un campo gravitatorio, incluidas las pequeñas esferas metálicas. Debemos considerar ambos cuerpos: manteniendo lo demás fijo, duplicar cualquiera de las masas duplica la fuerza; duplicar la distancia entre centros la reduce a un cuarto. Esta dependencia con las masas y la distancia está respaldada por experimentos y observaciones astronómicas.

Dos cuerpos aislados · Inicialmente en reposoCuerpos esféricamente simétricos · Distancia medida de centro a centro

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Fuerza sobre el cuerpo 1, dirigida hacia el cuerpo 2

F_{2\to1}=1.07\times10^{-9}\,\mathrm{N}

$a_1=5.34\times10^{-11}\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

Fuerza sobre el cuerpo 2, dirigida hacia el cuerpo 1

F_{1\to2}=1.07\times10^{-9}\,\mathrm{N}

$a_2=2.14\times10^{-10}\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

Las flechas de igual longitud permiten comparar ambas fuerzas en ese instante; consulta las lecturas para su magnitud absoluta. Suelta ambos cuerpos: el más ligero aumenta su velocidad más deprisa y el centro de masas común permanece fijo. La animación se detiene antes del contacto.

F\propto\frac{m_1m_2}{r^2},\qquad \frac{F}{F_0}=\frac{m_1}{20\,\mathrm{kg}}\frac{m_2}{5\,\mathrm{kg}}\left(\frac{2.5\,\mathrm m}{r}\right)^2=1.000

$F_0$ es la fuerza del ejemplo restablecido: masas de 20 kg y 5 kg, con sus centros separados 2,5 m. El factor en tiempo real indica cómo cambia la fuerza. $r$ es la distancia entre centros, no el espacio entre superficies.

El cuerpo 1 genera un campo

$g_1$ representa la fuerza por kilogramo que el cuerpo 1 genera allí. Cuanto mayor es la masa fuente, más intenso es el campo; la distancia introduce la variación geométrica inversa al cuadrado.

g_1=\frac{Gm_1}{r^2}

El cuerpo 2 recibe la acción del campo

Multiplicar la fuerza por kilogramo por la masa $m_2$ da la fuerza sobre el cuerpo 2. Al intercambiar los papeles de ambos cuerpos, la fuerza sobre el cuerpo 1 tiene exactamente la misma magnitud.

F_{1\to2}=m_2g_1=\frac{Gm_1m_2}{r^2}

02La constante G también tiene unidades

El factor de masa y distancia da la pauta correcta, pero sus unidades todavía no son newtons. Necesitamos una constante de proporcionalidad $G$ para convertirlo en una fuerza; comprueba primero qué unidades debe tener. Su valor numérico tiene que obtenerse por medición.

Dimensiones de la fuerza

Las dimensiones indican qué tipos básicos componen una magnitud. $M$ representa masa; $L$ , longitud; y $T$ , tiempo. Por $F = ma$ , la fuerza es masa por aceleración: masa por longitud dividida entre tiempo al cuadrado.

[F]=[M][L][T]^{-2},\qquad 1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}

[M]^1

Masa

[L]^1

Longitud

[T]^{-2}

Tiempo

\begin{gathered}F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\\G\approx6.67430\times10^{-11}\ \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\end{gathered}

\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}=\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}

$F$ Magnitud de la fuerza gravitatoria: La magnitud de la fuerza de atracción sobre cualquiera de los dos cuerpos, en newtons (N).
$m_1,\ m_2$ Las dos masas: Ambas masas entran en el producto y se miden en kilogramos (kg).
$r$ Distancia entre centros: La separación entre las dos masas puntuales o entre los centros de las dos esferas, en metros (m).
$G$ Constante gravitatoria: Una constante medida que fija la intensidad de la gravitación newtoniana. No es la g minúscula.

Que las dimensiones coincidan es solo una comprobación de coherencia necesaria: no demuestra la relación de la inversa del cuadrado ni la regla del producto de masas, ni permite calcular el valor de G. Eso requiere evidencia física. G es un valor medido, no un número exacto definido por convenio; su valor tan pequeño explica que la gravitación entre objetos corrientes sea muy débil.

03La Tierra te atrae y tú atraes a la Tierra. Las fuerzas son iguales.

La tercera ley de Newton dice que las dos fuerzas de una interacción tienen igual magnitud y sentidos opuestos. Lo decisivo es que actúan sobre cuerpos distintos. Abajo puedes seleccionar un solo cuerpo y ver únicamente la fuerza que actúa sobre él.

Solo se muestra la atracción gravitatoria entre estos dos cuerposEsquema no dibujado a escala

EarthPerson · enlarged viewR = 6,371 kmh = 0 kmLoading the Earth and human model…

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Tu fuerza gravitatoria sobre la Tierra589.2 N

La fuerza gravitatoria de la Tierra sobre ti589.2 N

El punto azul marca tu posición sobre la Tierra; R y h usan la misma escala del esquema. Una línea discontinua conecta el punto con la figura humana ampliada por separado; el cuerpo humano no se dibuja a la escala de la Tierra.

r = R + h = 6371 km

Cada flecha corresponde al cuerpo donde está su origen. Son dos fuerzas que actúan sobre cuerpos distintos; no significa que cada cuerpo reciba 2F.

Aceleración que te produce la gravedad terrestre

a_{\rm you}=\frac{F}{m}= 9.820\,\mathrm{m\,s^{-2}}

Aceleración que tu gravedad produce en la Tierra

a_{\rm Earth}=\frac{F}{M}= 9.87\times10^{-23}\,\mathrm{m\,s^{-2}}

Fuerzas iguales no implican aceleraciones iguales, porque $a = F/m$ . La masa de la Tierra es enorme, así que la aceleración que le produces es diminuta. Cuando estás de pie también recibes una fuerza de apoyo hacia arriba. Aquí aislamos la gravedad; no decimos que una persona de pie vaya a acelerar atravesando el suelo.

\begin{gathered}\vec F_{\rm Earth\to you}\\=-\vec F_{\rm you\to Earth}\\|F|=\frac{GMm}{r^2}\end{gathered}

No cuentes dos veces la misma interacción

La fuerza con que atraes a la Tierra actúa sobre la Tierra; la fuerza con que la Tierra te atrae actúa sobre ti. Cada cuerpo recibe una sola fuerza gravitatoria del otro, de magnitud $GMm/r^2$ , no «la gravedad de la Tierra + tu gravedad».

¿Por qué estas dos fuerzas no anulan tu caída?

Al calcular la fuerza neta sobre un cuerpo solo se suman las fuerzas que actúan sobre él. Si estudias juntos la Tierra y a ti, cambia la frontera del sistema: las dos fuerzas gravitatorias pasan a ser internas y se cancelan en el total. Para saber qué movimiento permanece entonces invariante, define primero el centro de masas como la posición media ponderada por las masas.

X=\frac{Mx_{\rm Earth}+mx_{\rm you}}{M+m}

Una masa dos veces mayor aporta el doble de peso a la posición. Por ejemplo, con 2 kg en $x=0$ y 1 kg en $x=3\ \mathrm{m}$ , $X=(2\times 0+1\times 3)/3=1\ \mathrm{m}$ , más cerca del cuerpo más pesado. Con masas constantes, derivar la posición dos veces respecto al tiempo da la aceleración del centro de masas $A=\dfrac{Ma_{\text{Earth}}+ma_{\text{you}}}{M+m}$ . La segunda ley de Newton sustituye el numerador por $F_{\text{Earth}}+F_{\text{you}}$ . Al ser fuerzas internas iguales y opuestas, el numerador es cero si no hay fuerza externa, y $A=0$ . Los dos cuerpos pueden acercarse y acelerar, mientras su centro de masas común se mueve con velocidad constante.

Piénsalo: si la Tierra te atrae con 600 N, ¿con qué fuerza atraes tú a la Tierra?

600 N, en sentido opuesto y actuando sobre la Tierra. La fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre ti sigue siendo 600 N, no 1,200 N. Como las masas son distintas, las aceleraciones también lo son.

04Dónde se aplica este modelo

Masas puntuales y esferas

En la gravitación newtoniana, la fórmula es exacta para masas puntuales y para dos cuerpos con simetría esférica que no se solapen. Con cuerpos irregulares cuya extensión no puede despreciarse hay que sumar las contribuciones de sus partes.

No es una descripción relativista

La relatividad general describe la gravedad mediante la geometría del espacio-tiempo. Cuando la gravedad es débil y las velocidades son muy inferiores a la de la luz, el modelo de Newton es una aproximación excelente; en regímenes de gravedad más intensa o velocidades mayores hay que corregirlo.

G y g son distintos

$G$ es la constante universal de la ley. $g$ es la intensidad del campo gravitatorio en un lugar, en $\mathrm{N/kg}$ (equivalente a $\mathrm{m/s^2}$ ), y cambia según la posición. Cerca de la superficie terrestre, $g$ es aproximadamente $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ .

Más adelante: otra descripción de la gravedad en la relatividad general

Lecturas adicionalesOpenStax · Gravitación universal NIST · Medir G OpenStax · Tercera ley de Newton NASA · Datos de la Tierra