¿Por qué aparece el cuadrado de la distancia?
Coloca una tarjeta junto a una lámpara pequeña que emite luz por igual en todas las direcciones. Aléjala y la misma área de tarjeta recibe menos luz. La lámpara no se ha atenuado y nada ha absorbido la luz en el camino. ¿A dónde ha ido la luz que falta? Sigue viajando hacia fuera, repartida por una región mayor. Antes de recordar una fórmula de distancia, necesitamos ver cómo se reparte la misma cantidad de luz sobre más área.
Dibuja una esfera alrededor de la fuente y piensa en ella como una cáscara delgada que atrapa toda la luz. Al expandirse, sigue la porción alcanzada por el mismo conjunto de direcciones. Duplicar la distancia duplica las dos longitudes de esa porción, así que su área se vuelve cuatro veces mayor. Repartir la misma luz sobre cuatro veces el área deja una cuarta parte por unidad de área. El diagrama de abajo permite comprobar ese cambio con las lecturas. La gravedad y la fuerza eléctrica también tienen relaciones inversas con el cuadrado de la distancia; ten presente esta imagen de áreas al comparar esas leyes.
01El mismo punto, el mismo haz de direcciones y una esfera mayor
Imagina primero una fuente luminosa puntual que emite uniformemente en todas direcciones, con potencia constante y sin absorción en el camino. Cualquier esfera que la rodee recibe la misma potencia total. Un campo gravitatorio no es luz, pero podemos usar la misma geometría esférica para comprender su dependencia inversa con el cuadrado de la distancia.
¿Por qué también crece como una región pequeña?
Fijar el mismo haz de direcciones equivale a mantener la apertura de un cono. Si duplicamos la distancia, se duplican sus dimensiones en dos direcciones y el área se cuadruplica; si triplicamos la distancia, el área se multiplica por nueve.
depende de la apertura elegida, no de la distancia. Es un coeficiente geométrico fijo, no un error indeterminado. Para toda la esfera, .
La cantidad total no cambia y el área aumenta
Aquí intensidad significa cuánto corresponde a cada unidad de área. Si una cantidad total fija se reparte en un área cuatro veces mayor, cada región del mismo tamaño recibe la cuarta parte. En la fórmula siguiente, S es esa cantidad fija; para la luz es la potencia, medida en vatios.
El símbolo se lee «es proporcional a»: manteniendo lo demás constante, ambos lados cambian en la misma proporción.
02Mantén fija el área receptora y compara las distancias
Abajo comparamos las regiones esféricas con representaciones planas de igual área. La región dorada crece y siempre contiene los mismos 144 marcadores. Las ventanas azules de ambas imágenes tienen la misma área, así que la ventana más lejana contiene menos marcadores.
r₀
Área e intensidad de referencia.
2r₀
Al doble de distancia, la intensidad es un cuarto, no la mitad.
3r₀
Al triple de distancia, la intensidad es un noveno.
03Aplicar esta relación geométrica a la gravedad
Un campo describe la influencia en cada posición del espacio. En la gravitación newtoniana, indica la fuerza gravitatoria por kilogramo que recibiría un pequeño cuerpo de prueba colocado allí. El campo de una masa puntual o el exterior de un cuerpo esféricamente simétrico sigue la misma relación . Con una masa de prueba fija, , así que la magnitud de la fuerza también sigue la ley del inverso del cuadrado.
Piensa: al alejarnos al doble de distancia, ¿la fuente pierde por sí misma tres cuartas partes de su intensidad?
No. La fuente no cambia; la misma cantidad total se distribuye sobre un área cuatro veces mayor y la intensidad local por unidad de área queda en un cuarto. Para una masa de prueba fija, la fuerza gravitatoria también queda en un cuarto.
