Derivadas: de las secantes a la función derivada
Una recta tiene una sola pendiente, pero una curva puede ser empinada en un lugar y más plana en otro. Si señalamos un solo punto y preguntamos «¿qué tan empinado es aquí?», ¿podemos calcular aún un número? La pregunta suena razonable. La dificultad es que el cálculo de pendiente que conocemos necesita dos puntos, mientras que queremos describir una sola posición.
Todavía no tenemos una forma de usar un solo punto. Tomemos un punto cercano Q y unámoslo al punto P que nos interesa. Podemos calcular la pendiente de esa recta, pero describe el cambio entre P y Q, no el cambio en P solo. En el diagrama, deja P donde está y acerca Q. Aún no hay ninguna fórmula nueva que memorizar. Observa cómo gira la recta y compara los valores de pendiente que aparecen al lado. Esos cambios nos ayudarán a encontrar un significado para la pendiente en P.
Usaremos puntos de la gráfica de una función y la idea de acercarse de la página de límites. Si necesitas un recordatorio, la coordenada horizontal da la entrada y la vertical da su resultado. Un límite describe el valor al que algo se acerca. La derivada reunirá estas dos ideas.
¿Cómo hallamos la pendiente en un punto de una curva?
Usemos como ejemplo: multiplicar cada entrada por sí misma da la altura en la gráfica. Fijamos y tomamos otro punto sobre la misma curva. La línea continua que pasa por los dos se llama secante. Acercamos a poco a poco y comparamos su pendiente con la de la tangente que muestra la línea discontinua.
Lee los dos incrementos
h es el incremento horizontal de P a Q y tiene signo. Cuando Q está a la izquierda, h es negativo.
Usa la fórmula de la pendiente entre dos puntos
Divide el incremento vertical entre el incremento horizontal; el resultado sigue siendo la pendiente de la secante.
Toma el límite y define la derivada
Si al acercarse desde ambos lados las pendientes tienden al mismo valor finito, ese valor es la derivada .
h ≠ 0¿Por qué la derivada de es exactamente ?
¿Cómo cambia la pendiente de la secante cuando Q se acerca a P? Mantenemos x fijo y escribimos la segunda entrada como ; su altura es . Para calcular la pendiente debemos desarrollar el cuadrado. Elevar al cuadrado significa multiplicar todo el paréntesis por sí mismo: cada término del primero debe multiplicarse por cada término del segundo.
Buscamos el cambio de altura, así que restamos la altura inicial . Los dos términos se cancelan. Los dos términos restantes contienen h; lo sacamos como factor común para ver cómo realizar la división siguiente.
Q sigue separado de P, por lo que h no es cero y podemos simplificar el factor h. Solo ahora hacemos que h tienda a cero desde cualquiera de los dos lados. El término fijo 2x no cambia y el h adicional tiende a cero. Por ejemplo, con , da pendiente 2.1 y da 1.9: ambos lados tienden al mismo valor, 2.
¿Y si registramos la pendiente en cada x?
Ya podemos hallar la pendiente en una x elegida. Para comparar pendientes en posiciones distintas, las registramos en una segunda gráfica: conservamos la misma x y usamos la pendiente como nueva altura. Así queda un punto en la nueva gráfica. Al movernos por la curva original y repetir el cálculo, añadimos más puntos a la nueva gráfica.
En x=1, la pendiente instantánea de la función original es 2. La derivada es la pendiente en ese punto, por lo que f′(1)=2: marcamos el punto (1, 2) en la gráfica de la derecha.
El valor de la derivada en un punto y toda una función derivada
es un número: la pendiente en . es una función: introduce cualquier y obtendrás la pendiente en ese punto. La altura original y la pendiente son cantidades diferentes.
Esta última línea queda determinada por , deducida arriba. Unos pocos puntos no determinan una curva de forma única; registrarlos uno a uno sirve para ver la regla, no para sustituir la demostración con un muestreo.
