Mira primero la figura izquierda. Arriba a la izquierda, arriba a la derecha, abajo a la derecha y abajo a la izquierda son posiciones fijas de la mesa; el centro también está fijo. $A$ es dorado, $B$ verde, $C$ azul y $D$ rosa. Las letras y las marcas de color se mueven con la tarjeta. Los colores solo ayudan a reconocerlas; cada esquina conserva siempre su letra.

Al girar la tarjeta un cuarto de vuelta en sentido horario, $A$ pasa de arriba a la izquierda a arriba a la derecha; $B$ pasa abajo a la derecha, $C$ abajo a la izquierda y $D$ arriba a la izquierda. El contorno sigue siendo el mismo cuadrado, pero las letras ocupan otras posiciones. Registrar solo «sigue siendo un cuadrado» perdería la información que nos interesa.

Distingamos dos cosas. Las posiciones actuales de las letras forman el estado; «girar un cuarto de vuelta en sentido horario» es una instrucción que cambia el estado. La misma acción puede ejecutarse desde estados distintos. Usaremos $R$ para esa instrucción, no solo para la imagen con $A$ arriba a la derecha.

Aquí la teoría de grupos convierte una secuencia larga de acciones en algo calculable. Por ejemplo, ¿a qué acción equivale ejecutar $R$ dos veces seguidas? Recolocar la tarjeta desde el principio cada vez dificultaría comprobar instrucciones largas. Con unas pocas reglas de combinación podemos usar las mismas reglas repetidamente para secuencias mayores.

Una vuelta completa se define como 360°, así que un cuarto de vuelta es $360^\circ \div 4 = 90^\circ$. Dos giros seguidos dan $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$; tres dan $180^\circ + 90^\circ = 270^\circ$ y cuatro dan $270^\circ + 90^\circ = 360^\circ$. Al final, cada esquina vuelve a su posición original.

Pulsa «Siguiente acción» para ejecutar $R$ una vez. Puedes seguir $A$ o comprobar las otras tres esquinas. La figura izquierda mantiene el estado inicial y la derecha muestra el resultado del paso actual. «Reproducir paso a paso» ejecuta cuatro giros sin pasar automáticamente a la siguiente sección. Puedes pausar, restablecer o elegir cualquier paso.

Usamos $R^{2}$ para ejecutar $R$ dos veces seguidas y $R^{3}$ para tres veces. El superíndice registra repeticiones, no eleva un ángulo al cuadrado. No hacer nada se escribe $e$. Dar una vuelta completa es un proceso distinto de quedarse quieto, pero lleva cada punto al mismo destino final. Como «reglas de posición final», $R^{4}$ y $e$ son el mismo objeto.

¿Por qué solo quedan estas cuatro? Exigimos cubrir exactamente el contorno original al terminar. $A$ solo puede llegar a una de las cuatro esquinas; si solo permitimos giros, al elegir el destino de $A$ quedan determinados los de $B$, $C$ y $D$. $e$, $R$, $R^{2}$ y $R^{3}$ ya cubren los cuatro destinos posibles de $A$. Un giro de 45° saca lados y esquinas del contorno, por lo que no pertenece al conjunto de acciones.

Fijemos una notación de combinación: $a \star b$ significa ejecutar $a$ y después $b$. Para evitar confusiones de orden, en esta página siempre ejecutamos de izquierda a derecha. No es una multiplicación habitual de números, sino un símbolo para combinar dos acciones.

La primera igualdad junta 1 giro con 2 giros: son 3 en total. La segunda suma $3 + 2 = 5$ giros; los primeros 4 vuelven al origen y el quinto gira otros 90°, así que equivale a $R$. Lo deducimos de las acciones, sin memorizar primero una tabla. Abajo se conservan el inicio, el punto intermedio y el final. Elige $R^{3}$ y $R^{2}$ en los dos menús y comprueba el resultado esquina por esquina.

Los giros no invierten el sentido en que encontramos $A$, $B$, $C$ y $D$ al recorrer el contorno. Pero al voltear la tarjeta sobre su línea central vertical, izquierda y derecha se intercambian: las esquinas superiores intercambian posiciones, y también las inferiores. Para leer $A$, $B$, $C$ y $D$ en ese orden, antes recorríamos en sentido horario y ahora en sentido antihorario. Ningún giro produce este intercambio entre izquierda y derecha, así que debemos añadir una acción nueva.

Llevar cada punto al otro lado de una recta, a la misma distancia de ella, se llama reflexión. Elegimos la línea central vertical y llamamos $F$ a la acción. Suponemos que las letras se leen en ambas caras; la figura solo registra las posiciones de las esquinas, sin exigir imaginar el volteo. La línea discontinua permanece fija en la mesa y la segunda figura muestra directamente los destinos intercambiados.

Hacer $F$ dos veces devuelve cada par de esquinas a su lugar, así que $F \star F = e$. También podemos hacer $F$ después de un giro. Para giros de 0, 90°, 180° y 270°, la reflexión posterior da cuatro resultados distintos. Elige el ángulo abajo; la figura central conserva el estado tras el giro. Intercambia sus lados izquierdo y derecho respecto a la línea vertical fija para obtener la figura derecha.

Estos cuatro resultados equivalen a reflexiones sobre cuatro rectas distintas. Observa los destinos: $F$ intercambia izquierda y derecha; $R \star F$ fija $A$ y $C$ e intercambia $B$ y $D$, así que refleja sobre la diagonal de arriba a la izquierda a abajo a la derecha. $R^{2} \star F$ intercambia arriba y abajo; $R^{3} \star F$ fija $B$ y $D$ e intercambia $A$ y $C$, así que refleja sobre la otra diagonal. Las líneas discontinuas muestran los ejes de reflexión equivalentes y las figuras, el resultado final.

¿Por qué son exactamente 8? ¿Podría faltar una acción? $A$ tiene 4 destinos posibles. $B$ era adyacente a $A$ y los movimientos rígidos conservan las longitudes; por tanto, $B$ debe llegar a una de las dos esquinas adyacentes al destino de $A$, no a la opuesta. Elegidos los destinos de $A$ y $B$, $C$ ocupa la esquina aún libre junto a $B$, y $D$ ocupa la última. No hay más opciones, así que como máximo hay $4 \times 2 = 8$ acciones. Los 4 giros y las 4 reflexiones anteriores son distintos y ya suman 8: no falta ninguna.

Distinguimos las acciones solo por los destinos finales de los puntos y llamamos simetrías del cuadrado a las que conservan exactamente el contorno. El grupo de los cuatro giros suele escribirse $C_{4}$; en esta página llamamos $D_{4}$ a las ocho simetrías que incluyen reflexiones. El subíndice 4 indica los cuatro lados del cuadrado, no que $D_{4}$ tenga cuatro acciones. Enseguida comprobaremos, propiedad por propiedad, por qué podemos llamarlos «grupos».

Con solo giros, uno de 90° y otro de 180° suman 270° en cualquier orden. Esto podría hacernos pensar que todas las acciones se pueden intercambiar, pero al añadir reflexiones debemos comprobarlo de nuevo. Elige $R$ como primera acción y $F$ como segunda. Las tres figuras conservan el estado original y cada paso; las dos inferiores comparan los resultados finales de ambos órdenes.

Sigamos $A$: $R$ lo lleva de arriba a la izquierda a arriba a la derecha, y $F$ lo devuelve arriba a la izquierda. En orden inverso, $F$ lleva $A$ arriba a la derecha, pero $R$ lo lleva después abajo a la derecha. Los destinos difieren; solo $A$ ya demuestra que las combinaciones son distintas. Esto significa que no se cumple la propiedad conmutativa: no podemos afirmar $a \star b = b \star a$ para todos los $a$ y $b$. No significa que todas las parejas difieran; por ejemplo, $e$ sí conmuta con cualquier acción.

Ahora reunimos todas las combinaciones en una tabla. En la fila $R$ y la columna $F$, ya comprobamos la trayectoria de $A$; $B$ pasa de arriba a la derecha a abajo a la derecha y después abajo a la izquierda; $C$ pasa de abajo a la derecha a abajo a la izquierda y vuelve abajo a la derecha; $D$ pasa de abajo a la izquierda a arriba a la izquierda y después arriba a la derecha. Desde arriba a la izquierda, leyendo en sentido horario, quedan $A$, $D$, $C$ y $B$, igual que en la figura de $R \star F$. Cada casilla entrega a la segunda acción los destinos de la primera; no suma los nombres de dos letras.

Por tanto, no basta registrar «cuántos giros y cuántas reflexiones». Tanto $R$ seguido de $F$ como $F$ seguido de $R$ contienen un giro y una reflexión: las cantidades coinciden, pero los resultados no. Debemos conservar también el orden y la combinación de acciones; la tabla conserva la información que un simple conteo perdería.

La tabla permite calcular resultados, pero queremos entender por qué podemos seguir operando así. No añadiremos de repente cuatro reglas para memorizar: comprobaremos las propiedades que ya usamos al acortar y deshacer acciones.

1. Combinar dos acciones da otra del mismo conjunto

Cada acción conserva las distancias entre puntos y devuelve el cuadrado a su contorno. Estas dos condiciones se cumplen tras la primera acción; la segunda también las conserva, así que su combinación sigue siendo una simetría del cuadrado. Ya demostramos que solo existen esas 8 simetrías: el resultado debe ser una de la tabla. La propiedad «operar con dos objetos cualesquiera del conjunto produce otro objeto del mismo conjunto» se llama clausura.

2. Cambiar los paréntesis no permite cambiar el orden

Supongamos que ejecutamos $a$, $b$ y $c$. Al usar la tabla, podemos combinar $a$ y $b$ y añadir $c$ después; o combinar $b$ y $c$ y colocarlos después de $a$. Unos experimentos no demuestran que ambas agrupaciones den siempre lo mismo. Comprobémoslo con un punto cualquiera $P$.

Escribimos $a(P)$ para la posición de $P$ tras ejecutar $a$; $b(a(P))$ entrega esa nueva posición a $b$. Al seguir las tres acciones, la ruta de $P$ siempre es $P$ → $a(P)$ → $b(a(P))$ → $c(b(a(P)))$. Tanto si agrupamos las dos primeras como las dos últimas, el destino de cada punto es $c(b(a(P)))$; no hemos intercambiado el orden de $a$, $b$ y $c$.

Esta es la propiedad asociativa. Los paréntesis deciden qué parte calculamos primero, sin cambiar el orden de las acciones. Nos permiten combinar pasos adyacentes de una secuencia larga. Esto no contradice que $R$ y $F$ no puedan intercambiarse, como vimos antes.

3. Necesitamos una acción que no cambie nada

Colocar «no hacer nada» antes o después de $a$ produce lo mismo que hacer solo $a$. Por tanto, $e \star a = a$ y $a \star e = a$ para cada $a$. $e$ se llama elemento identidad. No es el número 1: cumple la función de «no cambiar el resultado» en esta operación. El estado original es una imagen, mientras que $e$ es una acción que conserva cualquier estado inicial; mantengamos esa distinción.

4. Cada acción debe poder deshacerse

Ejecutar $R$ y $R^{3}$ suma 4 giros y devuelve al inicio; invertir su orden da lo mismo. Por tanto, el inverso de $R$ es $R^{3}$. Hacer $R^{2}$ dos veces gira $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$, así que su inverso es él mismo. El inverso de $e$ sigue siendo $e$. Dos reflexiones sobre la misma recta devuelven cada punto desde el otro lado a su posición original; por eso cada una de las cuatro reflexiones es su propio inverso.

$a^{-1}$ representa la acción que deshace $a$; no es una división numérica de acciones. Satisface $a \star a^{-1} = e$ y también $a^{-1} \star a = e$. Para la reflexión elegida, escribimos el cálculo abajo; también puedes comprobarlo en la tabla.

Dar un nombre a esta estructura

Un conjunto es una colección de objetos, finita o infinita. Una operación elige dos objetos de esa colección y obtiene un resultado según una regla determinada. Un conjunto $G$ con una operación $\star$ se llama grupo, y se escribe $(G, \star )$, si cumple las cuatro condiciones siguientes. Esta es la definición de «grupo», no una afirmación de que todas las operaciones las cumplan.

El grupo no es el cuadrado en sí, sino «estas 8 acciones junto con la operación de ejecutarlas sucesivamente». Los cuatro giros también forman un grupo: combinar dos sigue dando uno de ellos; la asociatividad procede de la prueba para cualquier punto; $e$ está en el conjunto, y los inversos de $e$, $R$, $R^{2}$ y $R^{3}$ son $e$, $R^{3}$, $R^{2}$ y $R$, respectivamente, también incluidos. La conmutatividad no forma parte de la definición: un grupo puede permitir intercambiar todas sus acciones, como los cuatro giros, o no permitirlo siempre, como las ocho simetrías.

Demos a la tarjeta estas instrucciones: $R$, $F$, $R$, $F$, $R$, $R$; es decir, giro, reflexión, giro, reflexión, giro y giro. Queremos acortarlas conservando los destinos de todas las esquinas y encontrar cómo volver al origen. Ejecútalas paso a paso con los botones y compara cada posición con los cálculos posteriores.

Los dos primeros pasos forman $R \star F$, igual que el tercero y el cuarto. Ya vimos que $R \star F$ equivale a una reflexión sobre una diagonal y que repetir la misma reflexión devuelve al inicio. Los cuatro primeros pasos forman entonces $e$. Los dos $R$ restantes forman $R^{2}$: toda la secuencia equivale a un giro horario de 180°.

Cada paso tiene una razón: la asociatividad permite agrupar acciones adyacentes; una reflexión es su propio inverso, así que los dos primeros grupos se cancelan; la identidad deja intacto $R^{2}$. No intercambiamos $R$ y $F$ para forzar la cancelación. Para volver al origen basta hacer $R^{2}$, porque $R^{2} \star R^{2} = e$. Al final leemos desde arriba a la izquierda, en sentido horario, $C$, $D$, $A$ y $B$; tras restaurar leemos otra vez $A$, $B$, $C$ y $D$.

Aunque aún no veamos cómo acortar la secuencia, existe un método general para deshacerla: ejecutar los inversos en orden inverso. Deshacemos la última instrucción $R$ con $R^{3}$, la penúltima $R$ con $R^{3}$ y después seguimos con $F$, $R^{3}$, $F$ y $R^{3}$. ¿Por qué al revés? Deshacer el último paso devuelve al estado anterior a ese paso. Repitiéndolo con los anteriores retrocedemos uno a uno hasta el inicio.

Ya hemos completado una aplicación: reducir seis instrucciones a una, demostrar que dos listas distintas tienen el mismo efecto y encontrar cómo restaurar el estado original. Las reglas de grupo reúnen estas razones y garantizan que podemos combinar y deshacer con la misma lógica otros objetos que cumplan las cuatro condiciones. No resuelven automáticamente cualquier problema, pero dan a estas operaciones una base que podemos comprobar.

La definición no exige giros ni un conjunto finito. Comprobemos unos objetos conocidos: los enteros …, $-2$, $-1$, 0, 1, 2, …, normalmente escritos $\mathbb Z$, con la suma habitual. Podemos interpretar $+3$ como avanzar 3 casillas a la derecha en la recta numérica y $-2$ como avanzar 2 a la izquierda. Juntos desplazan 1 a la derecha, es decir, $3 + (-2) = 1$.

La clausura procede de sumar pasos enteros: tras dos recorridos de pasos enteros seguimos en una posición entera. La asociatividad procede de la misma secuencia de pasos unitarios a izquierda o derecha: sumar primero los dos primeros tramos o los dos últimos no añade, elimina ni altera pasos; el desplazamiento total coincide, es decir, $(a + b) + c = a + (b + c)$. Usamos las reglas conocidas de la suma de enteros, sin adivinarlas para una operación nueva.

Sumar 0 es no moverse, así que $0 + a = a + 0 = a$ y la identidad es 0. Después de los pasos de $a$, recorrer $-a$ en sentido contrario cancela cada paso con su pareja: $a + (-a) = (-a) + a = 0$. El inverso de cada entero $a$ es $-a$, que también pertenece a $\mathbb Z$. Por tanto, $(\mathbb Z, +)$ es un grupo. Tiene infinitos objetos, a diferencia de las ocho acciones del cuadrado, pero satisface las mismas cuatro condiciones.

En esta correspondencia, $e$ del cuadrado pasa a ser 0; «hacer otra acción» pasa a ser sumar un entero y deshacer pasa a ser sumar el opuesto. Usamos el mismo nombre porque comparten propiedades de combinación, no porque un entero sea literalmente un cuadrado.

No cualquier conjunto y operación sirven

Si conservamos solo 0, 1, 2, 3, … con la suma, siguen existiendo la identidad 0, la asociatividad y la clausura. Pero deshacer $+3$ requiere un $b$ tal que $3 + b = 0$. Restar 3 a ambos lados da $b = -3$ y $-3$ quedó excluido. Basta que falte un inverso para incumplir la definición: los enteros no negativos con la suma no forman un grupo.

Volvamos a todos los enteros, cambiando la operación por la resta. Entonces $(5 - 3) - 1 = 2 - 1 = 1$, pero $5 - (3 - 1) = 5 - 2 = 3$. Las agrupaciones dan resultados distintos y falla la asociatividad: los enteros con la resta tampoco forman un grupo. Para decidirlo, debemos especificar tanto el conjunto como la operación; decir solo «los enteros son un grupo» omite información esencial.

Puedes buscar pistas en las figuras y tablas anteriores. Escribe tus ideas y compáralas con las respuestas desplegables. Estas explican las razones, además de nombrar las acciones.

Al principio solo queríamos colocar bien el cuadrado, acortar instrucciones y volver al estado original. A partir de esas preguntas concretas encontramos composición, clausura, asociatividad, identidad e inversos; solo al final llamamos grupo al conjunto y la operación que cumplen todas esas condiciones. Hemos terminado un problema pequeño y completo. Podemos estudiar más teoría de grupos después, sin que ello impida comprender las razones que ya tenemos.