Poleas: cómo una cuerda y unas ruedas levantan una carga

Cerca de la superficie terrestre, todos los objetos están sometidos a la gravedad, que tira de ellos hacia abajo. La magnitud de esa fuerza, el peso del objeto, es igual a su masa multiplicada por un número $g$. $g$ expresa con cuánta fuerza tira la Tierra de cada kilogramo: $g \approx 9.8\,\text{N/kg}$, es decir, cada kilogramo experimenta una fuerza de aproximadamente $9.8$ newtons. Escribimos el peso como $mg$, que significa $m \times g$. Para esta carga de 4 kg, $mg = 4\,\text{kg} \times 9.8\,\text{N/kg} = 39.2\,\text{N}$.

En esta lección siempre levantamos la carga despacio y a velocidad constante. Como explica la página de Leyes de Newton, cuando un objeto está en reposo o se mueve en línea recta a velocidad constante, las fuerzas que actúan sobre él están equilibradas: la suma de las fuerzas ascendentes es exactamente igual a la de las descendentes. Por tanto, para levantar esta carga con la mano a velocidad constante, debemos ejercer hacia arriba exactamente $39.2\,\text{N}$, ni más ni menos. Al principio hacemos un poco más de fuerza para ponerla en movimiento; después, las fuerzas equilibradas mantienen esa velocidad. Esta página responde a una pregunta: ¿pueden una cuerda y unas poleas permitirnos levantar la misma carga con menos fuerza?

Cuando una cuerda está tensa, cada parte tira de las partes vecinas. Si sujetas un extremo, notarás que tira de tu mano en la dirección de la cuerda; la carga del otro extremo recibe la misma fuerza de tracción. La magnitud de esta fuerza se llama tensión de la cuerda y la representamos por $T$. Una cuerda solo puede tirar, no empujar, y siempre tira en su propia dirección.

En una misma cuerda tensa, la tensión es igual en todos sus puntos. ¿Por qué? Observa un tramo muy corto: la cuerda a su izquierda tira hacia un lado y la cuerda a su derecha hacia el otro. Nuestra cuerda es muy ligera, así que ese pequeño tramo apenas tiene masa. Si las dos tensiones fueran diferentes, la fuerza sobrante haría que el tramo se desplazara cada vez más deprisa. Sin embargo, durante una elevación a velocidad constante, eso no ocurre. Por tanto, las tensiones a ambos lados de cada pequeño tramo son iguales, y la tensión es la misma de un extremo al otro de la cuerda.

La polea permite mantener esta propiedad cuando la cuerda cambia de dirección. La rueda puede girar libremente sobre su eje, de modo que la cuerda no necesita deslizar sobre una superficie fija. Si la tensión de un lado fuera mayor que la del otro, la rueda giraría cada vez más deprisa; en una rueda ligera y sin rozamiento que gira a velocidad constante, ambas tensiones deben ser iguales. Por tanto, al salir de la rueda la tensión sigue siendo $T$ y solo cambia su dirección. Este modelo hace dos simplificaciones: la cuerda es muy ligera y las ruedas no tienen rozamiento; el último capítulo explica qué cambia con cuerdas y ruedas reales.

Empecemos por la disposición más sencilla. Una polea cuelga de una viga mediante un gancho y no se desplaza, por lo que se llama polea fija. Un extremo de la cuerda está atado a la carga; la cuerda sube, rodea la rueda y baja hasta el mango rojo que sujetamos. Entre la cuerda y el mango hay un dinamómetro de resorte que mide la fuerza con que tiramos.

Tira de la cuerda con el control deslizante y observa tres cosas: la lectura del dinamómetro, las direcciones en que se mueven la carga y la mano, y las dos reglas. La regla azul indica cuánto ha subido la carga y la naranja cuánta cuerda ha tirado la mano. Hay marcas oscuras cada 20 cm en la cuerda para que puedas seguir su movimiento alrededor de la rueda.

La carga cuelga de un solo tramo de cuerda, que tira hacia arriba con una tensión $T$. Para elevarla a velocidad constante, esta única fuerza ascendente debe equilibrar su peso, así que $T = mg$: para 4 kg, $T = 39.2\,\text{N}$, igual que al levantarla directamente con la mano. Como es la misma cuerda, si la mano tira de 30 cm hacia abajo, por el otro lado suben 30 cm y la carga asciende 30 cm. Una polea fija no reduce ni la fuerza ni la distancia. Lo que cambia es la dirección: tiramos hacia abajo y la carga sube; tirar hacia abajo resulta más cómodo porque podemos ayudarnos con nuestro propio peso.

Antes de añadir más poleas, necesitamos un método fiable para calcular las fuerzas, porque pronto la cuerda dará varias vueltas y será difícil ver qué hace cada tramo. El método es este: rodea con un recuadro la parte que sube junto con la carga y considera solo las fuerzas que atraviesan su borde. La gravedad tira de la carga interior hacia abajo con magnitud $mg$. La cuerda también cruza el borde: cada tramo que este corta tira hacia arriba del conjunto con una tensión $T$.

Durante una elevación a velocidad constante, las fuerzas sobre todo lo que hay dentro del recuadro están equilibradas. Si el recuadro corta $n$ tramos de cuerda, la fuerza ascendente total es $nT$ y debe ser igual al peso descendente: $nT = mg$. Dividiendo ambos miembros entre $n$, obtenemos la tensión $T = mg / n$. No necesitamos contar las fuerzas entre dos objetos del interior, como la fuerza de la polea móvil sobre la carga: uno tira del otro hacia arriba y el otro tira del primero hacia abajo con igual magnitud, de modo que su suma no aporta nada.

Pruébalo con la polea fija. Activa «Recuadro» y «Flechas de fuerza»: dentro solo está la carga y el borde corta un tramo de cuerda, así que $n = 1$ y $T = mg / 1 = mg$, como antes. La flecha naranja en la parte superior representa la tensión de ese tramo y la azul representa el peso; tienen la misma longitud.

Ahora atemos un extremo de la cuerda a la viga. La cuerda baja, pasa por debajo de una rueda y vuelve a subir hasta la mano. Esta rueda no está fijada a un soporte: cuelga del lazo que forma la cuerda, y la carga cuelga de una anilla bajo la rueda, así que ambas suben juntas. Se llama polea móvil.

Rodea con el recuadro la polea móvil y la carga, porque suben juntas. Ahora el borde superior corta dos tramos de cuerda: uno baja de la viga y otro sube hacia la mano. Pertenecen a la misma cuerda, así que ambos tiran hacia arriba con la misma tensión $T$. $n = 2$, por lo que $2T = mg$ y $T = mg / 2$, la mitad de antes. La viga tira de un tramo y nuestra mano del otro; la viga sostiene la mitad del peso.

Compruébalo en la imagen: el dinamómetro debe marcar la mitad del peso. Observa que ahora la mano tira hacia arriba; más adelante resolveremos este inconveniente.

Tira de 20 cm de cuerda y mira las reglas: la carga solo sube 10 cm. ¿Por qué la mitad? Pensemos en la longitud de la cuerda, que nunca cambia. Cuando la polea móvil y la carga suben $h$, el tramo entre la viga y la rueda se acorta $h$, porque su extremo superior permanece fijo y el inferior sube. En el tramo entre la rueda y la mano, el extremo inferior también sube $h$, así que se acorta $h$. Entre los dos tramos quedan libres $h + h = 2h$ de cuerda; como la cuerda no desaparece, toda esa longitud sale por el extremo de la mano. Por tanto, la mano debe tirar de $s = 2h$.

Las marcas de la cuerda muestran este proceso. Mira la marca más cercana a la viga: apenas se mueve porque ese tramo está sujeto allí. Las marcas del tramo de la mano suben al doble de velocidad que la rueda. La rueda gira porque su lado izquierdo está en contacto con cuerda inmóvil mientras su centro asciende.

La mitad de fuerza y el doble de distancia: ¿es una coincidencia? Para levantar una carga de 4 kg una altura de 1 m, la mano ejerce 39,2 N hacia arriba y recorre 1 m, realizando unos 39 J de trabajo ($1\,\text{J} = 1\,\text{N} \times 1\,\text{m}$). Al subir, la carga almacena ese trabajo como energía potencial gravitatoria, de valor $mgh$. La página de Trabajo y energía define el trabajo como fuerza por distancia; si no la has leído, puedes comprobarlo con estos números. El trabajo de la mano es $Fs$ y la energía potencial que gana la carga es $mgh$. En la polea móvil, $F = T = mg/2$ y $s = 2h$, así que el trabajo de la mano es $\tfrac{mg}{2} \times 2h = mgh$, exactamente la energía que gana la carga.

Por tanto, las poleas nunca nos regalan energía. La energía se conserva: la mano debe aportar tanta energía como recibe la carga. La polea solo permite un intercambio: tirar con menos fuerza a lo largo de una distancia mayor. Las lecturas inferiores convierten ambos valores a julios ($1\,\text{J} = 1\,\text{N} \times 1\,\text{m}$, así que primero convertimos los centímetros a metros), para que puedas comprobarlo cualquiera que sea la distancia que tires.

Tirar hacia arriba resulta incómodo, así que añadimos una polea fija en la viga junto a la móvil. Después de salir de la polea móvil, la cuerda sube, rodea la fija y vuelve a bajar hasta la mano. Así podemos tirar otra vez hacia abajo.

¿Ha cambiado la fuerza? Rodeemos con un recuadro la parte que sube: la polea móvil y la carga. El borde superior corta el tramo que baja de la viga y el que va hacia la polea fija, así que siguen siendo $n = 2$ y $T = mg / 2$. El tramo que baja hasta la mano queda fuera: tira de nuestra mano, no de la parte móvil, y por eso no se cuenta. La polea fija solo cambia la dirección de la fuerza, igual que en el capítulo 3.

Para reducir más la fuerza, necesitamos más tramos de cuerda sosteniendo la parte móvil. Aquí cuelgan dos poleas móviles una junto a la otra, unidas por una barra de la que cuelga la carga. De la viga cuelgan dos poleas fijas. Un extremo de la cuerda se ata a la viga y después sigue este recorrido: ① baja y rodea por debajo la primera polea móvil; ② sube y rodea por arriba la primera fija; ③ baja y rodea por debajo la segunda móvil; ④ sube y rodea por arriba la segunda fija, y finalmente baja hasta la mano. Esta disposición se llama aparejo de poleas.

Rodea con el recuadro las dos poleas móviles, la barra y la carga. El borde superior corta cuatro tramos de cuerda, de modo que $4T = mg$ y $T = mg/4$. Para 4 kg, $T = 39.2\,\text{N} \div 4 = 9.8\,\text{N}$, una cuarta parte del peso. El quinto tramo, el que llega a la mano, también queda fuera del recuadro.

La distancia se calcula con el mismo razonamiento. Cuando la parte móvil sube $h$, los cuatro tramos que la sostienen se acortan $h$ cada uno y dejan libres $4h$ de cuerda, que salen por el extremo de la mano: $s = 4h$. Al tirar de 40 cm, la carga sube 10 cm. La comprobación de energía también se cumple: $Fs = \tfrac{mg}{4} \times 4h = mgh$.

Todas las disposiciones de esta página siguen las mismas dos reglas. Si el recuadro de la parte móvil corta $n$ tramos de cuerda, entonces $T = mg / n$ y $s = nh$. Cuantos más tramos haya, menor será la fuerza y mayor la longitud de cuerda que hay que tirar; su producto, el trabajo, siempre es $mgh$.

La mayoría de los errores en problemas de poleas surgen al contar tramos que no sostienen la parte móvil. Estas tres costumbres ayudan a evitarlos.

Las poleas reales requieren una fuerza algo mayor que $mg / n$ por dos motivos. Las poleas móviles y la barra también pesan y suben con la carga, así que su peso se incluye dentro del recuadro. Además, hay rozamiento entre la rueda y su eje, y la cuerda debe doblarse al rodear la rueda, por lo que parte del trabajo se transforma en calor y no eleva la carga. Los ingenieros describen este segundo efecto mediante el rendimiento $\eta$, la letra griega eta: indica la fracción del trabajo de la mano que no se convierte en calor por rozamiento. $\eta = 0.85$ significa 85 %. De cada 100 J que realiza la mano, 85 J elevan la carga y 15 J se transforman en calor.

Incluyamos ambos efectos. Si las poleas móviles tienen una masa de 0,5 kg, hay cuatro tramos y $\eta = 0.85$, la masa que hay que levantar es $4 + 0.5 = 4.5\,\text{kg}$ y su peso es $4.5 \times 9.8 = 44.1\,\text{N}$. La fuerza real de la mano es $\dfrac{44.1}{4 \times 0.85} \approx 13.0\,\text{N}$, en vez de $9.8\,\text{N}$. Con letras: la masa interior pasa a ser $m + m_{\text{block}}$, y del trabajo de la mano $Fs$ solo la fracción $\eta$ se usa para elevarla. Elevarla $h$ requiere un trabajo $(m + m_{\text{block}})\,gh$; como $s = nh$, obtenemos $\eta F nh = (m + m_{\text{block}})\,gh$. Al dividir ambos miembros entre $\eta nh$, resulta $F = \dfrac{(m + m_{\text{block}})\,g}{n\,\eta}$. Pruébalo con los controles: con poleas móviles de 0,5 kg, cuatro tramos y $\eta = 0.85$, levantar 4 kg requiere $\dfrac{4.5 \times 9.8}{4 \times 0.85} \approx 13.0\,\text{N}$, en vez de $9.8\,\text{N}$. Añadir más poleas aporta cada vez menos ayuda, porque cada una añade peso y rozamiento.

Por eso el bloque del gancho de una grúa tiene varias ruedas, pero no decenas; y por eso los marineros eligen el número de tramos según la tarea. La idea de esta página sigue guiando el diseño: cuenta los tramos que sostienen la parte móvil y recuerda que cada newton de fuerza que ahorras exige tirar de más cuerda.