Matemáticas / Empieza aquí

Conoce tu primera función a partir de una tabla

En una máquina expendedora, al pulsar A3 sale la misma botella y al pulsar B1 sale el mismo paquete de galletas. El mismo botón da siempre el mismo resultado; un botón distinto da otro diferente. Comprar agua funciona igual: una botella cuesta 2 yuanes, dos botellas 4 y tres botellas 6. El número cambia; la forma de calcular el precio no. Una regla así —meter un número, seguir una regla fija y obtener un resultado para cada entrada— se llama función en matemáticas.

Muchas preguntas de la ciencia preguntan cómo una cantidad depende de otra. ¿Cuánto se estira un resorte si tiramos con más fuerza? ¿A qué altura está una pelota lanzada un segundo después de salir de la mano? Cada vez metemos un número, seguimos una regla fija y obtenemos otro número. Antes de dibujar esa relación o de preguntar cuán rápido cambia, necesitamos una forma clara de hablar de la regla misma. Para eso sirve una función, y la volverás a encontrar en casi todas las páginas de este sitio, desde el resorte hasta la derivada.

Probemos una regla que podamos calcular a mano: multiplicar un número por 2 y luego sumar 1. Con 0 entra 1; con 1 entra 1 × 2 + 1 = 3. La regla no cambia; lo que cambia es el número que elegimos. Una tabla guarda cada entrada junto con su resultado, y un punto de la gráfica le da una posición a ese par. Queremos entender por qué estas descripciones expresan la misma regla y qué nos puede decir la gráfica. Esta página solo usa multiplicación y suma, y cada letra se explica donde aparece por primera vez.

Calcular los valores de la tabla con la regla

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Llamamos $x$ a la entrada y $y$ a la salida. $2x$ es $2\times x$ , y $2x+1$ abrevia «multiplicar por 2 y después sumar 1». En $y=2x+1$ , elige un $x$ , multiplícalo por 2 y suma 1 al producto: el número obtenido es $y$ . A continuación usamos las cinco entradas −2, −1, 0, 1 y 2. La tabla incluye números negativos porque la regla también se aplica a los números a la izquierda de 0; en la vida cotidiana no hay menos una botella de agua, pero los negativos nos permiten ver unos pasos más de la regla. Los dos números de una misma fila forman un par que registra la entrada y su salida correspondiente.

y=2x+1

Cinco entradas y sus salidas correspondientes
x	y	2x+1
	−3	2×(−2)+1
	−1	2×(−1)+1
	1	2×0+1
	3	2×1+1
	5	2×2+1

Selecciona un valor de $x$ para observar su fila. «Calcular las cinco filas» muestra las cinco seguidas; «Siguiente fila» avanza una cada vez. Puedes arrastrar «Progreso de la animación» a cualquier posición; la flecha circular a la izquierda de la barra reinicia la animación.

xLa entrada que eliges

yLa salida calculada con la regla

Multiplicar por 2 y sumar 1

x=-2,\qquad y=2\times (-2)+1=-3

x es el número que introducimos e y, el resultado obtenido al aplicar la regla. La tabla registra ambos en la misma fila: una entrada corresponde a una salida.

Sustituimos x=−2: 2 × (−2) + 1 = −3. Así, esta fila registra la entrada y su salida correspondiente.

Progreso de la animación0%

Ahora coloca los puntos por tu cuenta

Práctica

Aquí te toca trabajar. El método para representar coordenadas está en «02 Coordenadas» y «03 Colocar puntos uno a uno»; si no lo has visto, puedes consultar esas pestañas primero: la práctica seguirá aquí. La regla pasa a ser y=3x-1: 3x significa 3×x y −1 indica restar 1 al final. El 3 que multiplica a x se llama coeficiente y el −1 añadido al final, constante. El coeficiente determina cuánto aumenta y cuando x aumenta 1; la constante determina dónde empieza la recta. Calcula y para cada x de la tabla y escríbelo; después coloca (x,y) en la cuadrícula: x controla izquierda y derecha, e y, arriba y abajo. Si colocas un punto mal, vuelve a pulsarlo para quitarlo. La recta aparecerá cuando los cinco puntos sean correctos. Si te atascas, abre «Ver el cálculo fila por fila» y comprueba tus operaciones una a una. Que cinco puntos cumplan la regla no demuestra por qué toda la gráfica es recta; lo explicaremos abajo.

Pulsa la cuadrícula para colocar puntos0 / 5

Falta trazar 5 puntos. Cuando los cinco sean correctos, se unirán automáticamente para formar la gráfica.

Ver el cálculo fila por fila

Lee cada igualdad de izquierda a derecha: multiplica por el coeficiente y suma la constante. En las coordenadas entre paréntesis, x aparece primero y el resultado calculado después. Al comprobar una fila, cierra la explicación y coloca tú su punto en la cuadrícula.

x=-2:\quad 3\times(-2)-1=-6-1=-7\quad\longrightarrow\quad(-2,-7)

x=-1:\quad 3\times(-1)-1=-3-1=-4\quad\longrightarrow\quad(-1,-4)

x=0:\quad 3\times(0)-1=0-1=-1\quad\longrightarrow\quad(0,-1)

x=1:\quad 3\times(1)-1=3-1=2\quad\longrightarrow\quad(1,2)

x=2:\quad 3\times(2)-1=6-1=5\quad\longrightarrow\quad(2,5)

(Ampliación: puedes omitirla si no la entiendes.) ¿Por qué es recta toda la gráfica? Llamemos m al número que multiplica a x y c a la constante añadida al final. Aumentamos x en una cantidad pequeña h, distinta de 0: la salida nueva es m(x+h)+c y la anterior, mx+c. Al restarlas, c y mx se cancelan y solo queda mh. Así, cada aumento de 1 en x produce un aumento de m en y, siempre la misma cantidad; los puntos avanzan con pasos uniformes y forman una recta. Ese ritmo constante de cambio se llama pendiente. Comprobar cinco puntos no demuestra que ocurra en toda la recta.

[m(x+h)+c]-[mx+c]=mh

Los cinco primeros pasos solo utilizan el ejemplo $y=2x+1$ , donde $x$ puede ser cualquier número; la práctica final cambia de regla. Cada tabla muestra cinco pares de ejemplo y la ventana de coordenadas solo una parte de la recta completa. Antes de irte, prueba: si la entrada es 3, ¿qué $y$ da esta regla? ( $2\times3+1=7$ .)