GEOMETRY · VECTORS

Producto escalar y producto vectorial

Cuando tiramos de una caja por el suelo con una cuerda en ángulo, solo una parte del tirón actúa en la dirección del movimiento. Esa parte es la que cuenta al calcular el trabajo realizado por la fuerza, la cantidad que hay detrás de los balances de energía de la página del sistema de poleas. Cuando una fuerza hace girar algo alrededor de un pivote, como en la página de palancas y engranajes, importa otra combinación de las mismas dos direcciones: a qué distancia del pivote actúa la fuerza y cuánta fuerza es perpendicular al brazo de palanca. Ambas situaciones combinan dos vectores, pero plantean preguntas distintas. Esta página usa vectores y sus proyecciones; la página de vectores y proyecciones las presenta, y aquí empezamos por la proyección.

Las dos flechas tienen longitud y dirección, así que «multiplicarlas» deja una pregunta: ¿qué debería decirnos el resultado? Piensa en una flecha como la cuerda inclinada y en la otra como la dirección en que se mueve la caja. La parte de la primera flecha que va en esa dirección es su proyección. Multiplicar esa longitud con signo por la longitud de la otra flecha da el producto punto. Al girar una flecha podemos comprobar por qué el resultado puede encogerse, llegar a cero o cambiar de signo. Para los efectos de giro necesitamos otra información: el área encerrada por las flechas ayudará a explicar el producto vectorial. Cada nombre corresponde a una pregunta concreta que queremos responder.

01Multiplicar la proyección con signo por la longitud del otro vector

Aquí una flecha representa un desplazamiento con dirección, llamado vector. Por ejemplo, (3,4) significa avanzar 3 hacia la derecha y 4 hacia arriba; su longitud es $\sqrt{3^2+4^2}=5$ . Su componente horizontal es 3, no la longitud total 5. Ahora cambiamos la dirección por la de otra flecha, $u$ , y observamos la componente de $v$ en ella: esta es la proyección que vamos a estudiar. Partimos de dos vectores no paralelos, $u$ y $v$ . $\lvert u\rvert$ y $\lvert v\rvert$ indican sus longitudes, y $\theta$ es el ángulo entre ellos, entre 0° y 180°. Elige una dirección de proyección y reproduce la animación.

Progreso de la animación0%

Ángulo θ55°

|u|2.2

|v|1.8

La proyección registra la componente en una dirección: trazamos una perpendicular a la recta de esa dirección. Para un ángulo agudo, el coseno es el cateto adyacente dividido entre la hipotenusa; por tanto, la longitud proyectada dividida entre $|v|$ es $\cos\theta$ . Multiplicamos ambos lados por $|v|$ y obtenemos la componente. También conservamos su signo: positivo en la dirección indicada y negativo en la contraria. Así, para un ángulo obtuso, la componente con signo sigue siendo $|v|\cos\theta$ . Al intercambiar los papeles de los vectores obtenemos $|u|\cos\theta$ .

\text{Componente proyectada con signo}=|v|\cos\theta

|u|(|v|\cos\theta)\approx2.271

Multiplicamos la componente proyectada con signo por la longitud del vector sobre el que se proyecta: el resultado es un número, es decir, un **escalar**.

Proyectar v sobre u y multiplicar por |u| $1.032\times2.2\approx2.271$

Proyectar u sobre v y multiplicar por |v| $1.262\times1.8\approx2.271$

u\cdot v=|u|(|v|\cos\theta)=|v|(|u|\cos\theta)=v\cdot u

Ambos procedimientos multiplican los mismos tres números, así que intercambiar el orden da el mismo escalar. Esta operación se llama producto escalar y se representa con un punto central ·.

02Otro producto: un vector perpendicular al plano

Pasamos ahora a tres dimensiones. Dos vectores linealmente independientes no son paralelos y determinan un plano. El producto vectorial es un vector perpendicular a ese plano cuyo módulo es igual al área del paralelogramo delimitado por ambos vectores.

uvu × v

Arrastra la escena para girarla. $u$ en cian y $v$ en naranja están en el mismo plano; el producto vectorial morado es perpendicular a ese plano. Aquí $|u|=2$ y $|v|=1.5$ .

Área del paralelogramo2.598

Módulo del producto vectorial2.598

Ángulo entre u y v60.0°

u\times v=|u|\,|v|\sin\theta\,\hat n

v\times u=-(u\times v)

$\hat n$ representa un vector normal unitario: tiene longitud 1 y dirección perpendicular al plano. Al multiplicarlo por $\lvert u\rvert \lvert v\rvert \sin \theta$ obtenemos el módulo del producto vectorial. Hay dos direcciones perpendiculares al plano; la regla de la mano derecha elige una.

Dos vectores no paralelos generan un plano: todas sus combinaciones lineales están en él, mientras que el producto vectorial apunta fuera del plano.

Cargando el modelo de la mano…

uvu × v

Índice → uDedo medio → vPulgar →

u \times v

Usa la mano derecha y respeta el orden

Este gesto muestra el caso de 90°: el índice sigue el primer vector, el dedo medio el segundo y el pulgar señala el producto vectorial. Gira la mano de la pantalla para observar las tres direcciones. Al pulsar «Intercambiar el orden del producto», la misma mano derecha gira y el pulgar apunta en sentido contrario.

Para otros ángulos distintos de cero y del ángulo llano puedes usar la versión de los dedos curvados: curva los cuatro dedos de la mano derecha desde el primer vector hacia el segundo por el ángulo menor; el pulgar indica la dirección normal. El gesto representa direcciones, no los módulos de los vectores.

Progreso de la animación0%

¿Por qué el módulo del producto vectorial es igual al área?

Elegimos u como base y trazamos una perpendicular desde el extremo de v a su recta. El pie es H; la distancia perpendicular VH es la altura $h$ .

VH=h

Ángulo θ del triángulo55°

Aquí usamos un control independiente del ángulo. Cámbialo: la hipotenusa sigue midiendo 1,5, pero la altura perpendicular varía.

03Dos formas distintas de dar cero

Aquí suponemos que ambos vectores de entrada son no nulos. El producto escalar cero corresponde a perpendicularidad; el producto vectorial cero, a colinealidad.

Producto escalar: vectores perpendiculares

\theta=90^\circ\Rightarrow \cos\theta=0\Rightarrow u\cdot v=0

La componente de cualquiera de los vectores en la dirección del otro es cero, por lo que el producto escalar vale cero.

Producto vectorial: vectores sobre la misma recta

\theta=0^\circ\text{ o }180^\circ\Rightarrow\sin\theta=0\Rightarrow u\times v=\mathbf0

El paralelogramo se aplasta hasta convertirse en una recta y su área vale cero. Tanto si los vectores tienen el mismo sentido como si tienen sentidos opuestos, el resultado es el vector nulo.

Si alguna entrada es el vector nulo, ambos productos son cero, pero el vector nulo no forma un ángulo determinado. Por eso las afirmaciones anteriores sobre ángulos requieren entradas no nulas.

Terminamos aquí esta página. En páginas posteriores aprenderemos a calcular ambos productos mediante vectores unitarios y componentes.