Álgebra lineal · Desde cero

Haz que una matriz mueva todo el plano

Cuando una imagen en pantalla se gira, se estira o se inclina, todos los puntos de la imagen se mueven a la vez. Una regla que toma un punto y devuelve otro es como una función. En la página de la función una entrada daba una salida; aquí la entrada y la salida son puntos en lugar de números. Si tuviéramos que registrar a dónde va cada uno de los puntos, la descripción nunca terminaría. Por suerte, para las transformaciones que mantienen las líneas de la cuadrícula rectas, paralelas y equiespaciadas y dejan fijo el origen, dos flechas bastan. Esas flechas se llaman vectores y arrastran toda la imagen.

Mantén a la vista el punto $(2,1)$ : dos pasos a la derecha y uno hacia arriba nos llevan allí desde el origen. Cada paso usa una de dos flechas básicas. Ahora mueve esas dos flechas, pero sigue tomando dos copias de la primera y una de la segunda. Eso nos dice a dónde va este punto. Puedes seguir observándolo y comprobar que se transporta la misma combinación. Las dos columnas de una matriz no son más que la tabla de números que registra las nuevas flechas básicas. Con esas columnas ligadas a algo visible, toda la cuadrícula resulta más fácil de seguir sin memorizar a dónde va cada punto.

01Localizar todos los puntos del plano con dos direcciones

Un vector representa un desplazamiento con dirección: $(1,0)$ significa 1 a la derecha y 0 arriba; $(0,1)$ , 0 a la derecha y 1 arriba. Dibuja primero ambas flechas desde el origen. Después registra cada una: escribe la coordenada horizontal arriba y la vertical abajo, formando una columna. Al colocar ambas columnas juntas obtenemos una tabla rectangular de números llamada matriz. Las filas se leen horizontalmente y las columnas, verticalmente. Abajo, un mismo color relaciona cada columna con su flecha.

Vectores de la base canónica

I =

\begin{matrix}1\\0\end{matrix}

\begin{matrix}0\\1\end{matrix}

Primera columna → e₁Segunda columna → e₂

Base ortonormal canónica

ortho: Ortogonal: las dos direcciones son perpendiculares y forman un ángulo de 90°.
normal: Normalizada: cada vector tiene módulo o longitud 1.
base: Dos direcciones independientes. Escalándolas por separado y sumándolas podemos llegar a cualquier punto, y la pareja de coeficientes de cada punto es única.

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x\underbrace{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}_{\mathbf e_1}+y\underbrace{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}_{\mathbf e_2}

Lee hacia abajo cada columna de $I$ : la primera es $e_1$ y la segunda, $e_2$ . Es la matriz identidad. Interpretada como transformación, deja ambos vectores de base donde estaban, así que todos los puntos permanecen iguales.

I\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

02Cambia las dos columnas y cambia todo el plano

En el ejemplo inicial, la primera columna lleva $e_1$ a $u=(2,1)$ y la segunda lleva $e_2$ a $v=(1,2)$ . Establecemos que los demás puntos conserven sus dos multiplicadores originales: por ejemplo, una copia de $e_1$ más una de $e_2$ pasa a ser una copia de $u$ más una de $v$ . Las flechas discontinuas señalan primero los destinos. Pulsa reproducir para seguir esa misma suma y ver cómo se mueve la figura completa.

Encontrar primero los dos vectores de destino0%

Progreso de la animación0%

Punto en movimiento

P'=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

Área sombreada 1

Matriz objetivo

A =

u=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}

v=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}

u y v son independientes y pueden formar una base nueva. Pero no son perpendiculares ni tienen longitud 1: una base no tiene por qué ser ortonormal.

Seguir un punto

x e y indican cuántas copias de cada vector de base tomamos. Prueba números negativos: ese paso avanza en sentido contrario.

x original · Primer vector1

y original · Segundo vector1

A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=1\,\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+1\,\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}

La expresión anterior calcula el destino. La línea continua de color representa un desplazamiento; la discontinua de otro color continúa desde su extremo y añade el segundo. Juntas muestran el mismo proceso de suma.

¿Qué ha cambiado exactamente?

Los ejes cartesianos gris claro son una regla fija. Movemos activamente los puntos y la cuadrícula de colores, sin mover la regla. En el ejemplo, $P = (1, 1)$ se convierte en $P' = (3, 3)$ respecto a esos ejes fijos; respecto a la nueva base, su imagen sigue siendo «una copia de $u$ más una de $v$ ». Cambiar solo la descripción en coordenadas de un punto inmóvil es otra operación.

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}

Por eso dos columnas determinan toda la transformación: cualquier vector se escribe como suma de múltiplos de los dos vectores originales de base. Una transformación lineal conserva esas sumas y múltiplos. Así, las rectas siguen siendo rectas o se reducen a puntos; las líneas de la cuadrícula siguen paralelas o coinciden o se degeneran, y el origen permanece fijo.

Cuatro transformaciones, un mismo principio

Las flechas de colores siguen correspondiendo a las dos columnas de la matriz. El cuadrado unidad sombreado hace visible el cambio de área; la circunferencia, el estiramiento; y la letra F, la reflexión. Cada animación parte de la figura original y puedes arrastrar la barra para comparar cualquier instante.

Rotación

Cada punto gira el mismo ángulo alrededor del origen. Una circunferencia sigue siendo una circunferencia y ambos vectores de base permanecen perpendiculares y con longitud 1.

Progreso de la animación0%

R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

Ángulo objetivo θ · Positivo en sentido antihorario90°

Área actual 1 ×Ángulo actual0°

Durante todo el proceso se conservan longitudes, ángulos y áreas. Un ángulo negativo indica giro horario.

Construimos la matriz de rotación a partir de sus dos columnas. Un vector unitario es una flecha de longitud 1. En el círculo unidad, después de girar $\theta$ desde el eje horizontal positivo, la coordenada horizontal del punto se llama $\cos\theta$ y la vertical, $\sin\theta$ . Así, el primer vector de base (1,0) llega a ( $\cos\theta$ , $\sin\theta$ ).

El segundo vector de base está inicialmente un cuarto de vuelta por delante del primero. Al girar ambos el mismo ángulo, esa diferencia se mantiene. Un cuarto de vuelta antihorario transforma la derecha en arriba y un desplazamiento hacia arriba en otro hacia la izquierda. Aplicándolo a ( $\cos\theta$ , $\sin\theta$ ), obtenemos (− $\sin\theta$ , $\cos\theta$ ). Estos dos destinos forman las dos columnas de la matriz.

\begin{gathered}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\\=x\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}x\cos\theta-y\sin\theta\\x\sin\theta+y\cos\theta\end{pmatrix}\end{gathered}

Podemos comprobar por cálculo que la longitud no cambia. Para abreviar, escribimos $c=\cos\theta$ y $s=\sin\theta$ . El círculo unidad tiene radio 1, así que Pitágoras da $c^2+s^2=1$ . Al elevar al cuadrado las dos coordenadas nuevas aparecen términos cruzados de signos opuestos, que se cancelan exactamente.

\begin{aligned}&(cx-sy)^2+(sx+cy)^2\\&=c^2x^2-2csxy+s^2y^2\\&\quad+s^2x^2+2csxy+c^2y^2\\&=(c^2+s^2)x^2+(c^2+s^2)y^2\\&=x^2+y^2\end{aligned}

El cuadrado de la longitud no cambia; al tomar la raíz no negativa, tampoco cambia la longitud. Tomamos ahora dos flechas, $u=(a,b)$ y $v=(d,e)$ , para comprobar el ángulo. El producto escalar es la suma de los productos de coordenadas correspondientes. Al desarrollar el producto después del giro, dos pares de términos cruzados se cancelan exactamente.

\begin{aligned}&(ca-sb)(cd-se)\\&\quad+(sa+cb)(sd+ce)\\&=c^2ad-csae-csbd+s^2be\\&\quad+s^2ad+scae+scbd+c^2be\\&=(c^2+s^2)ad+(c^2+s^2)be\\&=ad+be\end{aligned}

Ya demostramos que girar las direcciones de coordenadas no cambia el producto escalar ni las longitudes. Elegimos como horizontal la dirección de $u$ . Si las longitudes son $U$ y $V$ y el ángulo entre ellas es $\varphi$ , la definición mediante el círculo unidad da $u=(U,0)$ y $v=(V\cos\varphi,V\sin\varphi)$ . El producto escalar es $U\times V\cos\varphi+0\times V\sin\varphi=UV\cos\varphi$ . Solo podemos dividir por UV cuando ambas flechas son no nulas.

Para dos flechas no nulas, dividir el producto escalar por el producto de sus longitudes da el coseno del ángulo entre ellas: mide la componente de una flecha unitaria en la dirección de la otra. Como ni numerador ni denominador cambian, el coseno permanece igual y también el ángulo entre 0 y π. La base del paralelogramo conserva su longitud; la altura, igual a la longitud del otro lado por el seno del ángulo, también se conserva. Por tanto, el área, base por altura, no cambia.

Cizallamiento

Observa primero una fila de puntos de altura $y=1$ . Si $k=1$ , esa fila se mueve 1 a la derecha; la fila de altura $y=2$ se mueve 2; los puntos del eje horizontal no se mueven porque $y=0$ . En general, la coordenada horizontal pasa de $x$ a $x+ky$ y la vertical sigue siendo $y$ . Esta transformación, que cambia la posición horizontal según la altura, se llama cizallamiento.

Progreso de la animación0%

S(k)=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}\quad\begin{cases}x'=x+ky\\y'=y\end{cases}

Coeficiente de cizallamiento objetivo k1.5

Área actual 1 ×Área final1 ×

La base y la altura perpendicular no cambian, así que el área sigue siendo 1. Los ángulos y la mayoría de las longitudes cambian.

Inversión / reflexión

Usamos el eje vertical y como espejo. La derecha pasa a la izquierda y la altura no cambia. Observa la letra F: se convierte en su imagen especular.

Progreso de la animación0%

F=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\quad\begin{cases}x'=-x\\y'=y\end{cases}

La reflexión se alcanza al final. Para mostrar el cambio, la animación reduce la dimensión horizontal a 0 y después la expande hacia el otro lado. El fotograma intermedio aplanado no es una reflexión ni una rotación.

Área actual 1 ×Área final1 ×

Al final, las longitudes y el área se conservan, pero se invierte la orientación.

Estiramiento y compresión

Multiplicamos por separado las distancias horizontales y verticales por sendos factores. Si son distintos, la circunferencia se convierte en elipse. Un factor positivo menor que 1 indica compresión en esa dirección.

Progreso de la animación0%

D=\begin{pmatrix}s_x&0\\0&s_y\end{pmatrix}\quad\begin{cases}x'=s_xx\\y'=s_yy\end{cases}

Factor horizontal sₓ2

Factor vertical sᵧ0.65

Área actual 1 ×Área final1.3 ×

El área se multiplica por $s_x \times s_y$ . Si ambas direcciones se duplican, el área se cuadruplica, no se duplica.

Haz que una matriz mueva todo el plano

01Localizar todos los puntos del plano con dos direcciones

Base ortonormal canónica

02Cambia las dos columnas y cambia todo el plano

Matriz objetivo

Seguir un punto

¿Qué ha cambiado exactamente?

Cuatro transformaciones, un mismo principio

Rotación

Cizallamiento

Inversión / reflexión

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