Ecuaciones diofánticas

Representamos por $x$ el número de paquetes de 3 y por $y$ el de paquetes de 5. Las letras solo nombran números aún desconocidos. Si $x = 3$, el primer tipo aporta $3 + 3 + 3 = 3 \times 3 = 9$ objetos; si $y = 4$, el segundo aporta $5 + 5 + 5 + 5 = 5 \times 4 = 20$. La suma es $9 + 20 = 29$.

El símbolo $\in$ significa «pertenece a». Las llaves enumeran los números permitidos y los puntos suspensivos indican que la lista continúa. Aquí $x$ y $y$ pueden ser 0, porque podemos no tomar ningún paquete de un tipo; no pueden ser negativos ni fraccionarios. Los números 0, 1, 2, … se llaman enteros no negativos.

Los dos controles cambian las cantidades de ambos tipos de paquetes. Cada recuadro verde contiene 3 puntos y cada amarillo 5; cada punto es un objeto. El objetivo 29 permanece fijo y podemos observar cómo $3x$ y $5y$ forman el total. Prueba también $x = 8$ y $y = 1$: $3 \times 8 + 5 \times 1 = 24 + 5 = 29$, otra posibilidad.

Separemos ahora la ecuación de la historia de los paquetes. Los enteros también pueden ser negativos: …, $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2, 3, …. Usamos $\mathbb Z$ para el conjunto de todos los enteros. Por ejemplo, $x = -2$ y $y = 7$ también satisfacen $3 \times (-2) + 5 \times 7 = -6 + 35 = 29$. Son una solución entera de la ecuación, pero no una forma posible de tomar paquetes. Debemos aclarar si buscamos todos los enteros o solo los no negativos.

Una ecuación cuyas incógnitas deben ser enteras se llama ecuación diofántica. Los próximos ejemplos lineales con dos incógnitas pueden no tener soluciones enteras o tener infinitas; un ejemplo no lineal posterior tendrá exactamente seis. Lo esencial es que los valores de las incógnitas están restringidos a enteros.

No necesitamos adivinar ambos números a la vez: elegido $x$, la condición de sumar 29 determina $y$. Restamos $3x$ en ambos miembros y queda $5y$ a la izquierda. Dividimos después entre 5, que no es cero, para obtener $y$.

Si $x = 0$, entonces $y = (29 - 3 \times 0)/5 = 29/5 = 5.8$. La igualdad sí se cumple, $3 \times 0 + 5 \times 5.8 = 29$, pero 5,8 no es entero. Si $x = 3$, obtenemos $y = (29 - 9)/5 = 20/5 = 4$, que sí lo es. Si admitimos números reales, ambas parejas sirven; si exigimos enteros, solo la segunda. Los reales incluyen enteros, fracciones y los demás números de la recta numérica.

Para dibujar la diferencia, cruzamos dos rectas numéricas en el cero. La horizontal registra $x$ y la vertical $y$. (3, 4) significa avanzar 3 casillas a la derecha desde el cruce y luego 4 hacia arriba. Ponemos un punto gris donde ambas coordenadas son enteras. Estos puntos ordenados forman una retícula de puntos enteros. Buscamos puntos calculados que coincidan exactamente con los grises, no que queden entre ellos.

¿Por qué la gráfica violeta es una recta? Aumentamos $x$ en $h$ y sustituimos en $x + h$ para obtener $y = (29 - 3x - 3h)/5 = (29 - 3x)/5 - 3h/5$. Un cambio horizontal $h$ produce siempre un cambio vertical $-3h/5$; cuando $h \ne 0$, dividir el cambio vertical $-3h/5$ entre el horizontal $h$ da $-3/5$, una proporción fija. Es una recta de pendiente $-3/5$; la pendiente es el cambio vertical dividido entre el horizontal. La recta también incluye coordenadas fraccionarias: solo los puntos con ambas coordenadas enteras responden al problema de soluciones enteras.

Si solo buscamos cantidades no negativas de paquetes, $x$ no puede superar 9: en cuanto $x \ge 10$, el primer tipo aporta al menos $3 \times 10 = 30$ objetos, más de 29. Para este problema concreto, comprobar de $x = 0$ a 9 cubre todas las posibilidades no negativas. Sin embargo, no cubre todas las soluciones enteras: $x$ puede ser negativo y $y$ puede ser mayor. Para tratar todos los enteros necesitamos una demostración que no quede limitada por esta imagen finita.

Cambiemos los tamaños de los paquetes a 6 y 9 y el objetivo a 31. En lugar de probar muchas parejas, observemos que 6 y 9 son múltiplos de 3. Cualquier cantidad de paquetes de cada tipo aporta un múltiplo de 3, y sumarlos no cambia eso.

Si $x$ y $y$ son enteros, $2x + 3y$ también lo es, así que el miembro izquierdo es exactamente 3 por un entero. Pero 31 no lo es: al dividir entre 3 da cociente 10 y resto 1. Por tanto, $6x + 9y = 31$ no tiene soluciones enteras, ni siquiera permitiendo $x$ y $y$ negativos. No es simplemente «probamos muchas veces sin encontrar»: hemos demostrado que no puede existir.

Escribamos la misma idea en general. Por ahora, $a$ y $b$ son enteros positivos y el objetivo $c$ es entero. Si existe un entero $A$ tal que $a = dA$, decimos que el entero positivo $d$ divide a $a$, y escribimos $d \mid a$. Un número que divide a $a$ y $b$ es un divisor común; el mayor positivo se llama máximo común divisor y se escribe $\gcd (a, b)$. Existe porque 1 es divisor común y los divisores positivos de $a$ no superan $a$: las opciones forman un conjunto finito no vacío.

Si $ax + by = c$ tiene solución entera, la última línea indica que $c$ es $d$ multiplicado por el entero $Ax + By$; por tanto, debe cumplirse $d \mid c$. Llamamos a esto condición necesaria: si falta, no puede haber solución. Todavía no podemos afirmar que cumplirla garantice una solución; el sentido contrario necesita otra demostración.

Queremos escribir el máximo común divisor como «$a$ por un entero más $b$ por otro entero». ¿Para qué? Si $d$ divide a $c$, multiplicaremos ambos enteros por $c/d$ y el miembro derecho pasará de $d$ a $c$. La división con resto permite construir esa representación.

Primero recorre todo el cálculo con 3 y 5

De 5 quitamos un grupo de 3 y quedan 2; de 3 quitamos un grupo de 2 y queda 1; finalmente, 2 contiene exactamente dos grupos de 1 y no sobra nada. Cada nuevo resto es menor que el divisor que acabamos de usar.

El último resto no nulo es 1. Para escribirlo con los números originales 3 y 5, leemos hacia atrás la segunda igualdad: $1 = 3 - 2$. La primera dice $2 = 5 - 3$. Sustituimos el 2 y distribuimos el signo menos delante del paréntesis.

Por tanto, $(58, -29)$ es una solución entera de $3x + 5y = 29$. Comprobamos directamente: $3 \times 58 = 174$, $5 \times (-29) = -145$ y $174 - 145 = 29$. No es una forma real de tomar paquetes, pero ahora solo buscábamos una solución entera y ya la tenemos. Después pasaremos de una solución a todas las demás, incluida (3, 4).

¿Por qué este proceso de división siempre termina?

Para dos enteros positivos $U$ y $V$, retiramos grupos completos de $V$ de $U$ hasta que quede menos de $V$. Si inicialmente $U < V$, no retiramos ninguno. Cada paso reduce al menos 1 y no deja un valor negativo, así que basta un número finito de pasos. Denotamos por $q$ los grupos retirados y por $r$ el resto: obtenemos $U = qV + r$, con $q$ entero no negativo y $0 \le r < V$.

Si $r$ no es cero, repetimos con el nuevo par $(V, r)$. El segundo número pasa siempre a ser un entero positivo menor. No puede disminuir indefinidamente: empezando en $V$ solo puede pasar por un número finito de valores $V - 1$, $V - 2$, …, 1. Por tanto, finalmente aparece el resto 0. Este método de divisiones sucesivas con resto se llama algoritmo de Euclides.

¿Por qué el último número distinto de cero que queda es el $\gcd$?

No basta observar este paso: debemos demostrar que sustituir $(U, V)$ por $(V, r)$ conserva todos los divisores comunes. Si $k$ divide a $U$ y $V$, escribimos $U = km$ y $V = kn$. Entonces $r = U - qV = km - qkn = k(m - qn)$, lo que muestra que $k$ también divide a $r$. Así, todo divisor común de $U$ y $V$ también lo es de $V$ y $r$.

A la inversa, si $k$ divide a $V$ y $r$, escribimos $V = kn$ y $r = ks$. Entonces $U = qV + r = qkn + ks = k(qn + s)$, así que $k$ también divide a $U$. Hemos probado ambos sentidos: los divisores comunes son exactamente los mismos antes y después. El último par es $(d, 0)$. Todo divisor positivo de $d$ también divide a 0 porque $0 = k \times 0$, y el mayor es el propio $d$. Como ninguna sustitución alteró los divisores comunes, $d$ es también el máximo común divisor de los números iniciales $a$ y $b$.

¿Por qué $d$ siempre se puede escribir como suma de múltiplos enteros de $a$ y $b$?

Al inicio, $a = 1a + 0b$ y $b = 0a + 1b$ ya tienen la forma buscada. Supongamos que en algún paso los dos números se escriben $U = ma + nb$ y $V = pa + sb$ con coeficientes enteros. El siguiente resto es $U - qV$. Al desarrollar vemos cuáles son los nuevos coeficientes.

$m - qp$ y $n - qs$ siguen siendo enteros, porque sumas, restas y productos de enteros dan enteros. Así, cada paso conserva esta forma. El $d$ final es uno de los números retenidos durante el proceso. Si la primera división es exacta, $d$ puede ser un número inicial; si no, será un resto posterior. En ambos casos conserva la forma, así que existen enteros $u$ y $v$ tales que $au + bv = d$. Sustituir los restos hacia atrás, como antes, permite calcular $u$ y $v$. Este resultado se llama identidad de Bézout; el nombre facilita citarlo, pero no sustituye la demostración.

Si $d$ divide a $c$, entonces $k = c/d$ es entero y la última línea construye realmente la solución entera $x = ku$, $y = kv$. Ya tenemos ambos sentidos: para enteros positivos $a$ y $b$, $ax + by = c$ tiene solución entera si y solo si $\gcd(a, b)$ divide a $c$. «Si y solo si» significa que cada afirmación implica la otra. Esto garantiza soluciones enteras, todavía no no negativas.

Para $6x + 9y = 30$, las divisiones dan $9 = 1 \times 6 + 3$ y $6 = 2 \times 3 + 0$. Hacia atrás obtenemos $3 = 9 - 6$. Como $30/3 = 10$, multiplicamos por 10 y obtenemos $30 = 10 \times 9 - 10 \times 6 = 6 \times (-10) + 9 \times 10$, así que $(-10, 10)$ es una solución. En cambio, ningún entero multiplicado por 3 da 31, de acuerdo con la condición necesaria anterior.

Volvamos a $3x + 5y = 29$ y partamos de (3, 4). Aumentar $x$ en 5 añade $3 \times 5 = 15$ al total; disminuir $y$ en 3 resta $5 \times 3 = 15$. Ambos cambios se cancelan, así que (8, 1) sigue siendo solución. Un paso en sentido contrario da $(-2, 7)$. Repetir un número entero de veces sugiere $x = 3 + 5t$ y $y = 4 - 3t$, donde $t$ puede ser cualquier entero, negativo, cero o positivo.

La sustitución demuestra que todas las parejas construidas son correctas. Pero ¿podría haber otra solución inalcanzable con esta regla? Partamos de una solución entera cualquiera $(x, y)$, sin suponer que pertenece a la lista. A su igualdad $3x + 5y = 29$ le restamos la conocida $3 \times 3 + 5 \times 4 = 29$.

Aquí $\Delta$ representa un cambio: $\Delta x$ significa $x - 3$, no una multiplicación nueva. Debemos demostrar que $\Delta x$ es múltiplo de 5. No podemos tachar intuitivamente el 3 de una relación de divisibilidad. Usamos la igualdad ya calculada $2 \times 3 - 5 = 1$, multiplicamos ambos miembros por $\Delta x$ y sustituimos $3\Delta x$ por $-5\Delta y$.

El paréntesis es entero, así que existe un entero $t$ tal que $\Delta x = 5t$. Al sustituirlo en $3\Delta x = -5\Delta y$ obtenemos $15t = -5\Delta y$; dividiendo entre $-5$, que no es cero, resulta $\Delta y = -3t$. Por tanto, cualquier solución elegida debe escribirse $x = 3 + 5t$ y $y = 4 - 3t$. Hemos demostrado ambos sentidos: todo lo construido es solución y toda solución entera puede construirse. Esto es una resolución completa.

Repite el razonamiento con coeficientes generales

Supongamos ahora $a$, $b > 0$, $d = \gcd (a, b)$ y que $d$ divide a $c$. Sea $(x_{0}, y_{0})$ una solución entera conocida; el subíndice 0 solo señala el punto de partida. Escribimos $A = a/d$ y $B = b/d$, ambos enteros positivos. $A$ y $B$ no pueden tener un divisor común $h$ mayor que 1: en ese caso $dh$ dividiría a $a$ y $b$, y $h > 1$ implicaría $dh > d$, contradiciendo que $d$ sea el máximo común divisor. Por tanto, $A$ y $B$ tienen máximo común divisor 1: son coprimos.

La última línea se obtiene dividiendo la anterior entre $d$; como $d > 0$, la división es válida. Dado que $A$ y $B$ son coprimos, el argumento completo del algoritmo de Euclides garantiza enteros $u$ y $v$ tales que $uA + vB = 1$. Multiplicamos ambos miembros por $\Delta x$ y sustituimos $A\Delta x$ por $-B\Delta y$; los dos términos derechos tendrán el factor $B$.

Por tanto, existe un entero $t$ tal que $\Delta x = Bt$. Al sustituir en $A\Delta x = -B\Delta y$ obtenemos $ABt = -B\Delta y$. Como $B > 0$, podemos dividir entre $B$ y llegar a $\Delta y = -At$. A la inversa, estos cambios siempre se cancelan: $a(Bt) + b(-At) = (ab/d)t - (ba/d)t = 0$. Otra vez hemos demostrado ambos sentidos; todas las soluciones enteras son exactamente las siguientes.

Esto explica por qué podemos elegir un inicio más cómodo. Partiendo de $(58, -29)$, obtenido por Euclides para la ecuación de los paquetes, tomamos $t = -11$ y obtenemos $x = 58 + 5 \times (-11) = 3$ y $y = -29 - 3 \times (-11) = 4$. Empezar en (3, 4) solo cambia la numeración del parámetro para las mismas soluciones. Para $6x + 9y = 30$, $d = 3$, el desplazamiento por paso es $(9/3, -6/3) = (3, -2)$. Desde $(-10, 10)$, cuatro pasos llevan a $(-10 + 12, 10 - 8) = (2, 2)$.

En el modelo, el eje horizontal sigue siendo $x$ y el vertical $y$. Los puntos verdes son soluciones enteras y el círculo amarillo señala la actual. Elige una ecuación y cambia $t$ en un paso entero. El tramo horizontal de la línea discontinua representa el cambio de $x$ y el vertical el de $y$; el cálculo contiguo comprueba que el total sigue fijo. Prueba también el objetivo 31: no hay soluciones enteras por una contradicción aritmética, no porque los puntos estén fuera de la imagen.

Todas las soluciones enteras de $3x + 5y = 29$ son $x = 3 + 5t$ y $y = 4 - 3t$. Al volver a los paquetes, necesitamos además $x \ge 0$ y $y \ge 0$ simultáneamente. Expresamos ambas desigualdades mediante el mismo parámetro $t$, en lugar de elegir dos números sin relación.

En la primera línea restamos 3 en ambos miembros para obtener $5t\ge-3$; dividir entre el positivo 5 no invierte la desigualdad. En la segunda sumamos $3t$ y obtenemos $4\ge3t$; dividir entre el positivo 3 tampoco cambia el sentido. Juntas dan $-3/5 \le t \le 4/3$. Como $-1 < -3/5 < 0$ y $1 < 4/3 < 2$, el intervalo solo contiene dos enteros: 0 y 1.

Por tanto, hay exactamente dos formas de tomar paquetes: (3, 4) y (8, 1). «Exactamente» tiene ahora dos justificaciones: antes revisamos todos los $x$ no negativos y ahora filtramos una solución general entera cuya completitud está demostrada. En una resolución de concurso debemos mostrar por qué no falta ninguna, no terminar tras enumerar dos respuestas acertadas.

Para reutilizarlo, denotamos «el menor entero no menor que $r$» por $\lceil r\rceil$ y «el mayor entero no mayor que $r$» por $\lfloor r\rfloor$. Son las definiciones de techo y piso, o redondeo hacia arriba y hacia abajo. Por ejemplo, $\lceil -3/5\rceil = 0$ porque 0 es el primer entero a su derecha; $\lfloor 4/3\rfloor = 1$ porque 1 es el último a su izquierda. Escribimos $A = a/d > 0$ y $B = b/d > 0$ y expresamos así las dos condiciones no negativas.

Si el límite entero inferior supera al superior, no hay soluciones no negativas, aunque sí existan enteras. Por ejemplo, $3x + 5y = 1$ tiene la solución entera $(2, -1)$ porque $6 - 5 = 1$; todas sus soluciones son $x = 2 + 5t$ y $y = -1 - 3t$. La no negatividad exige $t \ge -2/5$, es decir, el entero $t \ge 0$, y simultáneamente $t \le -1/3$, es decir, el entero $t \le -1$. Son incompatibles. Por eso $\gcd(a, b)$ | $c$ no resuelve por sí solo un problema real de recuento.

Hasta ahora cada incógnita solo se multiplicaba por un coeficiente fijo: las ecuaciones eran lineales. Considera ahora $xy = x + y + 3$ con $x$ y $y$ enteros. Aparece el producto $xy$ de dos incógnitas, cambiando la estructura; no podemos aplicar directamente la fórmula general lineal de dos variables. Buscamos transformarla en un problema entero que podamos enumerar por completo.

Como hay un producto, intentemos escribir dos factores. Restamos $x$ y $y$ en ambos miembros y obtenemos $xy - x - y = 3$. La izquierda se parece a $(x - 1)(y - 1)$, pero primero desarrollamos para comprobar: $(x - 1)(y - 1) = xy - x - y + 1$. Falta exactamente $+1$, así que sumamos 1 a ambos miembros de la igualdad original.

Escribimos $u = x - 1$ y $v = y - 1$ y la ecuación queda $uv = 4$. Restar 1 a un entero da otro entero; a la inversa, cada entero $u$ da un entero $x = u + 1$. La sustitución no pierde ni añade parejas enteras. Ahora enumeramos todos los pares ordenados de factores de 4. «Ordenados» significa que el primero corresponde a $x$ y el segundo a $y$; intercambiarlos puede dar otra solución.

Ningún factor puede ser cero, porque el producto es 4. Deben tener el mismo signo, pues signos opuestos dan producto negativo. Si ambos son positivos, cada uno es al menos 1 y ninguno puede superar 4. Probamos $u = 1$, 2, 3 y 4: los valores correspondientes de $v = 4/u$ son 4, 2, $4/3$ y 1, y el tercero no es entero. Si ambos son negativos, escribimos $u = -s$ y $v = -r$ con $s$ y $r$ positivos. Entonces $uv = sr = 4$, así que todos los pares negativos se obtienen cambiando ambos signos de los tres positivos.

Selecciona un par de factores: el modelo suma 1 a cada coordenada y calcula por separado los miembros de la ecuación original. Como cada transformación es reversible y la lista de factores es completa, estas seis parejas son todas las soluciones enteras. Si pedimos $x$ y $y$ positivos, solo conservamos (2, 5), (3, 3) y (5, 2); las otras tres contienen ceros o negativos.

En el rectángulo inferior, cada cuadrado tiene lado 1 y área 1. Las etiquetas horizontal $|u|$ y vertical $|v|$ indican valor absoluto, la magnitud sin el signo negativo. Por ejemplo, $|-2| = 2$ y $|2| = 2$. Multiplicar los lados cuenta los cuatro cuadrados. Para factores negativos, el rectángulo solo representa las magnitudes; los dos signos menos se comprueban aparte en la expresión.

No toda ecuación se convierte en un producto cómodo. Considera $x^{2} + y^{2} = 3$ con $x$ y $y$ enteros; aquí $x^{2}$ significa $x \times x$. Probar enteros de pequeño valor absoluto no basta para concluir que no hay solución. Demostraremos que los restos al dividir entre 4 no pueden coincidir. Esto se relaciona con la congruencia: dos enteros son congruentes módulo 4 cuando su diferencia es divisible entre 4, equivalentemente cuando tienen el mismo resto.

¿Por qué ambas descripciones coinciden? Escribimos los enteros como $4q + r$ y $4s + u$, con $r$ y $u$ entre 0, 1, 2 y 3. Su diferencia es $4(q - s) + (r - u)$. Si los restos son iguales, es divisible entre 4; a la inversa, si la diferencia es divisible entre 4, $r - u$ también debe ser múltiplo de 4. Pero $-3 \le r - u \le 3$ y el único múltiplo de 4 en ese intervalo es 0, así que $r = u$.

Todo entero $n$, incluidos los negativos, está en algún tramo entero de $4q$ a $4q + 3$, así que $n = 4q + r$ con $r$ igual a 0, 1, 2 o 3. Para elegir rigurosamente $q$ tomamos $q = \lfloor n/4\rfloor$, de modo que $q \le n/4 < q + 1$; multiplicamos por 4 y restamos $4q$ para obtener $0 \le n - 4q < 4$. Por ejemplo, $-1 = 4 \times (-1) + 3$. Elevemos al cuadrado las cuatro formas y veamos qué partes son múltiplos de 4.

Cada desarrollo usa $(a + b)^{2} = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$, resultado de multiplicar término a término los dos paréntesis. Cada paréntesis de la derecha es entero, así que todo cuadrado entero deja resto 0 o 1 al dividir entre 4. Al sumar dos cuadrados, las sumas de restos solo son $0 + 0 = 0$, $0 + 1 = 1$, $1 + 0 = 1$ y $1 + 1 = 2$; todas son menores que 4, no necesitan otra reducción y ninguna es 3.

El miembro derecho de $x^{2} + y^{2} = 3$ deja resto 3 al dividir entre 4. Si ambos miembros fueran el mismo entero, deberían tener el mismo resto. Como es imposible, no hay solución entera. El mismo cálculo descarta todos los objetivos de resto 3 módulo 4. No hemos demostrado el sentido contrario: superar esta comprobación solo significa no quedar descartado por esta condición necesaria. Como antes con la existencia en ecuaciones lineales, no debemos confundir ambos sentidos.

Antes de cada ejercicio, piensa qué exige una respuesta completa: demostrar imposibilidad, encontrar una solución y todas sus variaciones, o enumerar todos los pares de factores. Puedes desplegar las soluciones; no aparecen automáticamente. Compararemos tanto los números finales como las razones por las que no falta nada.

¿Y si un coeficiente es cero o negativo?

La demostración principal exige expresamente $a$ y $b > 0$ para que las divisiones y el sentido de las desigualdades sean claros. No podemos introducir cero en sus denominadores. Si $a = 0$ y $b \ne 0$, la ecuación es $by = c$ y solo hay solución si $c/b$ es entero; entonces $y = c/b$ y $x$ puede ser cualquier entero. Si $b = 0$ y $a \ne 0$, necesitamos $x = c/a$ entero y $y$ es libre. Si ambos coeficientes son cero, la izquierda siempre es cero: con $c = 0$ sirve cualquier pareja entera y con $c \ne 0$ no sirve ninguna.

Un coeficiente negativo no nulo se trata cambiando el signo de la incógnita correspondiente. Por ejemplo, si definimos $X = -x$, $-3x + 5y = 29$ se convierte en $3X + 5y = 29$. Cada entero $x$ corresponde exactamente a un entero $X$ y, a la inversa, $x = -X$, así que no cambia el conjunto de soluciones enteras bajo esa correspondencia. Sabemos $X = 3 + 5t$ y $y = 4 - 3t$, por lo que $x = -3 - 5t$. Comprobamos: $-3(-3 - 5t) + 5(4 - 3t) = 9 + 15t + 20 - 15t = 29$. Si hay restricciones de no negatividad, debemos traducirlas también: $x \ge 0$ corresponde a $X \le 0$, no a $X \ge 0$.

Ahora podemos conectar lo anterior con el álgebra lineal sin introducir de repente un método sin explicar. Una pareja de números puede escribirse como columna, que aquí llamaremos vector. Sumar dos columnas significa sumar sus primeras entradas y sus segundas entradas; multiplicar una columna por un número significa multiplicar cada entrada. Estas operaciones describen los desplazamientos de coordenadas que ya usamos.

Para $6x + 9y = 30$ partimos de (2, 2). La columna $(3, -2)$ representa sumar 3 a la primera coordenada y restar 2 a la segunda. La ecuación comprueba una pareja multiplicando la primera entrada por 6 y la segunda por 9, y sumando. Podemos registrar esa operación mediante la fila [6 9], una matriz de una fila. Aquí definimos su multiplicación así.

Antes de escribir la suma en notación matricial, desarrollamos la aritmética ordinaria. Las entradas de $p$ se llaman $p_{1}$ y $p_{2}$, y las de $z$, $z_{1}$ y $z_{2}$. Los subíndices 1 y 2 indican posiciones, no potencias. Al sumar, las entradas son $p_{1} + z_{1}$ y $p_{2} + z_{2}$. Ahora multiplicamos la primera por 6 y la segunda por 9.

La resta se desarrolla igual: $6(w_{1} - p_{1}) + 9(w_{2} - p_{2}) = 6w_{1} - 6p_{1} + 9w_{2} - 9p_{2} = (6w_{1} + 9w_{2}) - (6p_{1} + 9p_{2})$, abreviado $M(w - p) = Mw - Mp$. Las reglas matriciales compactas siguientes proceden de la distributividad aplicada término a término, no de una nueva suposición.

Este desplazamiento cambia el total en cero, así que puede añadirse a una solución. En general, si la columna $p$ cumple $Mp = c$ y la columna $z$ cumple $Mz = 0$, la distributividad da $M(p + z) = Mp + Mz = c + 0 = c$. A la inversa, si otra columna $w$ cumple $Mw = c$, restar ambas igualdades da $M(w - p) = Mw - Mp = c - c = 0$. Así, toda solución es «una solución particular más un desplazamiento cuya salida es cero».