Aproximación

01¿Qué falta en «aproximadamente 3»?

La raíz cuadrada plantea al revés la pregunta sobre elevar al cuadrado: como $3^2=9$, el número no negativo cuyo cuadrado es 9 es 3, es decir, $\sqrt{9}=3$. Si aumentamos un poco el número bajo la raíz, de 9 a 9,1, su raíz cuadrada también aumenta un poco. Por eso 3 es una primera estimación útil, pero ignora ese aumento.

¿Podemos estimar cuánto debemos añadir a 3 sin conocer todavía $\sqrt{9.1}$? Esa es la razón para usar una aproximación: sustituir un cálculo difícil por otro más sencillo, mientras controlamos la diferencia que introduce esa sustitución. El símbolo $\approx$ significa «aproximadamente igual», no que ambos números sean exactamente iguales.

Llamemos $f(x)=\sqrt{x}$ a esta regla de cálculo. $x$ es la entrada y $f(x)$, la salida; en la gráfica, la altura de la curva representa la salida. Conocemos el punto $P=(9,3)$ y queremos hallar la altura de otro punto cercano, Q, cuya entrada es 9,1. Mantener solo la altura inicial 3 es una primera estimación. La siguiente también utilizará la pendiente en P.

02Conservar el punto inicial. Dar nombre al cambio.

Vamos a probar varias entradas cercanas, así que demos un nombre al cambio de entrada: $h$. Es la entrada nueva menos la conocida. Si partimos de 9, la nueva entrada es $9+h$. Para llegar a 9,1 necesitamos $h=9.1-9=0.1$; para llegar a 8,9, necesitamos $h=8.9-9=-0.1$.

La altura también cambia, pero normalmente no en la misma cantidad que la entrada. Pasa de $f(9)=3$ a $f(9+h)$, así que el cambio de altura es $f(9+h)-3$. En la figura dividimos el recorrido de P a Q en dos pasos: movernos horizontalmente $h$ y después movernos verticalmente hasta Q. El tramo horizontal registra el cambio de entrada; el vertical, el de salida. Prueba valores positivos y negativos de $h$ y compáralos con $h=0$.

Si estuviéramos calculando la aproximación por nuestra cuenta, aún no conoceríamos este cambio de altura. La figura puede calcularlo para comprobar el resultado, pero nuestro método debe predecirlo con la información de P. ¿Qué relaciona el cambio horizontal con el vertical? La pendiente cumple esa función.

03Usar una pendiente que ya conocemos

En una recta, la pendiente es el cambio de altura dividido entre el cambio de entrada. Por ejemplo, una pendiente de 2 significa que al movernos 1 unidad a la derecha subimos 2 unidades. Multiplicar el cambio horizontal por la pendiente nos da el cambio de altura correspondiente.

La gráfica de la raíz cuadrada es curva, y una sola pendiente no puede describirla por completo. Unamos primero P con otro punto distinto Q mediante una recta: es una secante que pasa por los dos puntos. Al acercar Q a P, la pendiente de la secante tiende a la pendiente en P. La recta que pasa por P con esa pendiente límite es aquí la tangente.

Esa pendiente límite es la derivada en 9, escrita $f'(9)$. La pequeña prima arriba a la derecha significa «derivada», no otra entrada. El límite de abajo indica que consideramos, desde ambos lados, cambios $h$ cada vez menores, pero distintos de cero. No consiste en sustituir directamente cero en el denominador.

En la siguiente sección calcularemos que esta pendiente es $1/6$. Por ahora compárala con la de la secante. Acerca Q desde ambos lados, pausa cuando las pendientes aún sean distintas y amplía la zona de P. Prueba después exactamente $h=0$: P y Q coinciden, el cociente de la secante no está definido, pero la pendiente de la tangente sigue existiendo.

04¿De dónde sale la pendiente 1/6?

Calculemos esta pendiente, en vez de tratarla como una regla que hay que memorizar sin explicación. Sustituimos $f(x)=\sqrt{x}$ y $f(9)=3$ en el cociente de la secante. Al calcularlo suponemos primero $h\ne0$ y $9+h\ge0$, para que la raíz cuadrada esté definida.

Los mismos pasos sirven para cualquier entrada inicial positiva $u$. Aquí $u$ es simplemente el nombre de la entrada conocida, que sustituye al 9 elegido antes. Al cambiar el 3 del cálculo por $\sqrt{u}$, ambas raíces del denominador tienden a $\sqrt{u}$, por lo que:

05Convertir la pendiente en una altura predicha

Volvamos al problema original: estimar una altura cerca de $P=(9,3)$. Ahora conocemos la pendiente de la tangente, $f'(9)=1/6$. Para un $h$ pequeño y no nulo, aproximamos la pendiente de la secante mediante esta pendiente conocida. Después deshacemos las operaciones: primero «dividir entre $h$» y luego «restar 3». Cada paso algebraico corresponde a un movimiento en la figura.

Primero multiplicamos por $h$ y el lado izquierdo se convierte en el cambio de altura. En el derecho predecimos ese cambio mediante cambio de entrada por pendiente. Si $h$ es negativo, el cambio de altura previsto también lo es: debemos bajar, no subir.

La figura muestra cada acción del cálculo: moverse horizontalmente $h$, cambiar la altura en $h/6$ y sumar ese cambio a la altura inicial 3. Pulsa «Siguiente paso» para ver las operaciones una por una y comprobar de dónde sale la respuesta. Cuando $h=0$ no hay cambio y el resultado es exactamente 3, sin necesidad de usar el cociente de la secante.

Para el objetivo original, 9,1, el cambio con signo es $h=0.1$. La predicción es:

Un cálculo más preciso da $\sqrt{9.1}\approx3.0166206258$. La diferencia con nuestra predicción es aproximadamente $0.00004604$, mucho menor que el incremento de alrededor de $0.01662$ que ignorábamos al decir simplemente 3. En este ejemplo sí es más precisa, pero sigue siendo una aproximación. Examinemos ahora la separación restante.

06Ver el error, aunque sea pequeño

Denotemos por $L$ la altura prevista por la recta. Definimos el error con signo como $E=L-f(u+h)$, es decir, «valor previsto menos valor real». Un error positivo indica una predicción demasiado alta; uno negativo, demasiado baja. El error absoluto $|E|$ conserva solo la magnitud de la diferencia. Aquí $u$ es la entrada inicial conocida y $h$ sigue siendo la entrada objetivo menos la inicial.

En la gráfica completa, Q y T pueden parecer coincidir. Eso no demuestra que sus valores sean iguales: la separación quizá sea menor que un píxel de la pantalla. La ventana independiente de abajo amplía solo su diferencia vertical, muestra la escala y la mantiene fija al cambiar $h$.

07Conservar el método. Cambiar la función.

La construcción utilizó tres datos: la entrada conocida, su altura y la pendiente en ese punto. Para una función general $f$, llamemos $u$ a la entrada conocida. Su altura es $f(u)$ y su derivada allí, $f'(u)$. Para llegar a la entrada cercana $u+h$, multiplicamos el cambio con signo $h$ por la pendiente y después sumamos ese cambio de altura a la altura inicial:

Una vez elegido $u$, $f(u)$ y $f'(u)$ son números fijos; solo cambia $h$. El lado derecho es la regla de una recta: el valor inicial más una constante multiplicada por el cambio de entrada. Usar esa recta para aproximar la función cerca de $u$ se llama linealización. Sigue siendo el mismo desplazamiento horizontal y cambio vertical que acabamos de ver, escrito ahora de una forma aplicable a otras funciones adecuadas.

A veces escribimos la entrada nueva como $x$ en lugar de $u+h$. Entonces $h=x-u$ y la predicción se escribe $L(x)=f(u)+(x-u)f'(u)$. No es otro método: damos nombre directamente a la entrada objetivo en vez de al cambio.

También debemos comprobar las condiciones: la función debe tener una derivada finita en la entrada elegida y el objetivo debe pertenecer al dominio, es decir, al conjunto de entradas para las que la función está definida. No basta con que existan ambos valores de la función. Para $f(x)=\sqrt{x}$, el valor en cero existe, pero no existe allí la pendiente finita que necesitamos; por eso esta construcción para la raíz cuadrada exige $u>0$.

La existencia de la derivada garantiza que, al reducir el paso, la predicción lineal mejora localmente: el error restante dividido entre $|h|$ tiende a cero. Pero no nos dice directamente si un paso concreto ya es lo bastante pequeño para la precisión deseada. Para la raíz cuadrada dedujimos una fórmula exacta del error; otras funciones pueden exigir una comprobación numérica o una deducción adicional de cotas del error.

¿Por qué la derivada ofrece esa garantía? Escribamos el error de predicción como $E=f(u)+hf'(u)-f(u+h)$. Para $h$ distinto de cero dividimos ambos lados entre $h$ y obtenemos la diferencia entre la derivada y la pendiente de la secante:

Por definición de derivada, la pendiente de la secante tiende a la derivada, de modo que su diferencia tiende a cero. Al tomar valores absolutos obtenemos $|E|/|h|\to0$. Esto explica la mejora local de la predicción y por qué necesitábamos que la derivada existiera desde el principio.

08Construir tú mismo una predicción

Distingue la función de las tres cantidades: $f(u)$ es una altura, $h$ es un cambio de entrada con signo y $f'(u)$ es el cambio de altura por unidad de cambio de entrada. Multiplicar las dos últimas da un cambio de altura, no la altura final. Solo después de sumar $f(u)$ obtenemos la predicción. Prueba un cambio hacia la derecha y otro hacia la izquierda.

La recta conserva la altura y la pendiente del punto elegido, pero no puede curvarse junto con la función. Para mejorar la aproximación en un intervalo algo mayor necesitamos una regla de cálculo que también reproduzca el cambio de pendiente. En la siguiente página construiremos esa idea paso a paso mediante los polinomios de Maclaurin y Taylor.