Integral de Riemann: de la suma de áreas de rectángulos al área bajo una curva

Buscamos un área exacta, más allá del último fotograma de la animación. Dividimos de 0 a 3 en n intervalos iguales, cada uno de anchura $3/n$. El extremo derecho del intervalo i está a i anchuras de 0, de modo que $x_i=3i/n$. Su altura es el cuadrado de esa entrada; multiplicamos altura por anchura y sumamos:

$\Sigma$ significa sumar todos los términos con $i$ desde 1 hasta $n$. Aún necesitamos la suma de cuadrados; no basta con decir «usamos la fórmula». Primero sumamos los enteros en orden directo e inverso: cada pareja suma $n+1$ y hay $n$ parejas, pero hemos contado dos veces cada número.

Para obtener cuadrados, consideramos la diferencia de cubos consecutivos. Desarrollar $(i+1)^3$ significa multiplicar tres factores $i+1$: obtenemos un término $i^3$, tres términos $i^2$, tres i y un 1. Al sumar las diferencias, los cubos intermedios se cancelan uno a uno.

Ahora restamos de ambos lados el triple de la suma de enteros y después los n términos iguales a 1. Dividimos por 3, sacamos n como factor común y factorizamos $2n^2+3n+1$ como $(n+1)(2n+1)$. Finalmente sustituimos el resultado en la suma de áreas de los rectángulos.

Lo calculado es la suma de extremos derechos. Como $x^2$ crece en este intervalo, cualquier otra altura elegida en cada tramo queda entre las alturas de los extremos izquierdo y derecho. La diferencia de ambas sumas es $\frac{3}{n}\left(3^2-0^2\right)=\frac{27}{n}$: las alturas intermedias se cancelan. Esa diferencia tiende a cero, por lo que cualquier elección de puntos queda encerrada hacia la misma área, 9. En el ejemplo decreciente $4-x$, la región ya es un trapecio: un rectángulo de $3\times1$ más un triángulo de base 3 y altura 3, dando $3+\frac{3\times3}{2}=7.5$.

La integral suma alturas con signo. Debajo del eje horizontal, las alturas son negativas, aunque el área geométrica siga siendo positiva. Al aumentar en π la entrada de $\sin x$, la salida cambia de signo: en $[0,2\pi]$, la segunda mitad cancela la primera. Esto explica por qué la integral es cero. Para hallar el área total aún debemos calcular el área de una mitad.

Dividimos [0,π] en n intervalos de anchura $h=\pi/n$ y usamos sus puntos medios $t_i=\left(i-\tfrac12\right)h$. Queremos escribir cada altura de seno como la diferencia de dos cosenos para que los términos vecinos se cancelen. Primero estableceremos una relación que permita hacerlo.

Sumar dos flechas consiste en colocar el inicio de la segunda en el extremo de la primera; la suma va desde el inicio original al destino final. Si giramos toda esta trayectoria de dos tramos, cada tramo conserva su longitud y gira el mismo ángulo. El destino final sigue siendo la suma de los dos tramos. Por tanto, sumar las componentes horizontal y vertical después de girarlas por separado da lo mismo que girar el conjunto.

Antes de usar las fórmulas de suma de ángulos, veamos de dónde salen. La flecha unitaria de ángulo t tiene coordenadas ($\cos t$,$\sin t$): avanzamos $\cos t$ en la dirección horizontal $e_1=(1,0)$ y $\sin t$ en la vertical $e_2=(0,1)$. Giramos ambas direcciones un ángulo b. La primera llega a $(\cos b,\sin b)$. La segunda sigue estando un cuarto de vuelta por delante: derecha pasa a arriba y arriba a izquierda, de modo que llega a $(-\sin b,\cos b)$. Conservamos las dos cantidades originales y sumamos por separado las nuevas componentes horizontales y verticales.

Al girar −b, el punto del círculo se refleja al otro lado del eje horizontal: $\cos(-b)=\cos b$ y $\sin(-b)=-\sin b$. Basta entonces cambiar el signo de los términos que contienen sin b para obtener las fórmulas de diferencia de ángulos.

Restamos las dos coordenadas horizontales: los términos con $\cos t\cos b$ se cancelan y los dos términos con $\sin t\sin b$ se suman.

Elegimos $b=h/2$ porque restar o sumar medio ancho al punto medio lleva exactamente a los extremos. Al sumar, $-\cos h$ cancela el $+\cos h$ del término siguiente. Esto ocurre en cada extremo interior, de modo que solo quedan el primero y el último.

¿Por qué tiende a 2? Tomamos en el círculo unidad un ángulo positivo pequeño u, medido en radianes. El triángulo dentro del sector circular tiene área $\tfrac12\sin u$; el sector, $\tfrac u2$; y el triángulo exterior delimitado por la tangente, $\tfrac12\tan u$. La inclusión de las figuras da $\sin u\le u\le\frac{\sin u}{\cos u}$. Dividimos por el número positivo $\sin u$ y obtenemos $1\le\frac{u}{\sin u}\le\frac{1}{\cos u}$. Cuando u tiende a cero, el punto del círculo tiende a (1,0), por lo que $\cos u$ tiende a 1: las dos cotas obligan a $u/\sin u$ a tender a 1.

Así, cada mitad tiene área geométrica 2 y el área total es $2+2=4$. Integrar $|\sin x|$ convierte en positivas las alturas que estaban bajo el eje y cuenta positivamente ambas mitades. Que un número finito de rectángulos de puntos medios se cancele exactamente no significa que ya se ajusten por completo a la curva.