Álgebra lineal · Empezamos con Ax = b

Los cuatro subespacios fundamentales de una matriz

Esta página parte de los vectores y de cómo una matriz los transforma. En la página de matrices, una matriz A lleva un vector x a un nuevo vector Ax, así que resolver Ax = b significa preguntar qué x se envía a un b dado. En la página del determinante, un determinante cero aplasta el plano sobre una recta, o incluso hasta el origen. Entonces algunas salidas no se pueden alcanzar en absoluto y entradas distintas pueden acabar en el mismo lugar. Esta página organiza exactamente esas dos situaciones.

Cuatro nombres que llegan juntos pueden confundirse fácilmente entre sí. Por ahora, quédate solo con $Ax=b$ : dale un vector de entrada $x$ a la transformación $A$ y obtén la salida $b$ . Elige un $b$ deseado. ¿Podemos alcanzarlo? Si es así, ¿cuántas entradas llegan a él? Los diagramas mantienen a la vista la entrada, la transformación y la salida para que puedas volver a estas preguntas. Cuando una colección de vectores aparece una y otra vez en una de ellas, le damos un nombre. Así cada uno de los cuatro espacios tendrá un trabajo concreto, en lugar de ser otra definición que memorizar.

Repaso: matrices y transformaciones lineales · Repaso: producto escalar

01¿Qué se pide?

Recuerda la página de transformaciones lineales con matrices: partimos del vector x, aplicamos la matriz A y obtenemos un nuevo vector b. Ax = b escribe ese proceso en una línea. Aquí fijamos A y mantenemos la misma matriz durante la explicación principal.

A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix},\qquad Ax=\begin{pmatrix}7\\14\end{pmatrix}

La flecha oscura de la izquierda es el x original. Reproduce la transformación para seguir su extremo hasta Ax. La derecha registra por separado la salida. Ambas vistas usan la misma escala; los ejes derechos se llaman b₁ y b₂ porque allí leemos la salida.

Observa y comprende este paso antes de elegir el siguiente. La explicación no avanza sola mientras examinas el dibujo.

Partir de la entrada

Leer la salida

x₁· Componente1

x₂· Componente3

Progreso de la animación0%

La animación une las posiciones inicial y final para mostrar el cambio. A es la regla que determina la posición final; no afirma que el vector recorra realmente ese camino.

02¿Cómo se llaman los cuatro espacios?

La misma matriz A lleva entradas a salidas. En este proceso aparecen cuatro conjuntos de vectores, cada uno con su nombre. La tabla explica qué vectores contiene cada conjunto y da su dimensión. Las secciones siguientes explican qué información aporta cada uno sobre la transformación.

Acordemos la notación: $m$ cuenta las filas de $A$ y $n$ sus columnas, así que la entrada tiene $n$ componentes y la salida $m$ . La dimensión cuenta cuántas direcciones independientes necesitamos para combinar todos los vectores del espacio: una recta por el origen necesita una y un plano dos. La dimensión del espacio columna se llama rango de la matriz y se escribe $r$ . Aquí la segunda columna es el doble de la primera, así que las salidas están en la recta que pasa por $(1,2)$ ; cualquier punto de ella se obtiene con la entrada $(t,0)$ . Por tanto, $m=n=2$ y $r=1$ . La tabla anticipa cuatro cantidades. Deduciremos $n-r$ , $m-r$ y la relación inferior después de construir los espacios; no necesitas memorizarlas ahora como reglas nuevas.

Nombres, definiciones y dimensiones de los cuatro subespacios
Nombre	Qué contiene	Está en	Dimensión
$\operatorname{Row}(A)$ Espacio fila	Cada fila de A es un vector del espacio de entrada. El espacio fila son todas las combinaciones lineales de esas filas.	$\mathbb R^n$	$r$
$\operatorname{Col}(A)$ Espacio columna	Cada columna de A es un vector del espacio de salida. El espacio columna son todas las combinaciones lineales de esas columnas, así que es exactamente el conjunto de todas las salidas alcanzables.	$\mathbb R^m$	$r$
$\operatorname{Null}(A)$ Espacio nulo	Todas las entradas x que A lleva a cero, es decir, todas las soluciones de Ax = 0.	$\mathbb R^n$	$n-r$
$\operatorname{Null}(A^{T})$ Espacio nulo izquierdo	Todas las y del espacio del lado de la salida que Aᵀ lleva a cero, es decir, todas las soluciones de Aᵀy = 0. Esa y no tiene por qué ser una salida Ax realmente alcanzable. Al transponer Aᵀy = 0 se obtiene yᵀA = 0, así que yᵀ queda a la izquierda de A; de ahí viene el nombre.	$\mathbb R^m$	$m-r$

¿Qué relación tienen estos cuatro espacios con A? A lleva cada vector del espacio fila al espacio columna sin perder información: vectores distintos del espacio fila dan salidas distintas. A envía todos los vectores del espacio nulo al cero. En el lado de salida, Aᵀ envía al cero todos los vectores del espacio nulo izquierdo.

Estas dos parejas de espacios también son perpendiculares entre sí. En el espacio de entrada, cada vector del espacio fila es perpendicular a todos los del espacio nulo; en el de salida, cada vector del espacio columna es perpendicular a todos los del espacio nulo izquierdo. Las marcas de ángulo recto señalan ambas relaciones.

Las cuatro zonas de color identifican los subespacios: en la entrada, espacio fila Row(A) y espacio nulo Null(A); en la salida, espacio columna Col(A) y espacio nulo izquierdo Null(Aᵀ). Las formas son un esquema de relaciones; en este ejemplo cada subespacio es una recta.

03Espacio columna: ¿qué salidas se pueden obtener?

Antes de usar las columnas de A, volvamos a las coordenadas ordinarias. El vector (a, b) es a veces (1, 0) más b veces (0, 1). Estos vectores básicos son las columnas de la matriz identidad I, así que al multiplicar por I el vector no cambia.

Observa y comprende este paso antes de elegir el siguiente. La explicación no avanza sola mientras examinas el dibujo.

Ix=1\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+(1)\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

Vectores columna originales

Sumar los múltiplos

x₁· Componente1

x₂· Componente1

Cambia un coeficiente cada vez. La segunda flecha parte del extremo de la primera; recorrer ambas da su suma. Un coeficiente negativo invierte la flecha correspondiente.

04Espacio fila: ¿qué vectores se pueden introducir?

Antes construimos la salida con columnas. Leamos ahora el mismo producto por filas: cada componente de salida es el producto escalar de una fila completa con el vector de entrada completo. El producto escalar multiplica las componentes correspondientes y suma sus productos.

Ax=\begin{pmatrix}r_1\cdot x\\r_2\cdot x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1x_1+2x_2\\2x_1+4x_2\end{pmatrix}

Una matriz de m filas y n columnas tiene n números en cada fila. Para que el producto escalar tenga sentido, la entrada también debe tener n componentes. Como hay m filas, la salida tiene m componentes: A: ℝⁿ → ℝᵐ. Podemos introducir cualquier vector de ℝⁿ; no es necesario que la entrada sea una combinación lineal de las filas.

Las filas sí generan un subespacio dentro del espacio de entrada, llamado Row(A). Aquí r₂ = 2r₁, así que el espacio fila es la recta dorada izquierda. Prueba x = (1, 3): no está en ella, pero el producto sigue dando (7, 14). Por tanto, el espacio de entrada completo y el espacio fila son conjuntos distintos.

\operatorname{Row}(A)=\operatorname{span}\{r_1,\ldots,r_m\}\subseteq\mathbb R^n

Entrada: sirve cualquier vector de ℝ²

Salida: resultados de los dos productos escalares por filas

x₁· Componente1

x₂· Componente3

r_1\cdot x=1+2(3)=7

r_2\cdot x=2(1)+4(3)=14

La vista derecha usa un intervalo numérico mayor para contener la salida. Son dos copias separadas de ℝ². Aquí Row(A) y Col(A) tienen la misma dirección porque la matriz es simétrica; no ocurre necesariamente con otras matrices.

La siguiente pregunta es

Distintas entradas pueden dar los mismos productos escalares por filas. ¿Puede una entrada no nula hacer que todas las filas den cero?

05Espacio nulo: ¿qué entradas se convierten en cero?

El vector cero sigue siendo cero tras aplicar A. ¿Es el único? Con la misma matriz, prueba x = (2, −1). La primera fila da 2 − 2 = 0 y la segunda 4 − 4 = 0. Hemos encontrado una entrada no nula que A transforma en cero.

A\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2\\4-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

Observa y comprende este paso antes de elegir el siguiente. La explicación no avanza sola mientras examinas el dibujo.

Entrada: c(2, −1)

Salida: las contribuciones de ambas columnas se cancelan

Multiplicador c1

x_n=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix},\qquad Ax_n=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

La entrada violeta puede recorrer toda la recta. A la derecha, la contribución del segundo término siempre nos devuelve al origen.

06Espacio nulo izquierdo: ¿y el lado de la salida?

Al escribir las columnas como filas obtenemos la matriz transpuesta, Aᵀ. Si A tiene m filas y n columnas, Aᵀ tiene n filas y m columnas y acepta una entrada con m componentes. La llamamos y para no confundirla con la x original.

A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m,\qquad A^T:\mathbb R^m\to\mathbb R^n

Observa y comprende este paso antes de elegir el siguiente. La explicación no avanza sola mientras examinas el dibujo.

Preguntamos qué y cumplen Aᵀy = 0. Esto define Null(Aᵀ), situado en el espacio de salida de la A original. Aquí Aᵀ = A y vuelve a servir y = c(2, −1), pero y pertenece a la copia de ℝ² de salida, aunque sus coordenadas coincidan con las del espacio nulo anterior.

\operatorname{Null}(A^T)=\{y\in\mathbb R^m:A^Ty=0\}

Transponer no deshace la transformación original y, en general, Aᵀ no es A⁻¹. Construimos una matriz nueva y preguntamos qué entradas le dan salida cero.

07¿Cómo se combinan estos espacios para formar el todo?

Ya tenemos cuatro conjuntos de vectores. Antes de reunirlos en una imagen, expliquemos sus relaciones. Empecemos por la entrada: ¿por qué cada vector del espacio nulo es ortogonal a todos los del espacio fila?

Observa y comprende este paso antes de elegir el siguiente. La explicación no avanza sola mientras examinas el dibujo.

Toma un xₙ cualquiera de Null(A). Por definición, Axₙ = 0. Al leer esta multiplicación fila por fila, obtenemos que cada rᵢ · xₙ es cero. Observa que rᵢ forma un producto escalar con todo xₙ, no se multiplica solo por una de sus componentes. Cuando dos vectores no nulos tienen producto escalar cero, son perpendiculares; el vector cero también es ortogonal a todos los vectores.

Ax_n=\begin{pmatrix}r_1\cdot x_n\\\vdots\\r_m\cdot x_n\end{pmatrix}=0\quad\Longrightarrow\quad r_i\cdot x_n=0\quad(1\le i\le m)

Los vectores del espacio fila son combinaciones lineales de estas filas. Calcula el producto escalar de esa combinación lineal con xₙ y desarrolla: cada término es cero, así que el resultado total también es cero. Esto demuestra que todo el espacio fila es ortogonal al espacio nulo, no solo las filas representadas en la figura.

(c_1r_1+\cdots+c_mr_m)\cdot x_n=c_1(r_1\cdot x_n)+\cdots+c_m(r_m\cdot x_n)=0

A la inversa, si x es ortogonal a cada fila, todas las componentes de Ax son cero, de modo que x pertenece a Null(A). Por tanto, Null(A) está formado exactamente por todos los vectores perpendiculares a Row(A). Repitiendo el razonamiento con Aᵀ, obtenemos la relación correspondiente en el lado de las salidas.

\operatorname{Null}(A)=\operatorname{Row}(A)^\perp,\qquad\operatorname{Null}(A^T)=\operatorname{Col}(A)^\perp

El superíndice ⊥ representa el conjunto de todos los vectores, dentro del mismo espacio de entrada o de salida, que son ortogonales al espacio indicado.

08¿Por qué entradas distintas dan la misma salida?

Volvamos a la entrada (1, 3), que produce (7, 14). También sabemos que (2, −1) produce cero. ¿Qué obtenemos al multiplicar por A la suma de estas dos entradas? Desarrolla usando la propiedad distributiva de la multiplicación matricial respecto de la suma y escribe el resultado de cada término.

A\left[\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}7\\14\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\14\end{pmatrix}

La nueva entrada es (3, 2) y la salida no cambia. Esto se cumple aunque (1, 3) no pertenezca a Row(A). Por eso, por ahora la llamamos solución particular x₀, en lugar de xᵣ. A continuación buscaremos la solución que sí está en el espacio fila.

Observa y comprende este paso antes de elegir el siguiente. La explicación no avanza sola mientras examinas el dibujo.

Entradas que dan la misma salida

La salida siempre es (7, 14)

Múltiplo c de la parte del espacio nulo1

x=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}

Ax = (7, 14)

El conjunto de soluciones marcado con línea discontinua es paralelo a Null(A), pero, para este b no nulo, no pasa por el origen. Por tanto, el propio conjunto de soluciones no es un subespacio vectorial. La figura de la derecha usa un intervalo de valores más amplio.

09Relacionar los cuatro espacios

Lee la mitad izquierda como el espacio de entrada y la derecha como el espacio de salida. El dorado y el morado descomponen la entrada; el cian y el magenta descomponen la salida. Los símbolos de ángulo recto indican ortogonalidad. Las flechas que atraviesan A muestran tres resultados: xᵣ llega a b, xₙ llega a cero y xᵣ + xₙ llega al mismo b.

Este es un diagrama de relaciones; los dos lados no están en un mismo sistema de coordenadas. Para la matriz 2×2 de este ejemplo, los cuatro subespacios son rectas, así que todos tienen dimensión 1. Las superficies de color siguientes representan subespacios; su anchura dibujada no significa que sean bidimensionales. Reproduce la animación para seguir las tres transformaciones a la vez o arrastra el progreso para detenerte donde quieras.

Progreso de la animación0%

Para una matriz real de m filas y n columnas, denotamos por r la dimensión de Col(A) y la llamamos rango de la matriz. La tabla siguiente muestra las dimensiones de los cuatro espacios. Antes de usar estos números, explicaremos por qué la correspondencia que acabamos de demostrar garantiza dimensiones iguales y por qué podemos obtener las dimensiones restantes mediante una resta.

La dimensión cuenta cuántos vectores necesita una base. Una base debe cumplir dos condiciones: sus combinaciones alcanzan todos los vectores del espacio y ninguno de sus vectores se obtiene combinando los demás. Esta segunda condición es la independencia lineal. Equivalentemente, una combinación solo puede dar cero si todos sus coeficientes son cero.

¿Por qué la correspondencia mediante A conserva ese número? Elegimos una base de $\operatorname{Row}(A)$ , $u_1,\dots,u_k$ . Cada salida del espacio columna tiene una entrada en el espacio fila, por lo que puede escribirse como $A(c_1u_1+\dots+c_ku_k)$ . La linealidad permite sacar los coeficientes fuera, así que $Au_1,\dots,Au_k$ genera $\operatorname{Col}(A)$ . Aún debemos comprobar que ninguna nueva dirección sobra.

c_1Au_1+\cdots+c_kAu_k=0\quad\Longrightarrow\quad A(c_1u_1+\cdots+c_ku_k)=0

El vector entre paréntesis pertenece a $\operatorname{Row}(A)$ . Si A lo lleva a cero, también pertenece a $\operatorname{Null}(A)$ . Ya demostramos que estos espacios perpendiculares solo comparten el vector cero, así que el vector entre paréntesis es cero. Como los u originales son linealmente independientes, cada c debe ser cero. Sus imágenes forman entonces una base. Ambos lados tienen k vectores de base, por lo que k coincide con el rango r.

Ahora reunimos las bases de $\operatorname{Row}(A)$ y $\operatorname{Null}(A)$ . La descomposición que construimos para cada entrada garantiza que alcanzan todas las entradas. También son linealmente independientes: si una combinación del espacio fila más otra del espacio nulo es cero, la primera es la opuesta de la segunda y pertenece a ambos espacios, así que debe ser cero. Ambas combinaciones son cero y todos los coeficientes también. La cantidad total de vectores de esta base es la dimensión de entrada n, por lo que $r+\dim\operatorname{Null}(A)=n$ . Repetimos el argumento en el espacio de salida de dimensión m para obtener la cantidad correspondiente.

\dim\operatorname{Null}(A)=n-r,\qquad\dim\operatorname{Null}(A^T)=m-r

Las cuatro definiciones y sus espacios ambientes
Subespacio	Definición	Está en	Dimensión
Row(A)	$\operatorname{span}\{r_1,\ldots,r_m\}$	$\mathbb R^n$	$r$
Null(A)	$\{x:Ax=0\}$	$\mathbb R^n$	$n-r$
Col(A)	$\operatorname{span}\{a_1,\ldots,a_n\}$	$\mathbb R^m$	$r$
Null(Aᵀ)	$\{y:A^Ty=0\}$	$\mathbb R^m$	$m-r$

Intenta responder otra vez a la pregunta inicial

Para la matriz de este ejemplo, ¿podemos obtener b = (3, 6)? ¿Y (3, 5)? Si es posible, encuentra una solución concreta y explica cómo escribir todas las soluciones a partir de ella.

Ver la solución completa

(3, 6) = 3(1, 2), así que pertenece a Col(A). Una entrada es (3, 0), porque A(3, 0) = (3, 6). Todas las soluciones son (3, 0) + c(2, −1), donde c es cualquier número real. La única solución en el espacio fila es (3/5, 6/5). (3, 5) no es múltiplo de (1, 2) y, además, 2 × 3 − 5 = 1 ≠ 0, así que no tiene solución.

Continuar: usar el mismo razonamiento en tres dimensiones

Los cuatro subespacios fundamentales de una matriz

01¿Qué se pide?

Partir de la entrada

Leer la salida

02¿Cómo se llaman los cuatro espacios?

03Espacio columna: ¿qué salidas se pueden obtener?

Vectores columna originales

Sumar los múltiplos

04Espacio fila: ¿qué vectores se pueden introducir?

Entrada: sirve cualquier vector de ℝ²

Salida: resultados de los dos productos escalares por filas

05Espacio nulo: ¿qué entradas se convierten en cero?

Entrada: c(2, −1)

Salida: las contribuciones de ambas columnas se cancelan

06Espacio nulo izquierdo: ¿y el lado de la salida?

07¿Cómo se combinan estos espacios para formar el todo?

08¿Por qué entradas distintas dan la misma salida?

Entradas que dan la misma salida

La salida siempre es (7, 14)

09Relacionar los cuatro espacios

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