Desarrollo de Taylor

01¿Cómo mejorar aquella recta?

En la página de aproximación usamos un valor conocido y la pendiente en ese punto para estimar valores cercanos. Allí llamamos $u$ al punto de partida y aquí lo llamaremos $a$ . La entrada objetivo es $x$ y $h=x-a$ es el cambio con signo desde $a$ hasta $x$ . Un $h$ negativo sitúa el objetivo a la izquierda.

f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)

f(a) determina por dónde pasa la recta. La derivada f′(a), la pendiente en a, determina su dirección. Pero la pendiente de una recta es constante, mientras que la dirección de la función puede variar. Para seguir ese cambio necesitamos más información que la del término lineal.

¿Por qué buscar polinomios? Por ejemplo, $1+x+x^2$ solo requiere multiplicar y sumar, operaciones más sencillas que calcular raíces o funciones trigonométricas. No queremos dibujar una línea arbitraria, sino elegir cada coeficiente con una razón.

02Dónde empezar y qué cantidades deben coincidir

Elegimos primero $a=0$ , conveniente porque sus potencias enteras positivas siguen siendo cero. Un polinomio es una suma finita: una constante, un número multiplicado por $x$ y otro por $x^2$ . Los multiplicadores son los coeficientes $c_0, c_1, c_2$ y el subíndice indica su grado.

P_N(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_Nx^N

$P$ es el polinomio que construimos y $N$ su grado máximo. La constante $c_0$ no contiene $x$ . Elegiremos los coeficientes para que $P$ y $f$ tengan el mismo valor en cero y sus derivadas de los distintos órdenes también coincidan allí.

P_N(0)=f(0),\qquad P_N'(0)=f'(0)

La primera condición hace que las gráficas pasen por el mismo punto. Cuando $N \ge 1$ , la segunda les da la misma pendiente allí: las dos propiedades de la tangente. Si $N=0$ solo hay una constante y exigimos únicamente la primera condición.

Derivar $f'$ da $f''$ , que describe cómo cambia la pendiente. Derivar otra vez da $f'''$ , que describe cómo cambia $f''$ . Si conservamos términos hasta grado $N$ , exigimos que todas las derivadas hasta orden $N$ coincidan en cero; la función original debe tenerlas en el punto de partida.

P_N''(0)=f''(0),\qquad P_N'''(0)=f'''(0)

Esta es una regla para construir un polinomio finito. Todavía no afirmamos que ambas funciones sean iguales fuera de cero. Más adelante comprobaremos por separado cuánto se aproximan.

03Dejar aislado un coeficiente desconocido

Busquemos $c_0$ . Al sustituir $x=0$ desaparecen todos los términos con potencias enteras positivas de $x$ y queda la constante: $P_N(0)=c_0$ , de donde $c_0=f(0)$ . Para hallar $c_1$ , derivamos una vez para convertirlo en constante: la constante anterior desaparece y $c_1x$ pasa a $c_1$ .

P_N'(x)=c_1+2c_2x+3c_3x^2+\cdots

Una constante no cambia, así que su derivada es cero. Al derivar $x^n$ , $n$ pasa a ser un factor y el grado baja a $n-1$ ; si el término tenía un coeficiente fijo $c_n$ , su derivada conserva el mismo factor $c_n$ .

¿Por qué el exponente se convierte en multiplicador?

Para un entero positivo n, (x+t)ⁿ multiplica n paréntesis iguales. Al desarrollar, elegir siempre x da xⁿ. Para un término con un solo t, elegimos t en un paréntesis y x en los demás. Hay n elecciones, de modo que suman nxⁿ⁻¹t. El resto contiene al menos dos factores t.

(x+t)^n-x^n=nx^{n-1}t+t^2B(t)

B(t) nombra el polinomio finito que queda al sacar t² del resto. Solo dividimos entre t distinto de cero y después estudiamos el límite al acercarse a cero. Como B(t) permanece finito cerca de cero, tB(t) tiende a cero y queda la pendiente nxⁿ⁻¹.

\frac{(x+t)^n-x^n}{t}=nx^{n-1}+tB(t)

\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\quad(n\ge1)

d/dx significa «derivar respecto de x». Si n=0, el término es la constante 1 y su derivada es 0; no forzamos la fórmula de exponentes positivos para introducir una potencia negativa.

Encontrar un coeficiente sin perder su origen

Elige un coeficiente, deriva paso a paso y examina el resultado al sustituir cero. Encima de cada término conservamos el original para comprobar de dónde procede.

Observa los términos originales. Aún no hemos calculado los coeficientes.

Término original

c_{0}

c_{0}

Aún no se ha derivado.

Término original

c_{1}x

c_{1}x

Aún no se ha derivado.

Término original

c_{2}x^{2}

c_{2}x^{2}

Aún no se ha derivado.

Término original

c_{3}x^{3}

c_{3}x^{3}

Aún no se ha derivado.

Término original

c_{4}x^{4}

c_{4}x^{4}

Aún no se ha derivado.

Paso 0 / 2

Prueba $c_2$ . Tras dos derivadas se convierte en $2c_2$ . Al sustituir $x=0$ desaparecen los términos de mayor grado, mientras los de menor grado ya desaparecieron al derivar. Así, $f''(0)=2c_2$ y obtenemos $c_2=f''(0)/2$ . Para $c_3$ aparecen sucesivamente los factores 3, 2 y 1; dividir entre 6 elimina el factor adicional.

Grado menor

Se convierte antes en constante y la siguiente derivada lo anula.

Grado que buscamos

Acaba de convertirse en constante: es precisamente el término que conservamos.

Grado mayor

Todavía contiene x y solo desaparece al sustituir cero.

04Escribir la regla sin perder el origen de los factores

Tras $n$ derivadas, $x$ desaparece y queda el factor $n(n-1)\cdots 2\cdot 1$ . Este producto es el factorial de $n$ , escrito $n!$ . Por tanto, $f^{(n)}(0)=n! c_n$ , de donde $c_n=f^{(n)}(0)/n!$ .

f^{(n)}(0)=n!c_n

c_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}

$f^{(n)}$ indica que hemos derivado $n$ veces. Para la constante acordamos $f^{(0)}=f$ y $0!=1$ , y la misma regla produce $c_0=f(0)$ .

P_N(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

El símbolo mayúsculo $\Sigma$ significa «sumar». $N$ permanece fijo y $n$ recorre desde $0$ hasta $N$ . El polinomio construido alrededor de cero se llama polinomio de Maclaurin.

\begin{aligned}P_3(x)={}&f(0)+f'(0)x\\&+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f'''(0)}{6}x^3\end{aligned}

Si una derivada vale cero, su coeficiente también. Aunque un término no contribuya, se conserva la regla de igualar derivadas.

05Probar primero con una función cuya respuesta podamos comprobar

Antes de abordar cálculos difíciles, elegimos $f(x)=1/(1-x)$ . La división permite comprobar la respuesta de manera independiente; por ejemplo, $f(0.5)=2$ . No se permite $x=1$ porque el denominador sería cero.

Simplificamos el cociente incremental y obtenemos la derivada $f'(x)=1/(1-x)^2$ .

\frac{f(x+t)-f(x)}{t}=\frac{\frac1{1-x-t}-\frac1{1-x}}{t}

=\frac{t}{t(1-x-t)(1-x)}

\longrightarrow\frac1{(1-x)^2}

Deducir todos los órdenes sin memorizar una fórmula

Escribimos temporalmente b=1−x. Para un entero positivo m, llevamos los dos valores de (1−x)⁻ᵐ a denominador común; el numerador es bᵐ−(b−t)ᵐ. El desarrollo finito explicado antes da bᵐ−(b−t)ᵐ=mbᵐ⁻¹t+t²C(t), con C un polinomio finito. Dividimos entre t y lo hacemos tender a cero; como x≠1, b no es cero.

\frac{(b-t)^{-m}-b^{-m}}{t}=\frac{b^m-(b-t)^m}{t\,b^m(b-t)^m}

\longrightarrow\frac{mb^{m-1}}{b^{2m}}=\frac{m}{b^{m+1}}

Por tanto, derivar (1−x)⁻ᵐ multiplica por m y aumenta en 1 el exponente del denominador. Desde m=1, los factores son 1, 1·2, 1·2·3. Repetir el mismo paso da la forma general. En cero, el denominador vale 1 y la derivada es n!.

f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}

f^{(n)}(0)=n!,\qquad c_n=\frac{n!}{n!}=1

Así, todos los coeficientes son 1. Los primeros polinomios son $P_0=1$ , $P_1=1+x$ y $P_2=1+x+x^2$ . En $x=0.5$ dan 1,5 y 1,75, frente al valor exacto 2. La distancia vertical de las gráficas es el error.

Función original fPolinomioDiferencia vertical de alturas

Fijar x y añadir un término cada vez

$N$ indica el grado máximo conservado. Cambia $N$ y compara la línea discontinua y el error; mantén $N$ fijo y cambia $x$ para comprobar si el mismo polinomio sigue aproximando bien al alejarse de cero.

Grado máximo N1

Entrada x que se calcula0.5

f(0.5)

2

P_{1}(0.5)

1.5

Magnitud del error0.5

Cómo se suman los términos de este polinomio

1

= 1

(0.5)

= 0.5

Sumamos estas contribuciones y obtenemos $P_1(0.5)=1.5$ . El error es el valor absoluto de la diferencia $|f(x)-P_N(x)|$ , por lo que aquí no distinguimos el signo de la diferencia.

Para esta función y entrada, añadir términos hace que el error tienda a cero. La construcción siguiente explicará por qué.

06¿Cuánto falta? ¿Podemos seguir añadiendo indefinidamente?

Abreviamos la suma finita $1+x+\cdots+x^N$ como $S_N$ . Multiplicar y restar permite hallar directamente la diferencia exacta, sin introducir una fórmula general del resto todavía sin explicar.

Restar dos filas casi iguales

La primera fila es $S_N$ . Al multiplicarla por $x$ , el grado de cada término aumenta en 1 y obtenemos la segunda fila. Ahora restamos la segunda de la primera; cada columna corresponde al mismo grado.

Grado máximo N3

Grado 0

S_N

1

-xS_N

0

Grado 1

S_N

x

-xS_N

-x

Grado 2

S_N

x^{2}

-xS_N

-x^{2}

Grado 3

S_N

x^{3}

-xS_N

-x^{3}

Grado 4

S_N

0

-xS_N

-x^{4}

Los términos siguen en sus posiciones originales; aún no se han cancelado.

Tras cancelar obtenemos $(1-x)S_N=1-x^{N+1}$ . Como $x\ne1$ , dividimos ambos lados entre $1-x$ y llegamos a «función original = polinomio finito + parte que falta».

S_N=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}

\frac1{1-x}=S_N+\frac{x^{N+1}}{1-x}

La parte que falta es el resto, $R_N(x)=f(x)-P_N(x)$ . A diferencia de una aproximación, la igualdad anterior es exacta para cada $N$ finito y $x\ne1$ . Por ejemplo, con $N=3$ y $x=0.5$ , el resto $0.125$ explica toda la diferencia.

Fijamos $x$ y aumentamos $N$ . Si $|x|<1$ , el término $|x|^{N+1}$ tiende a cero y, por tanto, el resto tiende a cero. Pero en $x=-1$ , $x^{N+1}$ alterna continuamente. Que $f$ esté definida en una entrada no garantiza que la serie tienda allí a $f$ .

¿Por qué multiplicar repetidamente un número entre 0 y 1 lleva a cero?

Llamamos q al número y m al número entero positivo de factores. Si q=0, es inmediato. Si 0<q<1, escribimos 1/q=1+r, con r>0. Desarrollar (1+r)ᵐ da 1+mr más términos no negativos, así que es al menos 1+mr. Tomando inversos, 0<qᵐ≤1/(1+mr). Aumentar m hace que el lado derecho sea menor que cualquier número positivo prefijado; por tanto, qᵐ tiende a cero.

0<q^m=\frac1{(1+r)^m}\le\frac1{1+mr}\longrightarrow0

Solo después de comprobar el límite podemos escribir la igualdad con la serie infinita. La suma alrededor de cero es la serie de Maclaurin. $\infty$ representa el límite de sumas finitas, no sustituir $N$ por un número infinito.

\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\qquad(|x|<1)

Para otras funciones, igualar derivadas sigue construyendo un polinomio finito, pero no demuestra que añadir términos indefinidamente recupere la función. Hay que comprobar el resto de esa función.

07Cambiar el centro sin cambiar la función original

Cero facilita las sustituciones. Supongamos que queremos calcular $f(0.6)$ y conocemos valor y derivadas en $a=0.5$ : el objetivo está a solo $h=0.1$ del punto inicial. ¿Podemos usar $a$ como nuevo cero local y repetir la construcción?

h=x-a,\qquad x=a+h

La entrada original $x$ sigue indicando la misma posición. La entrada nueva $h$ mide su separación respecto de $a$ . Llamamos a la nueva regla $g(h)=f(a+h)$ ; en particular, $g(0)=f(a)$ .

g(h)=f(a+h),\qquad g(0)=f(a)

x=0.6,\quad h=0.6-(0)=0.6

El mismo punto Q, dos coordenadas de entrada.

Mover solo el origen, manteniendo Q en su lugar

Mueve primero el centro de expansión $a$ . La coordenada $x$ y la altura de $Q$ no cambian; cambia su coordenada local $h$ . La escala inferior mide desde $a$ , no desde el cero original.

Centro de expansión a0

Entrada objetivo x0.6

Grado máximo N3

Valor de la función original2.5

Aproximación centrada en a2.176

Error al expandir en a0.324

Error del mismo grado al expandir en 00.324

Si $h$ aumenta $t$ , $x$ aumenta exactamente $t$ ; por tanto, $g^{(n)}(0)=f^{(n)}(a)$ : la derivada en el cero local coincide con la derivada en $a$ .

\frac{g(h+t)-g(h)}{t}

=\frac{f(a+h+t)-f(a+h)}{t}

g'(h)=f'(a+h)

Construimos primero el polinomio con entrada $h$ , sustituimos las derivadas por $f^{(n)}(a)$ y después $h$ por $x-a$ . El resultado es el polinomio de Taylor centrado en $a$ ; Maclaurin es el caso particular $a=0$ .

g(h)\approx\sum_{n=0}^{N}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}h^n

f(a+h)\approx\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n

T_N(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

La última línea define exactamente $T_N$ . Seguimos aproximando $f(x)$ , porque $a+h=x$ . Escribir $f(x-a)$ cambiaría la entrada de la función original.

Volvemos a $a=0.5$ y $x=0.6$ . La fórmula de derivadas da los coeficientes $2, 4, 8, 16$ . Como $h=0.1$ , la aproximación cúbica es $2.496$ .

\begin{aligned}T_3(0.6)={}&2+4(0.1)\\&+8(0.1)^2+16(0.1)^3\\={}&2.496\end{aligned}

El valor calculado independientemente es $2.5$ y el error $0.004$ . Al expandir desde cero, el error sería $0.324$ . Acercar el centro de expansión ayuda claramente.

Comprobar el resto trasladado con la misma suma finita

Sacamos 1−a del denominador y abreviamos h/(1−a) como r, con a≠1. La función original queda como 1/(1−a) por 1/(1−r). Aplicamos a r la identidad de suma finita ya deducida.

f(a+h)=\frac1{1-a-h}=\frac1{1-a}\frac1{1-r}

r=\frac{h}{1-a}

Reconozcamos primero el polinomio finito. Cada rⁿ es hⁿ/(1−a)ⁿ y el factor exterior 1/(1−a) añade otro factor al denominador. El coeficiente de cada término es precisamente f⁽ⁿ⁾(a)/n!, obtenido antes; esta suma es realmente T_N(x).

\frac1{1-a}\sum_{n=0}^{N}r^n

=\sum_{n=0}^{N}\frac{h^n}{(1-a)^{n+1}}=T_N(x)

El resto también se multiplica por el factor exterior 1/(1−a). Como (1−a)(1−r)=1−a−h=1−x, podemos simplificar así su denominador.

f(x)-T_N(x)=\frac1{1-a}\frac{r^{N+1}}{1-r}

=\frac{r^{N+1}}{1-x}

Cuando $|x-a|<|1-a|$ , el resto tiende a cero.

Si la función tiene derivadas de todos los órdenes en $a$ , su serie de Taylor es la suma infinita alrededor de $a$ . Solo es igual a $f(x)$ cuando la diferencia tiende a cero: $\lim_{N\to\infty}[f(x)-T_N(x)]=0$ .

\lim_{N\to\infty}\bigl[f(x)-T_N(x)\bigr]=0

Solo tras comprobarlo en la entrada elegida podemos sustituir el signo de aproximación por una igualdad.

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

08Aplicarlo y explicar la razón de cada paso

1 · Si f(0)=2, f′(0)=−1 y f″(0)=6, ¿cuál es P₂(x)?

La constante es 2 y el coeficiente lineal −1. Derivar dos veces el término cuadrático aporta un factor 2, así que su coeficiente es $6/2=3$ . Por tanto, $P_2(x)=2-x+3x^2$ .

2 · Para 1/(1−x), calcula P₃(0,2) y el error exacto restante.

P_3(0.2)=1+0.2+0.04+0.008=1.248

El valor exacto es $1.25$ . La fórmula del resto da $0.2^4/0.8=0.002$ , exactamente la parte que falta.

3 · Si a=0,5 y x=0,4, ¿cuáles son h y g(h)?

$h=x-a=-0.1$ . El signo negativo sitúa el objetivo a la izquierda del centro. $g(-0.1)=f(0.4)=5/3$ , no $f(-0.1)$ .

Igualar derivadas indica cómo elegir un polinomio finito; comprobar el resto indica si está justificado seguir añadiendo términos; cambiar el centro significa reutilizar la construcción con otra coordenada de entrada.

Volver al catálogo de matemáticas

Desarrollo de Taylor

01¿Cómo mejorar aquella recta?

02Dónde empezar y qué cantidades deben coincidir

03Dejar aislado un coeficiente desconocido

Encontrar un coeficiente sin perder su origen

04Escribir la regla sin perder el origen de los factores

05Probar primero con una función cuya respuesta podamos comprobar

Fijar x y añadir un término cada vez

Cómo se suman los términos de este polinomio

06¿Cuánto falta? ¿Podemos seguir añadiendo indefinidamente?

Restar dos filas casi iguales

07Cambiar el centro sin cambiar la función original

Mover solo el origen, manteniendo Q en su lugar

08Aplicarlo y explicar la razón de cada paso

¿Qué quieres hacer ahora?

Inicia sesión para ver más