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Matemáticas
Álgebra lineal · medir el espacio que encierran los vectores

Determinantes: del área al volumen

Estira una fotografía hasta el doble de su ancho y su área se duplica. Eso es fácil de imaginar. ¿Y si la inclinamos? Una arista puede alargarse sin que el área aumente. Juzgar por lo que «parece más grande» ya no es suficientemente fiable.

Necesitamos una comparación que podamos calcular. Recuerda matrices y transformaciones lineales: una matriz es una tabla de números que especifica cómo se mueven los puntos. Sus dos columnas nos dicen a dónde van las flechas de las dos direcciones unitarias. Hagamos que esas flechas delimiten un cuadrado de lado 1. Después de la transformación, normalmente se convierte en un paralelogramo. El área original era 1, así que la nueva área nos dice directamente cuánto se han ampliado o reducido las áreas.

Prueba a cambiar una columna y observa qué arista mueve. Luego lleva las dos aristas a la misma recta. Las aristas siguen ahí, pero el área encerrada ha desaparecido. Veremos cómo ad − bc registra estos cambios, manteniendo separado el tamaño del área de una inversión de la orientación. La imagen nos ayudará a ver por qué hace falta la resta.

01¿Por qué ad − bc? Observa cómo el área no cambia

Ponemos el inicio de los dos vectores en el origen, completamos los otros dos lados paralelos y encerramos un paralelogramo. Leemos la matriz por sus columnas: u=(a,c)u = (a, c) y v=(b,d)v = (b, d). Las componentes discontinuas indican qué desplazamiento horizontal o vertical representa cada letra.

0%
xy0bc = 1d = 2u (3, 1)v (1, 2)a = 3c = 1b = 1d = 2
El área en todo el proceso5
ad − bc6 − 1 = 5

Matriz original y sus dos columnas

A=(abcd)=(3112)A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}
u=(ac)\mathbf u=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}v=(bd)\mathbf v=\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}

Aquí elegimos primero un ejemplo sencillo con a, b, c y d positivos y ad > bc, para que cada área se vea directamente.

h=d−bcah=d-\frac{bc}{a}
S=ah=a(d−bca)=ad−bcS=ah=a\left(d-\frac{bc}{a}\right)=ad-bc

Ambos reordenamientos son cizalladuras: las tiras paralelas se deslizan entre sí y esas tiras no se estiran. Por eso podemos sustituir el área del paralelogramo inicial por la del rectángulo final. Las tiras solo ayudan a verlo; la transformación actúa sobre toda la región continua.

¿Y si usamos las filas (a,b) y (c,d)? Al convertirlas en las nuevas columnas, intercambiamos b y c; esto se llama transponer la matriz, y se escribe Aᵀ. Aplicando la fórmula de orden dos que acabamos de obtener, resulta ad−cb. Como cb=bc, es igual a ad−bc. Por tanto, aunque la forma que encierran las filas pueda ser distinta, el área es la misma. Aquí hemos comprobado el cálculo directamente para el caso de orden dos que usa esta lección.

AT=(acbd)det⁡AT=ad−cb=ad−bc=det⁡A\begin{gathered}A^T=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\\\begin{aligned}\det A^T&=ad-cb\\&=ad-bc\\&=\det A\end{aligned}\end{gathered}

02Área cero significa que se perdió una dirección

El determinante representa un área con signo. Su valor absoluto es el área geométrica; el signo indica la orientación del par ordenado u, v. Ahora llevamos v poco a poco a la recta donde está u: el paralelogramo se adelgaza y su área termina siendo cero.

0%
xy0u (3, 1)v (1, 2)
det A5
Área geométrica |det A|5
A=(3112),det⁡A=5A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix},\quad\det A=5
Dos vectores independientes abren una región bidimensional. A medida que ambos tienden a la misma recta, disminuye la altura perpendicular, mientras el primer vector no cambia.
v=12u⟹det⁡A=0\mathbf v=\tfrac12\mathbf u\quad\Longrightarrow\quad\det A=0

Esto es dependencia lineal: un vector se puede obtener multiplicando el otro por un escalar. Si hay un vector cero, también hay dependencia. Cuando no es cero, al girar de u a v por el ángulo menor, el sentido antihorario es positivo y el horario, negativo. Un determinante negativo no significa un área geométrica negativa.

Aˊrea geomeˊtrica=∣ad−bc∣\text{Área geométrica}=|ad-bc|

03En tres dimensiones, el área se convierte en volumen

Tomamos tres vectores desde el mismo origen. Sus distintas sumas dan ocho vértices que encierran un paralelepípedo, que podemos imaginar como una caja inclinada. Estos tres vectores son las tres columnas de una matriz de 3×33 \times 3, y el valor absoluto del determinante es el volumen de la caja. Arrastra el modelo para observarlo desde distintas direcciones.

0%
Arrastra para girar y observar · x, y, z son ejes de referencia fijos
det A6.12
Volumen geométrico |det A|6.12
La forma degeneradaPlano
A=(20.50.401.70.4001.8)A=\begin{pmatrix}2&0.5&0.4\\0&1.7&0.4\\0&0&1.8\end{pmatrix}

u · Columna 1　v · Columna 2　w · Columna 3

Conservamos uu y vv, que son independientes, y llevamos ww a su plano hasta que w=0.6u+0.5vw = 0.6u + 0.5v. Aunque ningún par es paralelo, los tres vectores en conjunto son linealmente dependientes: ww no aporta una tercera dirección.

Al principio la base está en el plano xy: área de la base =2×1.7=3.4= 2 \times 1.7 = 3.4, altura perpendicular =1.8= 1.8 y volumen =3.4×1.8=6.12= 3.4 \times 1.8 = 6.12. La longitud de una arista inclinada no es la altura perpendicular.

V=Sbase h=∣det⁡A∣V=S_{\rm base}\,h=|\det A|

La dependencia significa que falta una dimensión

Si existe un conjunto de coeficientes no todos nulos para el que una combinación lineal de estos vectores es cero, entonces son linealmente dependientes. De forma equivalente, al menos un vector se puede expresar con los demás. En 2D, dos vectores dependientes están sobre una misma recta (o ambos son cero); en 3D, tres vectores dependientes pueden estar en un mismo plano, sobre una misma recta o reducirse todos al origen.

Antes de generalizar, aclaremos qué significa que falte una dirección. Para dos vectores, tomamos el primero no nulo como base y restamos del segundo su componente paralela a ella. Esto equivale a deslizar lateralmente el lado superior, sin cambiar la altura perpendicular ni el área. El resto es la altura con dirección; se anula exactamente cuando el segundo vector era múltiplo del primero. Si el primero ya es cero, el área es cero desde el inicio.

Para tres vectores, hacemos primero lo mismo en la base formada por los dos primeros. Si la base está aplastada, el volumen es cero. En caso contrario, restamos del tercer vector su componente dentro del plano base. Las secciones paralelas solo se deslizan y conservan su área, así que el volumen no cambia. La longitud perpendicular restante es la altura. El producto de una base de área no nula por esa altura es cero exactamente cuando el tercer vector está en el plano base, es decir, cuando es combinación de los dos primeros.

En n dimensiones, el volumen se define dimensión por dimensión mediante la misma regla: volumen de la base anterior por la nueva altura perpendicular. El determinante es su versión orientada, asignando +1 a la caja unidad de los ejes habituales. En cada paso restamos del nuevo vector su proyección sobre cada dirección unitaria perpendicular anterior. Proyectar es tomar la componente en una dirección; sobre un vector unitario u, la proyección es (v⋅u) u(v\cdot u)\,u. Tras restarla, el producto escalar con cada u anterior es v⋅u−v⋅u=0v\cdot u-v\cdot u=0, de modo que el resto es perpendicular.

∣det⁡A∣=h1h2⋯hn|\det A|=h_1h_2\cdots h_n

Cada h es la longitud no negativa de un vector restante. El producto es cero exactamente cuando alguna altura es cero: una nueva columna está formada enteramente por las anteriores. Recíprocamente, si las columnas son linealmente dependientes, la primera que pueda escribirse mediante las anteriores dejará un resto cero. Si no existe tal columna, todas las longitudes restantes son positivas y el producto es positivo. Así comprobamos ambas direcciones de la conclusión. Si la primera columna es cero, la primera altura ya es cero.

det⁡A=0⟺Las columnas de A son linealmente dependientes\det A=0\quad\Longleftrightarrow\quad\text{Las columnas de A son linealmente dependientes}

Para una matriz cuadrada de n×nn \times n, la misma idea se extiende a un volumen n-dimensional con signo. Si las columnas no aportan n direcciones independientes, ese volumen n-dimensional es cero; si el determinante no es cero, están presentes las n direcciones independientes.

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