CALCULUS · BEFORE DIFFERENTIATION

Límites: aproximación y crecimiento

Supón que un coche recorre 100 km en 2 horas. Su rapidez media es $100 \div 2 = 50\ \mathrm{km/h}$ , aunque el velocímetro no tiene por qué marcar siempre 50 km/h. Para describir su rapidez en un instante, tomamos primero un intervalo corto que contenga ese instante y dividimos la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. No podemos poner cero directamente en el denominador. En su lugar, hacemos el intervalo cada vez más corto y preguntamos si las rapideces medias se acercan a un valor. Cuando ese límite existe, da la rapidez en el instante.

Mantén la pregunta del coche en mente mientras probamos una más pequeña. Una función es una regla que da un resultado para cada entrada permitida; un punto de su gráfica registra una entrada y su resultado. Queremos saber hacia dónde se dirigen los resultados cuando la entrada se acerca a un número concreto. Quizá preguntes: «¿Por qué no poner directamente ese número?». A veces el valor ahí no existe, aunque los valores cercanos siguen un patrón que podemos examinar. La tabla y la gráfica muestran estas dos cosas juntas. Acercándonos desde la izquierda y desde la derecha, comprobamos si ambos lados apuntan al mismo resultado y si el valor en el punto concuerda con él.

01¿Hacia dónde tiende cada lado?

Reproduce o arrastra el progreso; ninguno de los dos puntos de muestreo llega a ser a. Cambia de ejemplo y compara coincidencia entre lados, huecos, saltos, oscilaciones y crecimiento no acotado.

f(x)=x^2

● Aproximarse desde la izquierda● Aproximarse desde la derechaLas flechas del borde indican que los puntos móviles están fuera de la vista

Progreso de la animación0%

¿Hacia dónde tienden los valores de la función al acercarnos a a?

Escribimos $x\to a$ para indicar que x se acerca cada vez más a a; $x\ne a$ indica que consideramos sus alrededores, sin tomar a mismo. El límite pregunta a qué valor tiende $f(x)$ durante ese proceso. El límite izquierdo toma $x<a$ y el derecho, $x>a$ . Los signos + y − del límite indican los lados, no el signo de la respuesta.

x_L=1-h,\quad x_R=1+h

h=1.2

Dirección	x	f(x)
Izquierda	-0.2	0.04
Derecha	2.2	4.84

\lim_{x\to1^-}f(x)=1

\lim_{x\to1^+}f(x)=1

\lim_{x\to1}x^2=1=f(1)

Escribimos $x$ como $1+h$ , donde $h$ puede ser positivo o negativo. Entonces $x^2=(1+h)^2=1+2h+h^2$ , cuya diferencia respecto a 1 es $2h+h^2$ . Si $\lvert h\rvert <1$ , el valor absoluto de esa diferencia no supera $2\lvert h\rvert+h^2\le 3\lvert h\rvert$ . Eligiendo $\lvert h\rvert$ lo bastante pequeño, hacemos la diferencia menor que cualquier número positivo fijado de antemano. Por eso, al acercarnos a 1 desde ambos lados, los valores de la función tienden a 1. Como $f(1)$ también es 1, este ejemplo es continuo en 1.

DNE significa «does not exist», es decir, «no existe». Existe un límite bilateral finito si y solo si ambos límites laterales existen y son el mismo número finito. La animación de duración finita ilustra la idea; las fórmulas explican por qué se mantiene arbitrariamente cerca de a.

02¿Qué término acaba dominando?

Ahora hacemos que la entrada aumente sin cesar, en vez de acercarse a un número finito. En una potencia como $x^3$ , el exponente es fijo, aquí 3. Los términos de menor grado pueden seguir creciendo, pero se hacen menores respecto al término de mayor grado. Incluso un coeficiente tan grande como 400 solo retrasa el predominio del término dominante; no cambia el límite final. La gráfica también incluye $e^x$ y $\ln x$ . Aquí $e\approx2.718$ es un número positivo fijo; cada aumento de 1 en el exponente de $e^x$ multiplica su valor por $e$ . Cuando $x>0$ , $\ln x$ pregunta qué exponente $t$ hace que $e^t=x$ . Invierte la operación exponencial. Tras observar las gráficas, construiremos la función exponencial y explicaremos estas comparaciones de crecimiento.

x	$2x^3$	$-2x^2$	1	$\frac{\|-2x^2\|}{\|2x^3\|}$
10	2000	-200	1	0.1
100	2.000e+6	-20000	1	0.01
1000	2.000e+9	-2.000e+6	1	0.001
10000	2.000e+12	-2.000e+8	1	0.0001
1.000e+6	2.000e+18	-2.000e+12	1	1.000e-6

El término cuadrático no tiende a cero; su valor absoluto sigue creciendo. Lo que tiende a cero es su cociente con el término cúbico. Ese es el significado preciso de poder despreciarlo aquí.

e^x

x^2+1

x

\sqrt{x-1}

\ln x

Extremo derecho del eje horizontal6

La gráfica toma $x>0$ , pero $\sqrt{x-1}$ también exige $x\ge 1$ en los reales. Una pendiente mayor en un intervalo finito no demuestra un orden de crecimiento mayor a largo plazo.

Por ejemplo, $\sqrt{x-1}$ es muy empinada justo a la derecha de 1, pero termina creciendo mucho más despacio que $x$ . Para comparar órdenes de crecimiento debemos examinar el cociente relativo cuando $x\to \infty$ .

\ln x\ll\cdots\ll x^{1/3}\ll x^{1/2}\ll x\ll x^2\ll x^3\ll\cdots\ll e^x

Aquí $f \ll g$ significa que $f/g\to 0$ cuando $x\to \infty$ ; todos los exponentes son constantes positivas. Es una relación de crecimiento eventual, no una desigualdad de tamaños válida para todo $x$ positivo. También hay correspondencias entre funciones inversas: exponencial ↔ logaritmo y potencia ↔ raíz, con dominios adecuados.

La gráfica sugiere un orden, pero solo muestra un intervalo finito. Para justificar toda la cadena de crecimientos debemos demostrar que, al dividir cada expresión por la siguiente, el cociente tiende a cero. Empecemos por las potencias. Si $q>p>0$ , al simplificar la potencia común queda en el denominador una potencia de exponente positivo.

\frac{x^p}{x^q}=\frac1{x^{q-p}}\longrightarrow0\qquad(x\to\infty)

Las raíces también están incluidas: $\sqrt{x}$ es x elevado a $\tfrac12$ . Para $x\ge1$ , la raíz desplazada de la gráfica cumple $0\le\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , por lo que se vuelve cada vez menor en relación con x. Cuando x es suficientemente grande, esta cota superior resulta menor que cualquier número positivo elegido de antemano.

¿Por qué una exponencial acaba superando cualquier potencia fija? Usaremos una construcción que muestre la razón en el álgebra. Para $t\ge0$ podemos definir $e^t$ como el límite de $\left(1+t/N\right)^N$ cuando el entero positivo N crece indefinidamente. Elegir exactamente k factores entre N para tomar $t/N$ y tomar 1 en los restantes produce el término siguiente. Hay $\frac{N(N-1)\cdots(N-k+1)}{k!}$ elecciones; $k!$ significa $1\times2\times\cdots\times k$ y elimina el recuento repetido de una misma selección en distintos órdenes.

\begin{gathered}\left(1+\frac tN\right)^N\\\ge\frac{N(N-1)\cdots(N-k+1)}{k!}\frac{t^k}{N^k}\\\longrightarrow\frac{t^k}{k!}\end{gathered}

Todos los términos son no negativos, de modo que conservar solo uno proporciona una cota inferior. Con k fijo, cada factor $(N-j)/N$ tiende a 1, por lo que $e^t\ge t^k/k!$ . Para comparar $x^p$ con $e^x$ , elegimos un entero k mayor que p y obtenemos una cota superior cuyo límite ya sabemos calcular.

0\le\frac{x^p}{e^x}\le\frac{k!}{x^{k-p}}\longrightarrow0

Por último, $\ln x$ es el número t que satisface $x=e^t$ . Esta sustitución busca convertir el logaritmo en t y transformar $x^p$ en $e^{pt}$ . Usamos de nuevo la cota inferior anterior, con $k=2$ y entrada pt. Para cualquier $p>0$ fijo, la cota superior obtenida tiende a cero. Estos argumentos describen cocientes a largo plazo, no el orden vertical de las gráficas para todos los valores pequeños de la entrada.

\begin{gathered}t=\ln x\longrightarrow\infty\\0\le\frac{\ln x}{x^p}=\frac{t}{e^{pt}}\\\le\frac{2}{p^2t}\longrightarrow0\end{gathered}

03Deja crecer los términos y observa cómo aumenta la diferencia

Conservamos todos los términos originales. Relacionándolo con el crecimiento anterior, el término cúbico crece más rápido que el cuadrático. Aumenta x y compara directamente los valores de cada término del numerador y del denominador.

R(x)=\frac{2x^3-2x^2+1}{4x^3+400x^2-1000}

x $10$

Valor de la expresión completa R(x)0.0418837

Solo los términos cúbicos:

2x^3 / 4x^3

0.5

Escala lineal común · La longitud de las barras indica el valor absolutoValor de escala completa =

40,000

Numerador

2x^3

2,000

-2x^2

-200

1

1

Denominador

4x^3

4,000

400x^2

40,000

-1000

-1,000

Al aumentar los valores, la escala se amplía conjuntamente; las seis barras usan la misma regla. Mira los valores de la derecha: los términos cuadráticos también crecen, pero los cúbicos crecen más deprisa, así que las barras cuadráticas parecen cada vez más cortas. Un punto pequeño marca términos no nulos menores que un píxel; el signo negativo se conserva en los valores.

Progreso de la animación0%

Cuando $x=10$ , el coeficiente 400 hace que el término cuadrático del denominador sea mucho mayor que el cúbico. El límite describe la tendencia final; no dice que el término cúbico domine para todo $x$ .

\text{large }x:\quad\frac{2x^3-2x^2+1}{4x^3+400x^2-1000}\approx\frac{2x^3}{4x^3}=\frac12

\boxed{\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3-2x^2+1}{4x^3+400x^2-1000}=\frac12}

Los términos dominantes del numerador y denominador son cúbicos: tienen el mismo orden de crecimiento y sus coeficientes están en razón 2:4. Los términos más lentos se vuelven gradualmente despreciables en comparación. Observa el signo de aproximación: para $x$ finito, la expresión completa no se convierte exactamente en $\tfrac{1}{2}$ .

Ahora convertimos la comparación de magnitudes en un cálculo exacto. La potencia de mayor grado es $x^3$ . Dividimos todos los términos del numerador y del denominador por $x^3$ : dividir ambos por el mismo número no nulo conserva el valor de la fracción. Tomamos $x>0$ porque estudiamos x cuando tiende a más infinito.

\begin{gathered}\frac{2x^3-2x^2+1}{4x^3+400x^2-1000}\\=\frac{2-2/x+1/x^3}{4+400/x-1000/x^3}\end{gathered}

Por ejemplo, en $400x^2/x^3=400/x$ , al simplificar dos factores x queda otro x en el denominador. Cuando x crece indefinidamente, $1/x$ y $1/x^3$ tienden a cero; multiplicarlos por una constante fija no cambia ese límite. Por tanto, el numerador tiende a 2 y el denominador tiende al valor no nulo 4. Solo entonces podemos tomar el cociente de sus límites.

\begin{gathered}\lim_{x\to\infty}\frac{2-2/x+1/x^3}{4+400/x-1000/x^3}\\=\frac{2-0+0}{4+0-0}\\=\frac12\end{gathered}

La secuencia didáctica toma como referencia el capítulo Limits del manuscrito proporcionado de Calculus from Scratch, especialmente los límites laterales y los de polinomios y funciones racionales. Esta página distingue límites finitos e infinitos.