Rotación y momento angular

Pega dos pequeñas etiquetas sobre un plato giratorio, una cerca del centro y otra cerca del borde, y hazlo girar un poco. Ambas recorren circunferencias centradas en el eje. La exterior recorre más distancia porque su circunferencia es mayor. Sin embargo, están sobre el mismo plato rígido y, intuitivamente, ambas han girado la misma «cantidad». Queremos un número que exprese esa cantidad y que no dependa de qué etiqueta observamos.

Una posibilidad es medir el ángulo en grados: dividimos una vuelta completa en $360$ partes iguales. Los grados sirven, pero el número $360$ es una elección humana. Para estudiar rotaciones hay una medida más cómoda, construida directamente a partir de longitudes, que vimos en la página de coordenadas polares. Vamos a reconstruirla aquí.

Considera una etiqueta situada a una distancia $r$ del centro. La longitud de la trayectoria curva que recorre al girar se llama longitud de arco y se representa por $s$. Otra etiqueta al doble de distancia recorre una circunferencia que es una ampliación al doble de la primera, así que, al girar lo mismo, recorre el doble de distancia. Se duplican $r$ y $s$, por lo que el cociente $s/r$ no cambia. Este cociente es igual para todas las etiquetas del plato y mide precisamente «cuánto ha girado». Lo llamamos ángulo expresado en radianes y lo representamos por $\theta$, la letra griega theta:

¿Cuántos radianes tiene una vuelta? En una vuelta completa, la etiqueta recorre toda su circunferencia. El número $\pi \approx 3.1416$ se define como el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro $2r$. Por tanto, la longitud de una vuelta es $\pi \times 2r = 2\pi r$. Al dividir entre $r$ obtenemos $\theta = 2\pi r / r = 2\pi$. Así, media vuelta equivale a $\pi$ radianes y un cuarto de vuelta a $\pi/2$ radianes. Girar $d$ grados representa $d/360$ de vuelta, que en radianes es $\theta = \frac{d}{360} \times 2\pi$.

Arrastra el control y compara los dos arcos. La etiqueta azul está a $1\ \mathrm{m}$ del centro y la naranja a $2\ \mathrm{m}$. El arco naranja siempre mide el doble que el azul, mientras que $s/r$ es siempre el mismo número para ambos.

Por ejemplo, un cuarto de vuelta son $\theta = \pi/2 \approx 1.57$ radianes. Multiplicando ambos miembros de $\theta = s/r$ por $r$, obtenemos $s = r\theta$. Por tanto, la etiqueta azul recorre $s = 1\ \mathrm{m} \times 1.57 = 1.57\ \mathrm{m}$ y la naranja $s = 2\ \mathrm{m} \times 1.57 = 3.14\ \mathrm{m}$. Dividir una longitud entre otra da un cociente sin dimensiones; radián es el nombre específico de esta unidad angular. Por eso, cuando $\theta$ se expresa en radianes, $r\theta$ da una longitud en metros.

En la página de las leyes de Newton, la velocidad media es el desplazamiento con dirección dividido entre el tiempo; la rapidez media es la distancia recorrida dividida entre el tiempo. En la rotación también elegimos un sentido positivo: aquí es el antihorario. Al dividir el cambio angular con signo $\Delta\theta$ entre el intervalo de tiempo $\Delta t$, obtenemos la velocidad angular media de ese intervalo:

Aquí $\omega$ es la letra griega omega y $\Delta$ significa «cambio». La unidad es el radián por segundo, escrito $\mathrm{rad/s}$. Si la velocidad de giro cambia, necesitamos intervalos cada vez más cortos para obtener la velocidad angular de un instante. En este experimento la rotación es uniforme y coinciden los valores medio e instantáneo. Todas las etiquetas giran el mismo ángulo en el mismo tiempo, así que el plato rígido tiene una única $\omega$; si parte del ángulo cero, $\theta=\omega t$.

Las etiquetas siguen teniendo distintas rapideces, pero ahora podemos calcularlas. En $\Delta t$, el plato gira $\Delta\theta$, así que la etiqueta situada a distancia $r$ recorre un arco $s = r\,\Delta\theta$, como vimos en el capítulo 1. Su rapidez es esa distancia dividida entre el tiempo:

En el tercer paso sacamos $r$ fuera de la fracción, lo cual es válido porque $r$ no cambia durante ese intervalo. Por tanto, todos los puntos del plato comparten $\omega$, pero la rapidez $v = r\omega$ es proporcional a su distancia al centro. Un punto situado exactamente sobre el eje tiene $r = 0$ y no se mueve.

Reproduce la rotación y cambia $\omega$. Cada flecha apunta en la dirección del movimiento de la etiqueta y su longitud indica la rapidez. La flecha naranja siempre mide el doble que la azul.

Si $\omega = 1.2\ \mathrm{rad/s}$, después de $t = 2\ \mathrm{s}$ el plato ha girado $\theta = \omega t = 1.2 \times 2 = 2.4$ radianes. La etiqueta azul recorre $s = 1 \times 2.4 = 2.4\ \mathrm{m}$ y su rapidez es $v = 1 \times 1.2 = 1.2\ \mathrm{m/s}$; la naranja recorre $s = 2 \times 2.4 = 4.8\ \mathrm{m}$ y su rapidez es $v = 2 \times 1.2 = 2.4\ \mathrm{m/s}$.

Un carro lleno de botellas cuesta más de empujar que uno vacío. En la página de las leyes de Newton, la masa mide esa «dificultad para cambiar el movimiento»: una fuerza $F$ aplicada a una masa $m$ produce una aceleración $a = F/m$. ¿Es también la masa lo que dificulta iniciar una rotación? No del todo. Si sujetas una escoba por el centro, resulta fácil hacerla girar; si la sujetas por un extremo, su cabezal pesado queda lejos de la mano y cuesta mucho más moverla. La masa no ha cambiado; ha cambiado dónde se encuentra.

Para entender cómo influye la posición de la masa, recurriremos a la energía, porque podemos sumar las energías de cada parte. La página de trabajo y energía explica que un objeto de masa $m$ y rapidez $v$ tiene una energía cinética $\tfrac{1}{2}mv^2$: el trabajo necesario para acelerarlo desde el reposo hasta $v$. Pongamos ahora dos pequeñas masas $m$ en una varilla muy ligera, cada una a distancia $r$ del eje, y hagámosla girar con $\omega$. Según el capítulo 2, la rapidez de cada masa es $v = r\omega$, de modo que su energía cinética es

La varilla es muy ligera y apenas aporta energía, así que la energía cinética total es la suma de las de ambas masas:

Podemos tratar así cada pequeña parte de cualquier cuerpo que gira: una parte de masa $m$ a distancia $r$ del eje aporta $\tfrac{1}{2} m r^2 \omega^2$, y todas comparten $\omega$. Por tanto, siempre podemos sacar $\tfrac{1}{2}\omega^2$ fuera de la suma y escribir $K = \tfrac{1}{2} I \omega^2$, donde $I$ es la suma de los términos $m r^2$ de todas las partes. Llamamos momento de inercia a $I$:

Compara $K = \tfrac{1}{2} I \omega^2$ y $\tfrac{1}{2} m v^2$: $I$ desempeña el mismo papel que la masa en el movimiento rectilíneo. Llevar el objeto desde el reposo hasta la velocidad angular $\omega$ requiere un trabajo $\tfrac{1}{2} I \omega^2$; cuanto mayor sea $I$, más trabajo cuesta alcanzar esa misma rotación. Cada parte contribuye con $r^2$, así que una masa alejada del eje influye mucho más que una masa cercana. Eso explica el caso de la escoba.

Mueve las dos masas a lo largo de la varilla y cambia sus valores. La varilla gira siempre con $\omega = 2\ \mathrm{rad/s}$. Las flechas indican la rapidez de cada masa y la barra representa la energía cinética total.

Tomemos $m = 1\ \mathrm{kg}$ y $r = 0.5\ \mathrm{m}$. Cada masa tiene rapidez $v = 0.5 \times 2 = 1\ \mathrm{m/s}$ y energía cinética $\tfrac{1}{2} \times 1 \times 1^2 = 0.5\ \mathrm{J}$; entre las dos suman $K = 1\ \mathrm{J}$. La fórmula da lo mismo: $I = 2 \times 1 \times 0.5^2 = 0.5\ \mathrm{kg\,m^2}$ y $\tfrac{1}{2} \times 0.5 \times 2^2 = 1\ \mathrm{J}$. Ahora mueve ambas masas hasta $r = 1\ \mathrm{m}$: se duplica la distancia, $r^2$ se cuadruplica y la energía cinética también, $K = 4\ \mathrm{J}$.

Más adelante competirán dos volantes de inercia de masa $M$ y radio exterior $R$, así que necesitamos sus momentos de inercia. En un aro delgado, toda la masa está en el borde: cada parte cumple $r = R$ y, por tanto, $I = \sum m R^2 = R^2 \sum m = M R^2$. Un disco macizo de la misma masa la distribuye desde el centro hasta el borde; la mayoría de sus partes están a menos de $R$ del eje, así que su $I$ debe ser menor. Al sumar los anillos delgados que componen el disco, obtenemos exactamente la mitad: $I = \tfrac{1}{2} M R^2$. Para un anillo grueso cuya masa se distribuye entre el radio interior $R_{\text{in}}$ y $R$, obtenemos $I = \tfrac{1}{2} M (R^2 + R_{\text{in}}^2)$, un valor intermedio.

Para abrir una puerta pesada, solemos empujar lejos de las bisagras. La misma fuerza perpendicular aplicada cerca del eje produce menos efecto de giro. La página de las palancas mide ese efecto mediante el momento de fuerza: la magnitud de la fuerza multiplicada por la distancia perpendicular entre el eje y su línea de acción. Esa distancia perpendicular se llama brazo de palanca; no es una distancia al punto de apoyo medida en cualquier dirección. El momento de fuerza también se llama torque.

Vista desde arriba, la línea de las bisagras es el eje de rotación. Supongamos que empujamos con una fuerza $F$ a una distancia $r$ del eje. Si empujamos perpendicularmente a la puerta, toda la fuerza contribuye al giro y el momento es $\tau = rF$; $\tau$ es la letra griega tau. Si la fuerza forma un ángulo $\varphi$ con la puerta, la descomponemos en una parte paralela y otra perpendicular. La parte paralela solo presiona el eje y no hace girar la puerta; la perpendicular tiene magnitud $F\sin\varphi$, así que

Aquí $\sin\varphi$ es la proporción de la fuerza que corresponde a la componente perpendicular: para $\varphi = 90^\circ$ vale $1$, y cuando empujamos en la dirección de la puerta vale $0$. La página de la circunferencia unidad explica de dónde sale $\sin$: es la altura del punto situado en el ángulo $\varphi$ de una circunferencia de radio $1$. Para una flecha de fuerza de longitud $F$ que forma un ángulo $\varphi$ con la puerta, la componente perpendicular es $F$ multiplicado por esa altura.

Cambia el punto y la dirección del empuje. La flecha naranja representa la fuerza completa $10\ \mathrm{N}$; la azul, su componente perpendicular; y la línea dorada, el brazo perpendicular. Mantenemos la puerta en la misma posición para comparar solo el momento aplicado, sin cambiar a la vez su orientación; la sujeción que la mantiene fija aporta el momento equilibrante.

Al empujar perpendicularmente con $F = 10\ \mathrm{N}$ a distancia $0.8\ \mathrm{m}$ del eje, el momento es $\tau = 0.8 \times 10 = 8\ \mathrm{N\,m}$. La misma fuerza a distancia $0.2\ \mathrm{m}$ produce solo $0.2 \times 10 = 2\ \mathrm{N\,m}$. Volviendo a $0.8\ \mathrm{m}$, pero con un ángulo $\varphi = 30^\circ$ respecto a la puerta y dado que $\sin 30^\circ = 0.5$, el momento es $0.8 \times 10 \times 0.5 = 4\ \mathrm{N\,m}$.

Ahora podemos explicar cómo el momento cambia la rotación. Sobre una varilla ligera colocamos una masa pequeña $m$ a distancia $r$ del eje y la empujamos con una fuerza $F$ perpendicular a la varilla. La segunda ley de Newton dice que acelera a lo largo de su trayectoria con aceleración $a = F/m$, es decir, $F = ma$. Su rapidez es $v = r\omega$, así que cuando $\omega$ cambia en $\Delta\omega$, la rapidez cambia en $\Delta v = r\,\Delta\omega$. Dividiendo ambos lados entre el tiempo empleado, obtenemos $a = r\alpha$, donde $\alpha = \Delta\omega/\Delta t$ se llama aceleración angular; $\alpha$ es la letra griega alfa. Sustituimos $a = r\alpha$ en $F = ma$:

En la segunda línea multiplicamos ambos miembros por $r$ para convertir la fuerza en momento; en la tercera reconocemos $rF = \tau$ y $m r^2 = I$. Un cuerpo completo está formado por muchas partes así. Cada parte también recibe empujes y tirones de sus vecinas, pero, según la tercera ley de Newton, esas fuerzas aparecen por pares de igual magnitud, sentidos opuestos y una misma línea de acción. Al sumar todas las partes, sus momentos se cancelan. Quedan los momentos externos y la suma de todos los términos $m r^2$, que es $I$:

Para este cuerpo rígido, cuyas partes mantienen sus distancias y no se deforman, que gira alrededor de un eje fijo con momento de inercia $I$ constante, esta es la segunda ley de Newton para la rotación ($\\tau = I\\alpha$). Aquí $\\tau$ es el momento externo neto respecto a ese eje y $\\alpha$ la aceleración angular instantánea; si $I$ permanece constante, la ecuación también vale para los promedios sobre un mismo intervalo. Con el mismo $I$, un momento mayor da una aceleración angular mayor; con el mismo momento, cuanto mayor sea $I$, menor será la aceleración. Si cambia la distribución de masa, debemos recurrir al momento angular y no aplicar directamente esta forma para $I$ fijo.

La máquina inferior permite comprobar $\tau = I\alpha$. Los dos volantes tienen la misma masa $M = 2\ \mathrm{kg}$ y radio exterior $0.88\ \mathrm{m}$, y cada uno está montado sobre un eje fijo. El izquierdo es un disco macizo y el derecho un anillo grueso de radio interior $0.69\ \mathrm{m}$. Según el capítulo 3, sus momentos de inercia son $I = \tfrac{1}{2} \times 2 \times 0.88^2 = 0.774\ \mathrm{kg\,m^2}$ y $I = \tfrac{1}{2} \times 2 \times (0.88^2 + 0.69^2) = 1.251\ \mathrm{kg\,m^2}$. Una cuerda enrollada en cada eje sostiene una carga de masa $m = 0.35\ \mathrm{kg}$; soltamos ambas a la vez.

Antes de reproducir, piensa: los dos volantes tienen la misma masa y las dos cargas también. ¿Qué volante aumentará más deprisa su velocidad de giro?

Vamos a calcularlo. Llamamos tensión a la fuerza de la cuerda y la representamos por $T$; el radio del eje es $b$. Se mueven dos objetos, la carga y el volante, así que escribimos por separado sus leyes de Newton. Sobre la carga actúan el peso $mg$ hacia abajo y la tensión $T$ hacia arriba, por lo que $mg - T = ma$. La cuerda tira del eje a distancia $b$ y produce un momento $Tb$ sobre el volante, así que $Tb = I\alpha$. Como no resbala, la rapidez de caída coincide con la de la superficie del eje: según el capítulo 2, es $v = b\omega$, y para sus cambios se cumple $a = b\alpha$. Resolvamos:

En la primera línea dividimos $Tb = I\alpha$ entre $b$ y usamos $\alpha = a/b$; en la segunda sustituimos ese $T$ en la ecuación de la carga; en la tercera agrupamos los dos términos con $a$ para obtener $mg = a\,(m + I/b^2)$ y después dividimos. Para el disco macizo, con $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$ y $b = 0.2\ \mathrm{m}$, obtenemos $a = \frac{0.35 \times 9.81}{0.35 + 0.774/0.04} = 0.174\ \mathrm{m/s^2}$; para el anillo grueso, la misma expresión da $a = 0.109\ \mathrm{m/s^2}$. Gana el disco, porque su masa está más cerca del eje y tiene menor momento de inercia.

Observa que la tensión no equivale al peso $mg$. De $mg - T = ma$ obtenemos $T = m(g - a)$, así que la tensión de la cuerda del disco es $0.35 \times (9.81 - 0.174) = 3.37\ \mathrm{N}$, algo menor que el peso $0.35 \times 9.81 = 3.43\ \mathrm{N}$. Si la tensión igualara todo el peso, no quedaría fuerza neta para acelerar la propia carga.

Pulsa reproducir y observa la caída de ambas cargas. Los volantes adquieren un tono cian más brillante al ganar energía cinética, mientras las cargas palidecen al bajar. Después cambia el radio del eje $b$ y repite: cuanto mayor es $b$, mayor es el brazo de palanca de la misma cuerda.

La página del momento lineal describe el movimiento rectilíneo mediante $p = mv$ y expresa la segunda ley de Newton como «la fuerza es la rapidez de cambio del momento lineal», $F = \Delta p/\Delta t$. Sin fuerza externa, el momento lineal permanece constante. ¿Existe una ley semejante para la rotación?

Partimos de $\tau = I\alpha$ para un cuerpo con momento de inercia constante y escribimos $\alpha$ como $\Delta\omega/\Delta t$. Como $I$ no cambia, multiplicar $I$ por el cambio de $\omega$ equivale al cambio de $I\omega$:

La magnitud $I\omega$ se llama momento angular y se representa por $L$. Así, el momento de fuerza es la rapidez de cambio del momento angular, $\tau = \Delta L/\Delta t$, del mismo modo que la fuerza es la rapidez de cambio del momento lineal. Para una pequeña parte, $L = m r^2 \omega = r \times m(r\omega) = r \times mv$: su momento lineal $mv$ multiplicado por su distancia al eje, de manera semejante a fuerza por distancia en el momento de fuerza.

Si no hay momento de fuerza externo, $\Delta L = 0$, el momento angular permanece constante: es la conservación del momento angular. Resulta especialmente útil porque, aunque el cuerpo cambie de forma y cambie $I$, sigue siendo válida siempre que sus fuerzas internas no produzcan momento respecto al eje. Entonces $I\omega$ no cambia, de modo que, si $I$ disminuye, $\omega$ debe aumentar. Eso es lo que ocurre en la silla giratoria.

Esta máquina comprueba lo anterior. Dos rotores idénticos comienzan con el mismo $\omega = 1.6\ \mathrm{rad/s}$. Cada uno lleva dos masas sobre guías, de masa total $M = 2\ \mathrm{kg}$ y situadas a $1.25\ \mathrm{m}$ del eje. El rotor A, a la izquierda, tiene un pequeño enrollador central que acerca las masas hasta $0.42\ \mathrm{m}$ y después vuelve a soltarlas; las masas del rotor B, a la derecha, permanecen fijas, mostrando qué ocurriría con A si no cambiara nada. La cuerda del enrollador tira directamente hacia el eje, por lo que no produce momento respecto a él.

La mayor parte del momento de inercia procede de las masas: $M r^2 = 2 \times 1.25^2 = 3.125\ \mathrm{kg\,m^2}$. El resto del rotor aporta una cantidad fija que no depende de sus posiciones: el cubo, las guías y la distribución de cada masa alrededor de su propio centro suman $0.2656\ \mathrm{kg\,m^2}$. Al principio, por tanto, $I = 3.125 + 0.2656 = 3.3906\ \mathrm{kg\,m^2}$. Cuando las masas están en $0.42\ \mathrm{m}$, $M r^2 = 2 \times 0.42^2 = 0.3528$ y $I = 0.3528 + 0.2656 = 0.6184\ \mathrm{kg\,m^2}$.

Antes de reproducir, piensa: cuando las masas de A se muevan hacia dentro, ¿qué ocurrirá con su rotación? ¿Y con la de B?

No hay momento externo respecto al eje, así que A conserva su momento angular inicial: $L = I\omega = 3.3906 \times 1.6 = 5.425\ \mathrm{kg\,m^2/s}$. Cuando las masas llegan a $0.42\ \mathrm{m}$, $\omega = L/I = 5.425/0.6184 = 8.77\ \mathrm{rad/s}$, más de cinco veces la velocidad inicial. Al soltarlas hacia fuera, $I$ vuelve a $3.3906$ y $\omega$ vuelve a $1.6\ \mathrm{rad/s}$. B no cambia en ningún momento.

Pulsa reproducir o arrastra el control de tiempo para detenerte en cualquier instante y comparar las lecturas: $I$ disminuye, $\omega$ aumenta y su producto $L$ permanece constante. También puedes cambiar cuánto se acercan las masas.

Pero ¿de dónde sale la velocidad de giro adicional? La energía cinética es $K = \tfrac{1}{2} I \omega^2$, como vimos en el capítulo 3. Si $L$ permanece constante, podemos sustituir $\omega$ por $L/I$:

Con $L$ constante, cuanto menor es $I$, mayor es la energía cinética de rotación. Al principio, $K=5.425^2/(2\times3.3906)=4.34\ \mathrm{J}$; cuando las masas llegan al interior y dejan de moverse radialmente, $K=5.425^2/(2\times0.6184)=23.80\ \mathrm{J}$. La energía adicional $19.46\ \mathrm{J}$ procede del trabajo del enrollador. Sin fuerza, las masas continuarían por la tangente de ese instante, no se dirigirían solas hacia el eje. Para atraerlas hacia dentro hay que ejercer una fuerza durante un desplazamiento hacia dentro, transfiriendo energía. Durante el deslizamiento, la velocidad radial $\dot r$ es perpendicular a la tangencial $r\omega$, así que $v^2=\dot r^2+(r\omega)^2$; la lectura incluye también la energía cinética radial $M\dot r^2/2$. Solo en los extremos, donde la velocidad radial es cero, desaparece ese término. El modelo reversible de esta página devuelve trabajo al enrollador al soltar las masas; un mecanismo real también disipa energía.

El momento angular también puede pasar de un objeto a otro. Dos discos idénticos comparten un eje y cada uno tiene $I = \tfrac{1}{2} \times 2 \times 0.88^2 = 0.7744\ \mathrm{kg\,m^2}$. El inferior gira con $1.6\ \mathrm{rad/s}$; el superior empieza en reposo y después se deja caer sobre el inferior. El rozamiento entre las superficies frena el inferior y acelera el superior hasta que giran juntos.

En el contacto, el disco inferior arrastra al superior hacia delante y el superior tira del inferior hacia atrás. Según la tercera ley de Newton, esas fuerzas de rozamiento tienen igual magnitud, sentidos opuestos y actúan a igual distancia del eje, así que sus momentos también son iguales y opuestos. En cada intervalo, un disco gana exactamente el momento angular que pierde el otro, de modo que el momento angular total se conserva. Llamemos $\omega_a$ a la velocidad inicial del disco inferior, $\omega_b$ a la del superior y $\omega_f$ a la velocidad común final:

Aquí $\omega_a = 1.6\ \mathrm{rad/s}$ y $\omega_b = 0$, así que $\omega_f = (1.6 + 0)/2 = 0.8\ \mathrm{rad/s}$: la rotación se reparte por igual entre los dos discos.

Elige con el control la velocidad inicial del disco superior, desde $-1$ hasta $1$ veces la del inferior, y pulsa reproducir. Compara la velocidad final con $(\omega_a + \omega_b)/2$ y la energía interna generada con $\tfrac{1}{4} I (\omega_a - \omega_b)^2$.

La energía, en cambio, no se reparte de ese modo. Antes del contacto, $K = \tfrac{1}{2} \times 0.7744 \times 1.6^2 = 0.99\ \mathrm{J}$; después, ambos discos giran con $0.8\ \mathrm{rad/s}$ y $K = 2 \times \tfrac{1}{2} \times 0.7744 \times 0.8^2 = 0.50\ \mathrm{J}$. Ha desaparecido la mitad de la energía cinética: el rozamiento la convierte en energía interna y calienta las superficies, como indica el brillo naranja del contacto. Para dos discos idénticos cualesquiera, la energía cinética perdida $\Delta K = K_{\text{before}} - K_{\text{after}}$ es

En la segunda línea sustituimos $\omega_f = (\omega_a + \omega_b)/2$ y obtenemos $\omega_f^2 = (\omega_a + \omega_b)^2/4$; en la tercera llevamos los dos términos al denominador común $4$ y desarrollamos los paréntesis; en la última reconocemos $(\omega_a - \omega_b)^2$. La pérdida solo es cero si ambos discos ya giraban a la misma velocidad y no había rozamiento relativo entre ellos.

El momento angular tiene dirección: asignamos signo positivo a un sentido y negativo al contrario. Ajusta la velocidad inicial del disco superior a $-1$ veces la del inferior: igual rapidez, sentido contrario. El momento angular total es $0.7744 \times 1.6 + 0.7744 \times (-1.6) = 0$, así que al final ambos deben tener $\omega_f = 0$: se detienen. Sin embargo, ambos giraban inicialmente y la energía cinética depende de $\omega^2$, que nunca es negativa. Toda la energía cinética $\tfrac{1}{4} \times 0.7744 \times (1.6 - (-1.6))^2 = 1.98\ \mathrm{J}$ se transforma en energía interna. Los momentos angulares pueden cancelarse; las energías, no.

Volvamos a la silla. Estudiamos juntos a la persona y la silla respecto al eje, despreciando inicialmente el rozamiento del cojinete. Al recoger los brazos, la masa se acerca al eje y $I$ disminuye; sin momento externo neto, $L=I\omega$ no cambia y $\omega$ aumenta. Los músculos realizan trabajo mientras los brazos se desplazan hacia dentro; cuando se mantienen a un radio fijo, seguir haciendo fuerza para sostener la postura ya no realiza trabajo mecánico radial, aunque los músculos reales sigan consumiendo energía. Extender los brazos aumenta $I$ y reduce $\omega$. Abajo aproximamos las dos pesas sostenidas en las manos como masas puntuales y mantenemos constante el momento de inercia de la silla y del cuerpo para comparar este mecanismo; las lecturas no son medidas de una persona real.