¿De dónde salen los coeficientes de la expansión?
¿Qué ocurre cuando el mismo paréntesis se multiplica por sí mismo muchas veces, como en ? Escribir todos los productos lleva mucho tiempo, pero estas expansiones aparecen una y otra vez. Por ejemplo, para hallar la pendiente de una curva como hace falta , el mismo tipo de expresión que la página de la derivada usa para . Los problemas de recuento llevan a la misma estructura, porque cada paréntesis ofrece una elección entre dos términos. Para expandir dos paréntesis multiplicamos cada término de uno por cada término del otro (la página de factorización usa este método). Aquí buscamos una forma más rápida de manejar muchos paréntesis. El ejemplo de la pendiente es solo uno de los lugares donde aparecen estas expansiones; si es nuevo para ti, puedes saltarlo por ahora. Lo que sigue parte de la multiplicación de paréntesis y del recuento.
Empecemos con , que significa . ¿Por qué aparece al final y no solo ? Primero escribiremos los cuatro productos y después añadiremos un paréntesis más. Llevar cuenta de estas elecciones nos ayudará a encontrar el patrón para potencias mayores.
01Dos paréntesis. Cuatro selecciones.
La ley distributiva dice : multiplicar por cada término y sumar. Aplícalo a los dos paréntesis. Toma a o b del primer paréntesis y luego a o b del segundo. Reproduce la animación, pausa o reúne un producto cada vez.
El exponente 2 significa multiplicar 2 factores (a+b). Para desarrollar, elegimos una letra de cada paréntesis y multiplicamos las letras elegidas.
Las elecciones ab y ba proceden de posiciones distintas en los paréntesis. Pero la multiplicación de números ordinarios cumple ab = ba, así que sus productos son iguales. Al sumarlos obtenemos ab + ab = 2ab. El 2 de a² cuenta factores de a; el 2 de 2ab cuenta productos iguales que se suman.
02Tres paréntesis. Contar las posiciones.
Cada selección usa tres letras, así que los exponentes siempre suman 3. Para obtener , dos paréntesis deben aportar y el paréntesis restante debe aportar . Observa las ocho selecciones y compara las tres formas de llegar a ese producto.
El exponente 3 significa multiplicar 3 factores (a+b). Para desarrollar, elegimos una letra de cada paréntesis y multiplicamos las letras elegidas.
¿Por qué aparece tres veces?
Los paréntesis ocupan tres posiciones distintas. Elige dos posiciones para a y la posición restante debe aportar b. De forma equivalente, elige solo esa única posición de b.
Elegir posición 1, 2
Elegir posición 1, 3
Elegir posición 2, 3
Estas son dos formas de contar las mismas tres selecciones, no seis selecciones distintas. Una combinación cuenta qué posiciones eliges; no cuenta el orden en que haces clic.
Ambas formas se leen «elegir r entre n». es el número total de posiciones disponibles; es cuántas posiciones hay que elegir. Aquí ; al contar las posiciones de , , y al contar las de , .
03 paréntesis. Elige de ellos para .
Sea el número de paréntesis que aportan a. Todos los demás aportan , así que hay copias de y el producto es . Su coeficiente es el número combinatorio «elegir de posiciones», porque cualquier elección de esas posiciones da el mismo producto. Ahora desempeña el papel de en .
Multiplicamos 2 letras a y 3 letras b. Haz clic en cualquier paréntesis de arriba para cambiar la letra elegida.
= 10selecciones distintas dan este mismo producto.
De 5 posiciones, elegimos 2 para tomar a; las 3 posiciones restantes deben aportar b. Hay 10 elecciones de este tipo, por lo que el coeficiente de a²b³ es 10.
Los términos van de cero a n aes. Haz clic en un término para inspeccionar todas las selecciones que hay tras su coeficiente. Reordenar los términos no cambia su suma.
Empieza con : toma de todos los paréntesis, lo que da una vez. Aumenta de uno en uno hasta : toma a de todos los paréntesis, lo que da una vez. Así se enumeran todas las selecciones exactamente una vez, agrupadas por su producto.
significa «sumar estos términos». El de abajo dice dónde empezar; el de arriba, dónde terminar. Los exponentes dicen qué se eligió; el coeficiente dice de cuántas formas pudo elegirse. Este es el teorema del binomio.
Aquí es un número entero no negativo. Un factor con exponente cero se omite; para la expansión es 1. La demostración interactiva llega a , pero el argumento de conteo vale para cualquier entero no negativo .
