Álgebra lineal · Una fila y una columna

Una fila y una columna se encuentran para formar un producto

Supón que una flecha avanza una unidad a la derecha y dos hacia arriba desde el origen, el punto desde el que contamos. Su punta tiene coordenadas $(1,2)$ . Ahora aplica una misma regla a todos los puntos del plano a la vez. ¿Cómo puede una pequeña tabla de números decirnos dónde termina la flecha?

En la página de transformaciones lineales, las dos columnas de una matriz registran a dónde van las flechas básicas $(1,0)$ y $(0,1)$ . Conserva nuestro punto $(1,2)$ : usa una copia de la primera flecha y dos de la segunda. Si tomamos esos mismos números de copias después de la transformación, obtenemos el nuevo extremo. La multiplicación cuenta las copias; la suma combina sus flechas. El cálculo por filas y columnas de abajo mantiene visible este significado, para que podamos comprobar de dónde sale cada número. Con dos matrices actuando una tras otra, seguimos esas flechas: después de la primera transformación, ¿a dónde las envía la segunda?

01¿Qué mueve una matriz?

I =

1001

→

A =

2131

La flecha $(1,0)$ se transforma en la primera columna $(2,3)$ y $(0,1)$ en la segunda columna $(1,1)$ . A la izquierda, $I$ es la matriz identidad: sus dos columnas dejan esas flechas en su posición original.

Aquí el vector indica cuánto nos desplazamos horizontal y verticalmente y se representa con una flecha que parte del origen. Desde el origen, $(x,y)$ llega al punto de coordenadas $(x,y)$ : $x$ es el desplazamiento horizontal y $y$ , el vertical. Los positivos van a la derecha o arriba; los negativos, a la izquierda o abajo. Podemos construirlo con dos partes, $x(1,0)=(x,0)$ y $y(0,1)=(0,y)$ , cuya suma es $(x,0)+(0,y)=(x,y)$ . Elegimos ahora esta regla: conservar ambos multiplicadores, sustituir las dos flechas básicas por sus nuevas posiciones y combinarlas. Esa regla se llama transformación lineal. Las dos columnas de la matriz registran esas nuevas posiciones. Un multiplicador negativo invierte la flecha; uno fraccionario toma la proporción correspondiente de su longitud.

x =

→

A x =

Tomando $x=1$ y $y=2$ , esta receta da $(4,5)$ : una copia de la primera columna y dos de la segunda.

Multiplicamos primero por separado: $1(2,3)=(2,3)$ y $2(1,1)=(2,2)$ . Después sumamos: $(2,3)+(2,2)=(4,5)$ .

02¿Por qué columnas y no filas?

Damos nombre a los cuatro números y escribimos la entrada verticalmente: $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$ . La negrita $\mathbf{x}$ representa el vector completo; $x$ y $y$ , sus componentes. Escritos en una columna forman un vector columna. Escribir esa columna horizontalmente en una fila se llama transposición y se denota por $\mathbf{x}^{T}=(x\ y)$ . ¿Por qué tomamos las columnas de $A$ ? Porque hemos convenido guardar en ellas los destinos de las dos flechas básicas y escribir la entrada como vector columna. Por tanto, al conservar sus dos multiplicadores originales, obtenemos $A\mathbf{x}=x\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}.$ .

Multiplicamos cada columna por su multiplicador correspondiente y obtenemos dos vectores. Sumar los componentes de la misma posición da el vector de salida. Escribamos esos dos pasos por separado.

$x(a,c)=(ax,cx)$ $y(b,d)=(by,dy)$ Cada multiplicador debe aplicarse a los dos componentes de su columna.

Sumamos por separado los componentes correspondientes: el primero es $ax+by$ y el segundo, $cx+dy$ , así que $(ax,cx)+(by,dy)=(ax+by,cx+dy).$ .

A(2×2)·x(2×1)=b (2×1)

A x =

Observa la primera salida, $ax+by$ : empareja $x,y$ con $a,b$ de la primera fila de $A$ . La segunda, $cx+dy$ , empareja los mismos $x,y$ con $c,d$ de la segunda fila. Multiplicar los números de posiciones correspondientes y sumar los productos se llama producto escalar. Por ejemplo, $(1,2)\cdot(2,1)=1\times2+2\times1=4$ . Si llamamos $(u,v)$ al primer grupo y $(s,t)$ al segundo, escribimos $(u,v)\cdot(s,t)=us+vt$ . Por tanto, el producto escalar es otra forma de calcular la combinación de columnas anterior. También tiene una interpretación geométrica, pero aquí solo necesitamos su cálculo.

Las dimensiones deben coincidir: como $A$ tiene dos columnas, $x$ debe tener dos componentes. El producto de una matriz $2×2$ por un vector de tres componentes no está definido: falta una tercera columna.

03Levantar x por encima de A

Sigamos calculando $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ . Los dos componentes de salida, de arriba abajo, se llaman $b_1$ y $b_2$ . Pulsa reproducir o usa las flechas y el control de pasos para avanzar gradualmente. Los números cian proceden del vector de entrada, marcado $\mathbf{x}$ ; los demás, de $A$ . La columna original se levanta y se extiende en una fila encima de $A$ . Cada componente se empareja con un número de la fila resaltada y aparece un signo de multiplicación. Los números se acercan y se convierten en productos; los productos se acercan y se convierten en una suma, que pasa a la salida. Antes de procesar la siguiente fila, vuelve el vector de entrada para reutilizarlo. Cada fila de A permanece en su lugar hasta combinar sus números en productos; al completar ambas salidas se restaura la matriz. Pausar detiene el movimiento actual; las flechas y el control muestran el final de cada paso. Estos movimientos y la transposición solo aclaran el cálculo: la operación original sigue siendo matriz por vector columna.

A xEmpezar con A y el vector columna x

1 / 16

Paso de la animación1 / 16

A\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}?\\?\end{pmatrix}

La primera fila da $1\times2+2\times1=2+2=4$ y la segunda, $1\times3+2\times1=3+2=5$ . Colocamos las dos sumas de arriba abajo y obtenemos $\mathbf{b}=(4,5)$ .

04El vector fila de la izquierda: xA

¿Qué ocurre si ponemos el vector a la izquierda? Para la matriz $2\times2$ de aquí, si a la izquierda mantuviéramos el vector columna $2\times1$ , las dimensiones no coincidirían: su única columna no puede emparejarse con las dos filas de $A$ . Por eso escribimos los mismos números en una fila y hacemos que $\mathbf{x}=(x\ y)$ represente ese vector fila. Tomamos sus componentes uno a uno: el primero multiplica la primera fila de $A$ , el segundo multiplica la segunda, y después sumamos las filas: $\mathbf{x}A=x(a,b)+y(c,d).$ $x(a,b)=(ax,bx),\qquad y(c,d)=(cy,dy).$ $\mathbf{x}A=(ax+cy,\;bx+dy).$ . La primera salida empareja $x,y$ con la primera columna $(a,c)$ ; la segunda los empareja con la segunda columna $(b,d)$ . Podemos seguir calculando mediante productos escalares. Sumamos dos filas de la misma longitud, así que la salida también es una fila. La llamamos $\mathbf{c}=(c_1\ c_2)$ ; los subíndices cuentan de izquierda a derecha sus dos componentes.

x AEmpezar con el vector fila x y A

1 / 16

Paso de la animación1 / 16

\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}?&?\end{pmatrix}

La animación pone primero la fila de entrada en vertical y la mueve a la izquierda de la columna actual de $A$ , para que cada pareja se encuentre horizontalmente. Las columnas de $A$ permanecen en su posición hasta formar los productos; después ambos productos se combinan verticalmente y la suma baja hasta la fila de salida. Los componentes de entrada regresan antes de procesar la siguiente columna; al terminar se restauran la matriz y el vector fila. Ponerlo temporalmente en vertical solo facilita ver las parejas: la entrada sigue siendo un vector fila y la operación sigue siendo vector fila por matriz. Las dos sumas son $1\times2+2\times3=8$ y $1\times1+2\times1=3$ , así que la fila de salida es $(8,3)$ . Hasta aquí, si la matriz está a la izquierda, cada fila da una suma; si está a la derecha, cada columna da una suma. Combinaremos ambas lecturas para multiplicar dos matrices.

05Multiplicar dos matrices

Supongamos que $A$ tiene $m$ filas y $n$ columnas, y $B$ tiene $n$ filas y $k$ columnas. Denotamos el producto por $C=AB$ . Consideramos primero la primera fila de $A$ como vector fila. Según lo anterior, al multiplicarla por $B$ obtenemos una salida por cada columna de $B$ . Esos $k$ números forman la primera fila de $C$ . Repetimos con cada fila de $A$ , así que $C$ tiene $m$ filas y $k$ columnas. Para hallar un único número elegimos su fila $i$ y columna $j$ y lo llamamos $C_{ij}$ . La fila $i$ de $A$ determina en qué fila está la respuesta; la columna $j$ de $B$ determina su posición dentro de esa fila. Multiplicamos los números correspondientes y sumamos:

C_{ij}=\sum_{r=1}^{n}A_{ir}B_{rj}

El símbolo grande $\sum$ significa sumar todos estos términos. $r$ recorre desde $1$ hasta $n$ y selecciona cada posición de emparejamiento. Desarrollado, es $C_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots+A_{in}B_{nj}.$ . Si $n=1$ , solo queda el primer producto. Por ejemplo, $C_{21}$ usa la fila 2 de $A$ y la columna 1 de $B$ . La fila 2 determina la fila de salida y la columna 1, el primer número de esa fila. También podemos leer por columnas: tomamos la columna $j$ de $B$ como vector columna y la multiplicamos por $A$ a la izquierda. Obtenemos una salida por cada fila de $A$ , que forma exactamente la columna $j$ de $C$ . Repetirlo por columnas da la misma matriz. ¿Por qué deben coincidir las dimensiones interiores? Cada columna de $B$ tiene $n$ componentes, que actúan como multiplicadores de las $n$ columnas de $A$ . Si las cantidades no coinciden, al menos un número queda sin pareja. Al calcular productos escalares por filas falta esa misma pareja.

A =

2131

B =

1234

C =

5???

Fila 1 de A · columna 1 de B

2\times1+1\times3=2+3=5

1 / 4

A(m×n)·B(n×k)=C(m×k)

Las dos cantidades interiores deben coincidir y las exteriores determinan la forma de la salida. Por ejemplo, una matriz $2\times3$ por una matriz $3\times4$ da una matriz $2\times4$ . Aunque ambos órdenes estén definidos, pueden dar resultados distintos: aquí $(AB)_{11}=2\times1+1\times3=5$ , mientras que $(BA)_{11}=1\times2+2\times3=8$ . Basta una posición distinta para que $AB\ne BA$ . Por tanto, la multiplicación de matrices no es conmutativa en general.