Espín: el momento angular intrínseco del electrón

Piensa en una rueda de bicicleta que gira alrededor de su eje. Para detenerla importan dos cosas: con qué rapidez gira y cuánta masa tiene y a qué distancia del eje se encuentra. Una rueda pesada que gira despacio puede ser tan difícil de detener como una ligera que gira deprisa. La física reúne estas características en una magnitud llamada momento angular, representada por $L$. Una pequeña masa $m$ que se mueve con velocidad $v$ en una circunferencia de radio $r$ tiene momento angular $L = mvr$. El de toda la rueda es la suma de $mvr$ de todas sus partes. Su unidad es $\text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}$.

La rotación también tiene dirección: una rueda puede girar en un sentido o en el contrario y su eje puede apuntar en cualquier dirección. Lo describimos mediante una flecha sobre el eje: curva los cuatro dedos de la mano derecha en el sentido de giro; el pulgar señala la dirección de la flecha. Esta es la regla de la mano derecha. La longitud de la flecha indica la magnitud del momento angular y su dirección indica la orientación del eje y el sentido de giro. Pruébalo abajo: al invertir el giro, la flecha se invierte; al girar más deprisa, se alarga.

Necesitamos otra propiedad: en un sistema sin influencia externa, el momento angular total nunca cambia. Es la conservación del momento angular. Cuando una patinadora recoge los brazos, gira más deprisa: su masa se acerca al eje, disminuye $r$, y la velocidad debe aumentar para mantener $mvr$. Si una parte del sistema comienza a girar en un sentido, otra debe girar en sentido contrario para que la suma de todas las flechas siga siendo la misma.

Volvamos al magnetismo. En 1820, Oersted descubrió que una brújula situada junto a un cable se desviaba cuando circulaba corriente por él. La corriente eléctrica es carga en movimiento, así que las cargas en movimiento producen un campo magnético. Si doblamos el cable formando un círculo, esa espira de corriente se comporta exactamente como un pequeño imán de barra: una cara es el polo norte y la otra el sur. La regla de la mano derecha determina cuál es el norte: curva los dedos en el sentido de circulación de las cargas positivas; el pulgar señala la cara norte.

Hagamos girar una esfera cuya superficie está cargada. Cada carga describe una circunferencia alrededor del eje, así que la esfera equivale a un conjunto de espiras de corriente apiladas que circulan en el mismo sentido. En conjunto se convierte en un imán, con su polo norte en el lado del eje señalado por la regla de la mano derecha. En el modelo, los puntos naranjas son cargas, los anillos dorados representan las espiras y la flecha roja y azul representa el imán, con el extremo rojo como norte. Al girar más deprisa, el imán se intensifica; al invertir el giro, se invierte el imán.

Hay una relación sencilla entre la intensidad de este imán y su cantidad de rotación. La intensidad de un pequeño imán se mide mediante el momento magnético $\mu$. Para una espira plana, es la corriente multiplicada por su área, $\mu = IA$. Considera una carga $q$ que se mueve con velocidad $v$ en una circunferencia de radio $r$. Tarda $T = 2\pi r / v$ en dar una vuelta, así que la corriente, la carga que pasa por un punto cada segundo, es $I = q/T = qv/(2\pi r)$. El área es $A = \pi r^2$. Multiplicamos:

Seguimos con una carga que recorre una órbita circular, a una velocidad mucho menor que la de la luz. Si tiene masa $m$, su momento angular tiene magnitud $L = mvr$. Para una carga positiva $q$, el momento magnético tiene magnitud $\mu = qvr/2$. Al dividir, obtenemos $\mu/L = (qvr/2)/(mvr) = q/(2m)$: se cancelan $v$ y $r$. Con la misma carga y masa, duplicar el momento angular duplica el momento magnético. Si la carga es negativa, el momento magnético apunta en sentido opuesto al momento angular. Este cálculo corresponde al movimiento orbital clásico. El mismo cociente también se obtiene para un cuerpo que gira si todas sus partes tienen la misma proporción entre carga y masa. No podemos suponerlo para cualquier cuerpo cargado. La relación nos ayuda a conectar magnetismo y momento angular, pero todavía no explica el espín de una partícula ni demuestra que sea una pequeña esfera que gira.

El campo magnético es una región alrededor de un imán donde otro imán experimenta una fuerza. Lo representamos mediante líneas de campo: una brújula colocada en cualquier punto se orienta siguiendo la línea que pasa por él; cuanto más juntas están las líneas, más intenso es el campo. Entre los polos de un imán, las líneas van del norte al sur.

¿Qué ocurre al colocar un pequeño imán en un campo magnético? Supongamos primero un campo uniforme: líneas paralelas, espaciadas regularmente y la misma intensidad en todas partes. El polo norte es atraído en el sentido de las líneas y el sur en sentido contrario, con igual fuerza. Las fuerzas pueden hacerlo girar, pero su suma no lo desplaza: en un campo uniforme, el pequeño imán solo gira, no se traslada.

Ahora hagamos el campo no uniforme. En el dibujo, las líneas suben desde el polo norte inferior hasta el polo sur puntiagudo de arriba y se concentran cerca de la punta, de modo que el campo es más intenso arriba. Si el pequeño imán apunta hacia arriba, siguiendo el campo, su polo norte recibe una fuerza ascendente y el sur una descendente. Como el norte está más alto, en un campo más intenso, su fuerza es mayor y el imán completo es empujado hacia arriba. Si apunta hacia abajo, contra el campo, el mismo razonamiento da un empuje descendente. Si forma un ángulo $\theta$ con la vertical, el empuje es intermedio: solo contribuye la componente vertical $\mu\cos\theta$. Cambia el campo con los controles y gira el imán para observarlo.

Necesitaremos otro detalle. Un imán que gira sobre sí mismo se comporta como un trompo: el campo intenta reorientarlo, pero no se alinea directamente, sino que describe lentamente un círculo alrededor de la dirección del campo, manteniendo el ángulo $\theta$. Así, al atravesar un campo no uniforme, mantiene ese ángulo y el empuje $\mu\cos\theta$ permanece estable durante el recorrido.

Pensemos ahora en el electrón. Muchas mediciones muestran que cada electrón es un pequeño imán y que todos tienen exactamente la misma intensidad magnética. Según el razonamiento de la esfera cargada que gira, si el electrón es un imán, también debería tener momento angular. ¿Es realmente así?

Entonces, ¿es el electrón una bolita que gira? Tres hechos indican que no. Primero, su número cuántico de espín es fijo: cambiar su estado no significa acelerar o frenar una superficie material. Segundo, los experimentos no logran medir un tamaño del electrón: es menor que $10^{-18}\,\text{m}$. Incluso para explicar solo la componente medida $\hbar/2$, la superficie de una esfera tan pequeña tendría que moverse a una velocidad imposible. Usamos $L = mvr$ y suponemos toda la masa en el borde, el caso más favorable:

Esto equivale a unas 200 000 veces la velocidad de la luz, imposible para una superficie material. Tercero, el magnetismo del electrón es aproximadamente el doble del predicho por $\mu/L = q/(2m)$ para una esfera cargada que gira con el mismo momento angular. Por tanto, el espín comparte propiedades importantes con el momento angular de rotación: es momento angular, participa en su conservación y produce magnetismo. Pero no hay nada que esté girando. Es una propiedad, no un movimiento.

Otras partículas también tienen espín. El electrón, el protón y el neutrón tienen número cuántico de espín $s=\tfrac12$; el fotón, $s=1$. Estos números clasifican su momento angular cuántico, no la rapidez de una superficie que gira. Nos centraremos en los sistemas de espín $\tfrac12$ y en las reglas de probabilidad para preparar estados sobre un eje elegido y efectuar medidas ideales con dos resultados.

¿Cómo medimos el espín de un electrón tan pequeño? En 1922, Stern y Gerlach aprovecharon su magnetismo. Los electrones aislados son poco adecuados porque tienen carga y se desvían en un campo magnético. Usaron átomos de plata. Cada uno tiene 47 electrones; 46 están emparejados con espines opuestos, de modo que sus magnetismos se cancelan, y solo queda sin pareja el electrón más externo. Los 47 electrones compensan los 47 protones del núcleo, así que el átomo es neutro y el campo no puede desviarlo mediante su carga neta; sin embargo, conserva el magnetismo del electrón no emparejado.

Recorre el aparato de izquierda a derecha. Un horno calentado a unos $1000\,^{\circ}\text{C}$ deja salir átomos de plata por un orificio. Dos rendijas estrechas forman un haz delgado y plano. El haz atraviesa después el espacio entre los polos de un imán: el polo inferior es norte, marcado en rojo y con una ranura; el superior es sur, marcado en azul y afilado como una cuchilla. Las líneas suben desde el norte hasta el sur y se concentran bajo el filo, por lo que el campo aumenta hacia arriba: justo el campo no uniforme necesario para empujar pequeños imanes. Finalmente, los átomos llegan a una placa de vidrio y se acumulan formando una capa visible de plata.

Antes de encenderlo, ¿qué deberíamos esperar? Los átomos salen del horno caliente con sus imanes orientados al azar. Según el capítulo 3, la fuerza sobre cada átomo es proporcional a $\cos\theta$, donde $\theta$ es el ángulo de su imán con la vertical, y ese ángulo permanece constante al atravesar el aparato. Los que apuntan hacia arriba reciben el máximo empuje ascendente; los que apuntan hacia abajo, el máximo descendente; y los horizontales no reciben empuje.

¿Cómo se distribuyen esas fuerzas? Imagina cada imán como una flecha de igual longitud que parte del centro de una esfera; con orientaciones aleatorias, las puntas se distribuyen uniformemente sobre la superficie. La fuerza depende de la altura $\cos\theta$ de la punta, entre $-1$ y $+1$. Corta ahora la esfera horizontalmente en bandas de igual espesor. Arquímedes demostró un hecho sorprendente: todas tienen igual área. Cerca de la cima el radio es menor, pero la superficie está más inclinada y ambos efectos se compensan exactamente. Por eso todas las alturas entre $-1$ y $+1$ aparecen con igual frecuencia y los átomos deberían formar una banda continua uniforme sobre el vidrio. Selecciona «Si los electrones fueran imanes ordinarios» para ver esta predicción.

Ahora selecciona «Lo que ocurre realmente». La plata forma dos bandas separadas, una sobre el centro y otra debajo, con nada en medio. Se curvan como dos labios porque el campo es más intenso bajo el centro del filo y los átomos centrales se desvían más. Gerlach escribió el resultado en una postal y se la envió a Bohr. Ningún átomo cayó en el centro, donde deberían haber llegado los orientados horizontalmente. Para distinguir ambos grupos, el modelo representa el depósito superior en naranja y el inferior en azul; la plata real tiene el mismo color en ambos.

¿Qué significan las dos bandas? Cada átomo recibe el empuje completo hacia arriba o hacia abajo, nunca una fracción intermedia. La fuerza mide la componente vertical de su imán, y el magnetismo es proporcional al espín; por tanto, la componente vertical del espín solo toma dos valores: $+\hbar/2$ o $-\hbar/2$. Llamamos a estos resultados espín arriba y espín abajo. Una magnitud que solo admite ciertos valores discretos está cuantizada; ya conocimos esta idea en los niveles energéticos del modelo atómico de Bohr.

Cuenta los átomos que llegan. Aproximadamente la mitad cae en cada banda; cuantos más cuentas, más se acerca la proporción a $\tfrac12$. Para los átomos recién salidos del horno, la probabilidad de cada resultado es $\tfrac12$. No podemos predecir en qué banda caerá un átomo concreto, solo la probabilidad de cada resultado.

¿Y si el horno solo produjera átomos con espín exactamente arriba o abajo? Probémoslo girando el imán completo y las rendijas alrededor del haz. Usa el control angular y observa la pantalla. A $90^{\circ}$ se mide en dirección horizontal y las bandas aparecen a izquierda y derecha. Para cualquier ángulo siempre hay exactamente dos bandas, alineadas con el imán.

Esto ya resulta extraño para una flecha ordinaria. Una flecha vertical no tiene componente horizontal, así que medirla horizontalmente debería dar $0$. El espín, en cambio, nunca da $0$ en ninguna dirección: cada medida sobre el eje elegido produce $+\hbar/2$ o $-\hbar/2$. La respuesta solo existe como respuesta a la pregunta que formulamos.

Para avanzar necesitamos una herramienta más cómoda. Un analizador es un pequeño imán de Stern–Gerlach con dos salidas en lugar de una placa: los átomos con resultado $+$ salen por arriba, por el aro naranja; los de resultado $-$ salen por abajo, por el aro azul. Podemos tapar cualquiera de las salidas y dejar que los demás átomos continúen hacia un segundo analizador. Al final, dos recipientes cuentan los átomos recibidos.

Coloca dos analizadores verticales en fila. Tapa la salida inferior del primero, dejando pasar solo los átomos con resultado «arriba», y vuelve a medir verticalmente. Todos dan otra vez «arriba» y el recipiente azul sigue vacío. Una vez que un átomo ha dado «arriba», vuelve a darlo si repetimos la misma pregunta. El primer analizador ha preparado su estado: decimos que ahora tiene «espín arriba en la dirección vertical».

Gira ahora el segundo analizador hasta $90^{\circ}$, mientras el primero sigue seleccionando solo los átomos «arriba» verticales. Su resultado vertical es seguro, pero al medir horizontalmente aproximadamente la mitad da «+» y la otra mitad «−». Conocer la respuesta vertical no ayuda a predecir la horizontal.

Prueba otros ángulos. A $0^{\circ}$ todos dan «+». A $180^{\circ}$ el analizador está invertido: su salida «+» recoge los átomos orientados a favor del eje que apunta hacia abajo, así que todos nuestros átomos verticalmente hacia arriba dan «−». Entre ambos extremos, la proporción de «+» disminuye suavemente. Muchos experimentos precisos siguen la misma regla: si preparamos el espín hacia arriba en una dirección y medimos en otra girada un ángulo $\theta$, entonces

Comprueba varios ángulos con los contadores. A $\theta = 60^{\circ}$, $\cos 30^{\circ} \approx 0.866$ y $0.866^2 = 0.75$: tres de cada cuatro átomos dan «+». A $\theta = 90^{\circ}$, $\cos 45^{\circ} \approx 0.707$ y $0.707^2 = 0.5$: la mitad. A $\theta = 120^{\circ}$, $\cos 60^{\circ} = 0.5$ y $0.5^2 = 0.25$: uno de cada cuatro. Cada átomo sigue dando solo $+$ o $-$; la regla indica con qué frecuencia aparece cada resultado.

Esta regla tiene una relación elegante con la imagen de una flecha ordinaria. Asigna $+1$ a cada «+» y $-1$ a cada «−» y calcula la media de muchos átomos. La fracción $P_+$ da $+1$ y la restante $1 - P_+$ da $-1$, así que la media es $P_+ - (1 - P_+) = 2P_+ - 1$. Sustituimos $P_+ = \cos^2(\theta/2)$:

En el último paso usamos la identidad del ángulo doble $\cos\theta = 2\cos^2(\theta/2) - 1$. La media de muchos resultados es, por tanto, $\cos\theta$, exactamente lo que daría una flecha ordinaria de longitud 1 inclinada un ángulo $\theta$. Cada resultado individual es «todo o nada», pero en promedio el espín se comporta como esa flecha. Por eso la imagen de la flecha es útil, aunque nunca describe todo.

Podemos usar tres analizadores para comprobar si el espín es una flecha ordinaria. El primero es vertical y selecciona solo «arriba», así que todos los átomos que salen darían «arriba» al medir verticalmente. El último también es vertical. Si no hay nada entre ambos, todos los átomos que llegan dan «arriba» y el recipiente azul queda vacío. Ahora coloca entre ellos un analizador horizontal que solo deje pasar sus átomos «+». ¿Obtendremos lo mismo al final?

Ejecuta el experimento. La mitad de los átomos se bloquea en el primero y la mitad de los restantes en el horizontal. Del cuarto del total que llega al último, ahora la mitad da «abajo». Añadir un «filtro» que solo elimina átomos ha hecho aparecer resultados «abajo» que antes no existían. Si cada átomo llevara una flecha con componentes vertical y horizontal definidas simultáneamente, el analizador intermedio solo podría descartar átomos, nunca convertir uno «arriba» en uno «abajo».

Por tanto, la medida horizontal ha cambiado el átomo. Cada átomo que supera el analizador central es «+» en la dirección horizontal y nada más; su anterior estado «arriba» ha desaparecido. Cuando el último analizador pregunta por la vertical, la regla del capítulo 9 da $\theta = 90^{\circ}$, con probabilidades $\tfrac12$ tanto para «arriba» como para «abajo». El espín solo puede estar definido en una dirección a la vez, y cada medida lo hace quedar definido en la dirección que acaba de medirse.

Ahora podemos reunir la respuesta completa: cada punto se apoya en lo explicado en esta página.

El espín no es, por tanto, una esfera que gira ni una flecha con componentes definidas simultáneamente en todas las direcciones. Una imagen útil es una flecha que solo puede responder una pregunta a la vez. Pregunta en cualquier dirección y solo responderá «a favor» o «en contra»; el propio acto de preguntar la orienta en la dirección de la pregunta.

Química. Para compartir un mismo orbital atómico, dos electrones deben tener espines opuestos, uno arriba y otro abajo, y no puede añadirse un tercero. Esta regla se llama principio de exclusión de Pauli y hace que los electrones llenen el átomo por capas, en lugar de acumularse todos en el nivel más bajo; así da forma a la tabla periódica. Un enlace covalente es un par de electrones de espines opuestos compartido por dos átomos.

Imanes. En la mayoría de las sustancias, los espines electrónicos se emparejan y sus magnetismos se cancelan. En el hierro, el cobalto y el níquel, los espines vecinos tienden a alinearse y magnetizan regiones grandes: de ahí procede el magnetismo de un imán de frigorífico.

Medicina. Los protones de los átomos de hidrógeno del agua también tienen espín $\tfrac12$. La resonancia magnética, o MRI, coloca el cuerpo en un campo intenso y usa ondas de radio para invertir esos espines; las señales que emiten al regresar a su estado original muestran dónde hay agua y, con ello, la forma de los tejidos internos.

Partículas. El espín divide las partículas en dos grandes familias. Las de número cuántico semientero, $\tfrac12$, $\tfrac32$…, como electrones y quarks, se llaman fermiones, obedecen el principio de exclusión y constituyen la materia. Las de número entero, $0$, $1$…, como los fotones, se llaman bosones. Las partículas que transmiten interacciones son bosones, pero no todos los bosones transmiten fuerzas; el bosón de Higgs también pertenece a esta familia. La página del modelo estándar continúa esta explicación.