Introducción a los conjuntos

Un conjunto es una colección formada por elementos. Formar una colección significa reunir varias cosas en un grupo; un elemento es una de esas cosas. Por ejemplo, una manzana puede ser un elemento que incluimos en un conjunto.

Escribimos este conjunto como $\{\text{manzana}\}$. Las llaves $\{\ \}$ indican que se trata de un conjunto; dentro escribimos sus elementos, separados por comas. Así, $\{\text{manzana}, \text{pelota}\}$ es un conjunto con dos elementos.

Puedes imaginarlo como una caja. En el modelo de abajo, sus extremos tienen las formas $\{$ y $\}$: las paredes de la caja son las llaves. Dentro puedes poner cualquier cosa: una manzana, una pelota o un perro de juguete. En matemáticas solemos poner números, como $2$ y $5$.

Pulsa un objeto o su botón para meterlo en la caja; vuelve a pulsar para sacarlo. El conjunto se escribirá debajo de la caja y se actualizará con tus cambios.

Solemos dar nombre a un conjunto con una letra mayúscula, por ejemplo $A = \{\text{manzana}, \text{pelota}\}$. Para decir «la manzana está en $A$» escribimos $\text{manzana} \in A$; el símbolo $\in$ se lee «pertenece a». Para decir que el perro no está en $A$, tachamos ese símbolo: $\text{perro} \notin A$.

Primera regla: un conjunto registra qué elementos contiene, no dónde están colocados ni en qué orden entraron. Por ejemplo, «manzana, pelota» y «pelota, manzana» nombran los mismos dos elementos. Por tanto, cambiar el orden de la lista no cambia el conjunto. Los objetos de una caja real sí tienen posiciones, pero al representarlos mediante un conjunto decidimos no registrar esas posiciones.

Mete varios objetos en la caja de arriba y pulsa «Agitar la caja». Los objetos cambiarán de posición y debajo se leerá el conjunto en el nuevo orden, de izquierda a derecha. El orden ha cambiado, pero no hemos añadido ni quitado nada: sigue siendo el mismo conjunto: $\{\text{manzana}, \text{pelota}\} = \{\text{pelota}, \text{manzana}\}$.

Segunda regla: los elementos deben estar bien determinados. Segunda regla. Todavía no hemos dicho cómo deben ser los elementos. Una manzana no plantea problemas: sabes claramente de qué objeto hablamos. Pero ¿y si quieres incluir «una cosa que vi ayer en la calle»? Ayer quizá viste muchas cosas en la calle. ¿Cuál quieres incluir exactamente?

Esa frase por sí sola no permite saber qué elemento debemos incluir. Hay que concretar la descripción para determinar qué cosas cuentan como elementos, sin que el criterio cambie según quién lo lea. A eso llamamos aquí determinación. Comprobar si algo cumple la regla puede exigir una investigación o un cálculo; exigimos que la regla sea precisa, no que todas las respuestas se vean a primera vista. Examina si las siguientes descripciones dan un criterio preciso.

Tercera regla: el mismo elemento se cuenta una sola vez. Ahora distingamos un objeto de lo que representa. Dos bloques de madera son objetos distintos, pero aquí ambos representan el mismo número $2$. Como registramos números, añadir el segundo bloque no añade un número nuevo: $2$ ya estaba dentro. Por eso $\{2,2\}=\{2\}$. Si quisiéramos considerar cada bloque como un elemento, tendríamos que darles nombres distintos y entonces serían dos elementos. La cantidad de elementos depende de qué consideremos un elemento.

Un conjunto también puede no contener nada. Es razonable: una caja puede estar vacía. Ese conjunto se llama conjunto vacío y se escribe $\{\}$, o, más habitualmente, $\varnothing$. Pulsa «Vaciar la caja» para verlo.

Cualquier cosa puede ser un elemento, incluidos números como $2.2$, $\pi$ y $0.00000024$. Supongamos que queremos el conjunto de todos los números desde $2$ hasta $5$. No podemos enumerarlos uno a uno: entre $2$ y $5$ están $2.2$, $2.21$, $2.211$… La lista no terminaría nunca.

Los enteros, fracciones como $1/3$ y números como $\pi$ tienen cada uno su posición sobre una recta: la recta numérica que dibujaremos a continuación. En esta lección llamamos números reales a los números que tienen una posición en ella. $\pi$ es aproximadamente $3.14159$ y se obtiene dividiendo la longitud de una circunferencia entre su diámetro, que pasa por el centro. El conjunto de todos los números reales se denota por $\mathbb R$.

Colocamos todos los números reales sobre una recta, llamada recta numérica. Elegimos un punto para representar $0$ y fijamos una longitud como unidad. Así, cada número tiene su punto: los positivos están a la derecha de $0$ y los negativos a la izquierda; la distancia a $0$ se mide con esa unidad.

Mueve el deslizador de abajo y el punto se desplazará por la recta. La coordenada mostrada está redondeada, por eso lleva el signo de aproximación; puedes ampliar la vista para examinar posiciones cercanas. La pantalla y el deslizador solo pueden mostrar un número finito de posiciones, pero la recta numérica no está hecha de una sucesión de puntos separados: entre dos números distintos cualesquiera siempre podemos encontrar otro. Entre $2$ y $5$ está su punto medio, $3.5$; entre $3.5$ y $5$ también está $4.25$. Podemos seguir dividiendo así sin terminar nunca. La imagen solo muestra una parte de la recta.

Todos los números reales desde $2$ hasta $5$, incluidos $2$ y $5$, se pueden escribir como un intervalo: $[2, 5]$. Representa cada número real entre $2$ y $5$, además de los propios $2$ y $5$. En la recta numérica es todo el tramo desde $2$ hasta $5$, con un punto relleno en cada extremo.

A veces queremos excluir un extremo. Los paréntesis indican que no está incluido. Así, $(2, 5]$ incluye $5$ pero no $2$; $[2, 5)$ incluye $2$ pero no $5$; $(2, 5)$ excluye ambos extremos. En la recta numérica, un extremo excluido se representa con un punto hueco.

Pulsa un extremo para alternar entre punto relleno y hueco; mueve los deslizadores para cambiar los extremos. Después desplaza el número de prueba y observa si pertenece al intervalo.

Fíjate en el extremo: $5 \in [2, 5]$, pero $5 \notin [2, 5)$. Sin embargo, $4.9$, $4.99$ y $4.999$ pertenecen a $[2, 5)$. Este intervalo se acerca a $5$ tanto como quieras, pero no incluye al propio $5$.

Ahora queremos combinar conjuntos. Tomemos dos conjuntos pequeños: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ y $B = \{3, 4, 5, 6\}$. Nos ayudará un diagrama de Venn: representamos cada conjunto con un círculo y escribimos dentro sus elementos.

$3$ y $4$ pertenecen a ambos conjuntos, así que los círculos tienen una zona superpuesta. Escribimos $3$ y $4$ en esa zona.

Al juntar los dos conjuntos obtenemos su unión, que se escribe $A \cup B$ y se lee «$A$ unión $B$». Contiene todos los elementos que están en $A$, en $B$ o en ambos. Aquí, $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Escribimos $3$ y $4$ una sola vez, porque los elementos de un conjunto no se repiten.

La parte superpuesta se llama intersección. Se escribe $A \cap B$ y se lee «$A$ intersección $B$». Solo contiene los elementos que pertenecen a $A$ y a $B$ a la vez. Aquí, $A \cap B = \{3, 4\}$. Si dos conjuntos no tienen elementos comunes, su intersección es el conjunto vacío $\varnothing$.

Elige una operación abajo. Se coloreará la parte que conserva y el resultado aparecerá debajo del diagrama.

A veces queremos lo que queda de $A$ después de quitar los elementos de $B$. Es la diferencia de conjuntos, escrita $A \setminus B$ —en algunos libros, $A - B$—, que se lee «$A$ menos $B$». Conserva los elementos de $A$ que no están en $B$. Aquí, $A \setminus B = \{1, 2\}$. Pero $B \setminus A = \{5, 6\}$, así que en este caso el orden sí importa.

Para la última operación debemos precisar primero qué significa «todo». El conjunto de todas las cosas que estamos considerando se llama conjunto universal y se denota por $U$. En el diagrama es el rectángulo: $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. $7$ y $8$ están en $U$, pero fuera de los dos círculos.

El complemento de $A$ contiene todos los elementos de $U$ que no están en $A$. Se escribe $\complement_U A$. Aquí, $\complement_U A = \{5, 6, 7, 8\}$. Es precisamente $U \setminus A$: quitamos $A$ del conjunto universal.

Los intervalos también son conjuntos, por lo que podemos unirlos, buscar su parte común o quitar de uno los elementos del otro. Sean $A = [2, 5]$ y $B = [4, 7]$.

Los dos tramos se superponen entre $4$ y $5$, así que al unirlos cubren desde $2$ hasta $7$ sin dejar huecos: $A \cup B = [2, 7]$. Su parte común va desde $4$ hasta $5$; $4$ y $5$ pertenecen a ambos intervalos, de modo que $A \cap B = [4, 5]$.

Para obtener $A \setminus B$ quitamos de $A$ todos los números que están en $B$. Se elimina todo desde $4$ hasta $5$, incluido el propio $4$, porque $4 \in B$. La parte restante empieza en $2$ y termina justo antes de $4$: $A \setminus B = [2, 4)$. Aquí es donde nos sirven los paréntesis.

Tomemos todos los números reales $\mathbb{R}$ como conjunto universal. El complemento de $A$ contiene todos los números menores que $2$ y todos los mayores que $5$. Ninguno de esos dos tramos tiene fin. Usamos $\infty$, que se lee «infinito», para indicar que se prolonga sin terminar. No es un número, así que siempre lo acompañamos de un paréntesis: el complemento es $(-\infty, 2) \cup (5, +\infty)$.

Desliza $B$ por la recta numérica y elige una operación. Observa cómo los extremos del resultado alternan entre corchetes y paréntesis.