La gravedad y el espacio-tiempo curvo

01¿Qué significa realmente que el espacio-tiempo se curve?

Suelta una pelota y cae; permanece de pie y sentirás el suelo bajo los pies. Son experiencias distintas: **la pelota ha perdido su apoyo** y **tú sigues recibiéndolo**. La presión que sientes ya ofrece una pista. Primero distinguimos «ver cambiar el movimiento respecto al suelo» de «sentir realmente un empuje, como persona o instrumento».

En relatividad general, la gravedad se describe mediante la geometría del espacio y del tiempo: cómo las reglas miden separaciones, cómo los relojes miden duraciones y cómo continúan moviéndose los cuerpos libres. La materia y la energía participan en determinar esas reglas. La pelota y el suelo iniciales nos ayudarán a aclararlo poco a poco. Esta página continúa «Dilatación del tiempo» y «Espacio-tiempo de Minkowski»: los relojes pueden discrepar y los sucesos se identifican mediante posición y tiempo juntos.

Una fuerza es un empuje o una tracción. La aceleración indica cuán rápido cambia la velocidad, que incluye tanto rapidez como dirección. La báscula mide cuánto te sostiene su superficie: refleja directamente la fuerza de apoyo y no permite, por sí sola, determinar las propiedades del espacio-tiempo circundante.

02Caer junto con la pelota

Despreciemos el aire y soltemos tanto la pelota como toda la habitación. Cerca del mismo lugar, los cuerpos en caída libre tienen la misma aceleración gravitatoria, dentro de la precisión de este pequeño experimento. Esa universalidad es un punto de partida físico contrastado, no algo demostrado por dibujar un ascensor.

Si la habitación y la pelota bajan la misma distancia, la pelota conserva la misma altura sobre el suelo interior. Cae respecto al terreno, pero flota respecto a la habitación. Quien cae con ella siente ingravidez porque ningún suelo lo aparta de ese movimiento libre; no significa que la gravedad circundante haya desaparecido.

La animación aproxima un intervalo corto, velocidades bajas y aceleración descendente constante. ¿Por qué aparece el tiempo al cuadrado en la distancia? Desde el reposo, con aceleración $a$ y tiempo $t$, la velocidad pasa de $0$ a $at$. Como aumenta uniformemente, la media es $at/2$. Distancia es velocidad media por tiempo, así que $d=(at/2)t=at^2/2$. En la vista de la habitación restamos su mismo $at^2/2$ al movimiento de la pelota y desaparece la caída relativa.

03¿Qué puede distinguir una habitación pequeña?

Considera ahora un cohete lejos de las fuentes gravitatorias. Su motor empuja el suelo hacia arriba, hacia una pelota que antes flotaba libre, y esta se acerca al suelo. Los fenómenos locales dentro pueden coincidir con los de una habitación sostenida en la Tierra. Ese es el papel del principio de equivalencia: una aceleración adecuada y la gravedad pueden producir los mismos resultados experimentales locales.

Local es importante: el experimento ocupa una región lo bastante pequeña y dura lo bastante poco para despreciar las diferencias internas. Elegir la vista en caída elimina una aceleración compartida, pero todavía no hemos comprobado si todos los cuerpos próximos tienen exactamente la misma. Dos pelotas permiten examinarlo.

04Diferencias que no desaparecen al caer juntos

En un campo central, la pelota izquierda cae ligeramente hacia la derecha y la derecha, hacia la izquierda; su separación disminuye. Seguir en caída a una de ellas no elimina ese cambio relativo. Los efectos de aceleraciones gravitatorias distintas en posiciones próximas se llaman efectos de marea. Incluyen tanto diferencias de dirección como las dibujadas como diferencias de magnitud de aceleración entre pelotas más altas y más bajas.

Podemos comprobar los números sin estudiar antes toda la relatividad. Tomamos como ley inicial el modelo newtoniano de gravedad débil y velocidades bajas. $x$ es la distancia horizontal de la pelota derecha a la vertical central; $h$, su altura sobre el centro; y $r$, su distancia al centro. El triángulo rectángulo da $r^2=x^2+h^2$. $\mu=GM$ agrupa la constante gravitatoria $G$ y la masa fuente $M$; la magnitud de la aceleración sigue $\mu/r^2$.

Los triángulos semejantes formados por las flechas muestran que la proporción horizontal de la dirección hacia dentro es $-x/r$ y la vertical, $-h/r$. Multiplicamos la magnitud por cada proporción para obtener las aceleraciones. Esta construcción breve mantiene sus valores iniciales; una simulación más larga tendría que actualizarlos continuamente.

Con el cálculo de desplazamiento de la sección del ascensor, la pelota derecha llega a $x(t)=x+a_xt^2/2$. La izquierda es su reflejo, así que la separación es el doble. Por defecto, $x=2$, $h=5$ y $\mu=40$; de ahí $r^2=4+25=29$, $r=\sqrt{29}$ y $r^3=r^2\times r=29\sqrt{29}\approx156.2$. Por tanto, $a_x=-40\times2/(29\sqrt{29})\approx-80/156.2\approx-0.512$. Cuando $t=0.8$, la separación es $2(2-0.512\times0.8^2/2)\approx3.67$. Las unidades ilustrativas facilitan ver el cambio. En un campo uniforme hacia abajo, $a_x=0$ y la separación permanece en $4$.

05Antes de curvar el espacio-tiempo: ¿qué es geometría?

La geometría estudia relaciones medibles: distancias, ángulos y caminos que continúan sin girar localmente. Las coordenadas son etiquetas numéricas para las posiciones. Un mapa puede dibujarlas deformadas mientras las relaciones medidas no cambian. Debemos distinguir el mapa de las reglas de medida.

Escribamos la regla para que no haya pasos ocultos: $x$ permanece igual y sustituimos $y$ por $Y=y+kx^2/4$, donde $k$ es el valor del deslizador. El camino cumplía $y=0$, así que el dibujo nuevo cumple $Y=kx^2/4$. Cuando $k=1$ y $x=2$, el nuevo valor es $Y=0+1\times 2^2/4=1$. Cambian las etiquetas, no la altura del camino medida con una regla. Ver una curva en un dibujo no demuestra que el espacio tenga curvatura.

Cada meridiano es perpendicular al ecuador. Como sus longitudes geográficas difieren en un cuarto de vuelta, también forman $90^\circ$ en el polo norte. Los tres ángulos medidos suman $90^\circ+90^\circ+90^\circ=270^\circ$. En un triángulo plano el resultado correspondiente es $180^\circ$: trazamos por un vértice una paralela al lado opuesto y usamos los ángulos iguales entre paralelas para trasladar allí los otros dos ángulos; juntos completan media vuelta. El resultado distinto de la esfera procede de mediciones dentro de la propia superficie y no desaparece al cambiar de mapa.

Un camino que continúa lo más recto posible según la geometría local se llama geodésica. En una esfera, meridianos y ecuador son ejemplos. El globo ayuda a comprender la geometría intrínseca: lo que podemos descubrir midiendo dentro del propio espacio. No afirma que el universo sea la superficie de esa esfera.

06¿Por qué debemos incluir el tiempo?

La posición sola no determina un suceso. Que la pelota pase ahora por la puerta y que pase mañana son sucesos distintos. Registramos dónde y cuándo; el conjunto de sucesos forma el espacio-tiempo. Un reloj que acompaña a la pelota mide la duración a lo largo de esa secuencia; las reglas comparan posiciones cercanas. La geometría debe describir ambas medidas.

Aunque la pelota empiece sin moverse en el espacio, tiene sucesos consecutivos: aquí ahora y aquí un instante después. Su historia se extiende por el espacio-tiempo. La regla de caída libre de la relatividad general dice que un cuerpo de prueba suficientemente pequeño, sin fuerzas no gravitatorias, sigue una geodésica del espacio-tiempo. Cuerpo de prueba significa que despreciamos su propia influencia sobre la geometría circundante. Es una regla de la teoría física; la analogía del globo no la demuestra.

La pelota que cae sigue ese camino libre, mientras el suelo impide que tú sigas el tuyo: respecto a los cuerpos cercanos en caída libre, te empuja continuamente hacia arriba. Por eso, mantener la misma altura no significa no sentir aceleración; el apoyo continuo del suelo mantiene tu posición.

07¿Cómo se relacionan las dos pelotas con la curvatura?

Toma muchas trayectorias vecinas de caída libre con la misma velocidad inicial en un sistema local. En espacio-tiempo plano mantienen su movimiento relativo inercial; en espacio-tiempo curvo pueden adquirir aceleración relativa. El cambio entre dos pelotas permite medir algunos componentes de la curvatura; distintas direcciones iniciales exploran componentes distintos. Un par que converge no da un mapa completo, y converger solo por velocidades iniciales diferentes no constituye la misma prueba.

Por eso usamos mediciones en lugar de una lámina hundida. Puedes renombrar coordenadas o caer con un cuerpo, pero no eliminar así todas las mediciones reales de marea en una región curva finita. Curvatura describe esa estructura geométrica, no si las líneas dibujadas parecen curvas.

08¿Qué determina esta geometría?

Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan la geometría del espacio-tiempo con energía, momento y esfuerzos, incluida la presión. La energía mide la capacidad de producir cambios físicos; el momento registra movimiento con dirección; los esfuerzos describen cómo unas partes de la materia empujan o tiran de otras. La masa es una contribución: las fuentes gravitatorias no se limitan a objetos pesados. Son leyes físicas que se contrastan mediante predicciones, no definiciones automáticamente ciertas por cambiar coordenadas. Resolverlas también exige información sobre la distribución de materia y las condiciones circundantes o iniciales.

Una región vacía puede seguir siendo curva: el exterior de una estrella contiene poca materia, pero pertenece a la solución gravitatoria completa, y las ondas gravitatorias atraviesan el vacío. «Aquí no hay materia» no implica espacio-tiempo plano. Las ecuaciones completas distinguen partes de la curvatura; aquí construimos la idea con trayectorias y relojes medibles, sin introducir de repente tensores sin preparación.

La luz también sigue la geometría del espacio-tiempo. Sus caminos libres son geodésicas nulas, que localmente avanzan a la velocidad de la luz en el vacío. Un observador lejano puede medir un cambio en su dirección global después de pasar cerca de un cuerpo masivo, sin que el fotón tenga masa en reposo. La gravedad deja de ser solo un tirón descendente sobre objetos pesados: describe conjuntamente relojes, trayectorias de caída libre y señales luminosas.

09Lo que la lámina de goma todavía no explica

Una bola rueda hacia una depresión de goma porque la gravedad terrestre tira de ella y la lámina ejerce fuerzas de contacto. Presentarlo como causa de la gravedad sería explicar gravedad mediante gravedad. Además, la lámina es una superficie bidimensional en una tercera dirección espacial, mientras aquí hay tres coordenadas espaciales y una temporal. La curvatura espacio-temporal no requiere un material, un abajo exterior ni una habitación de más dimensiones que la contenga.

10Distingue estas situaciones

Fuentes y función de los modelos

Los pasos matemáticos pueden comprobarse uno a uno. Los principios físicos y las pruebas experimentales pueden consultarse en los artículos originales, explicaciones institucionales e informes de medición siguientes. Las figuras se crearon para esta lección; no son fotografías del espacio-tiempo.

• Einstein & Minkowski · The Principle of Relativity (original papers, English translation)
• Max Planck Institute · Gravity: from weightlessness to curvature
• Stanford Gravity Probe B · Einstein’s Spacetime