Funciones generadoras: registrar el conteo en el álgebra

Primero aclaremos qué cuenta como una forma

Las reglas permiten usar como máximo dos monedas de 1 y como máximo una de 2, o no usar ninguna de un tipo. Las monedas del mismo valor no están numeradas; no distinguimos cuál usamos. Además, el registro solo indica cuántas usamos de cada tipo, no el orden de entrega. Por tanto, entregarlas en el orden «1, 2» o «2, 1» deja el mismo registro: «una de 1 y una de 2». Abajo puedes cambiar la regla del registro y comprobar de dónde viene la diferencia.

Llamemos $a$ a la cantidad de monedas de 1 y $b$ a la de monedas de 2. Las letras solo nombran cantidades: $a$ puede ser 0, 1 o 2, y $b$ puede ser 0 o 1. Cada moneda del segundo tipo aporta 2, así que el total es $a + 2b$. Por ejemplo, cuando $a = 1$ y $b = 1$, el total es $1 + 2 \times 1 = 3$.

Para cada $a$ hay dos elecciones: $b = 0$ y $b = 1$. Tenemos entonces $3 \times 2 = 6$ pares de cantidades: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1). $a$ agrupa los pares con la misma primera cantidad, y cada grupo tiene exactamente dos $b$ distintos. Así no omitimos ni repetimos ninguno. Sus totales son, respectivamente, 0, 2, 1, 3, 2 y 4.

Por tanto, a los totales 0, 1, 2, 3 y 4 les corresponden 1, 1, 2, 1 y 1 formas. El total 0 tiene 1 forma, porque no tomar monedas de ninguno de los tipos sí es una elección concreta; es distinto de «no existe ninguna elección válida». Ahora queremos conservar esta tabla de totales y cantidades de formas, y hacer que el propio registro nos ayude a calcular.

¿Cómo puede ayudarnos a calcular el propio registro?

Considera primero una tabla habitual. Necesitamos dos datos distintos: qué importe pagamos y de cuántas formas podemos pagarlo. «El importe es 2» y «hay 2 formas» contienen ambos el número 2, pero no significan lo mismo. Dos columnas permiten separarlos, aunque además queremos combinar elecciones: si una paga 2 y otra paga 3, juntas deben registrar 5. Necesitamos una escritura que sume esos importes al multiplicarse.

Usamos la letra $x$ como símbolo. El producto de dos $x$ se abrevia $x^{2}$; el de tres se escribe $x^{3}$. El número superior derecho se llama exponente y dice cuántos $x$ multiplicamos. Así, $x^{2}x^{3}=(x\times x)(x\times x\times x)=x^{5}$: los 2 y los 3 factores de ambos grupos forman 5 en total. Esta es la regla que necesitamos, por eso elegimos registrar el importe con el exponente. Aquí $x$ no representa una moneda ni exige sustituirlo por un importe: el importe ya figura en el exponente.

Cuando el importe es 0 no tenemos ningún $x$ que juntar y escribimos el registro como $x^0=1$. ¿Por qué 1? Porque añadir «no pagar nada» a un pago debe conservar su importe, y multiplicar por 1 también deja intacto el otro término. Este convenio hace que el importe cero siga la misma regla de combinación.

Cada elección aporta un término. Si dos elecciones distintas dan total 2, obtenemos $x^{2} + x^{2} = 2x^{2}$. El 2 de delante es el coeficiente y cuenta formas; el de arriba es el exponente y registra el total. Si no hay forma de obtener total 5, el término correspondiente es $0x^{5}$ y suele omitirse. Así podemos escribir la tabla anterior como:

Por ejemplo, $2x^{2}$ se lee «total 2, con 2 formas». El término constante 1 se lee «total 0, con 1 forma». No usamos el valor de toda la expresión para responder sobre un total: buscamos el exponente correspondiente y leemos su coeficiente.

¿Por qué a veces sumamos y a veces multiplicamos?

Primero la suma. Volvamos a las dos figuras iniciales: tomar dos monedas de 1 o una de 2. Son elecciones distintas que no se solapan: la primera no tiene monedas de 2 y la segunda tiene una. Cada una aporta un $x^{2}$; juntas dan $x^{2} + x^{2} = 2x^{2}$, que indica dos formas de obtener total 2. Podemos sumar porque los dos grupos de formas no se solapan. Si una elección apareciera en ambas listas, sumarlas directamente la contaría dos veces.

Volvamos ahora a las monedas. No elegimos entre los dos tipos; hacemos una elección para cada tipo. Podemos tomar 0, 1 o 2 monedas de 1, registradas como $A(x) = 1 + x + x^{2}$; y 0 o 1 monedas de 2, registradas como $B(x) = 1 + x^{2}$. Necesitamos elegir un término de $A$ y otro de $B$. Cada expresión que multiplicamos se llama factor, así que $A$ y $B$ son dos factores.

Al combinar dos elecciones, sus totales deben sumarse. La multiplicación lo hace: $x^{2}x^{3} = (x \times x)(x \times x \times x) = x^{5}$; los 2 y los 3 factores indicados por los exponentes forman 5. En general, al juntar $i$ copias de $x$ y $j$ copias de $x$, tenemos $i + j$ copias de $x$, así que $x^{i}x^{j} = x^{i+j}$. Si un exponente es 0, su factor es 1 y no cambia el otro total, de acuerdo con «no tomar nada».

¿Por qué multiplicar los paréntesis enumera todas las elecciones? Por la propiedad distributiva, cada término de $A$ multiplica todo $B$: multiplica cada uno de los dos términos de $B$ y suma los resultados. Así, cada elección de $A$ se empareja una vez con cada elección de $B$. Escribiendo cada término intermedio podemos comprobarlo uno a uno:

La tabla siguiente contiene esos seis emparejamientos. Elige un total objetivo y pulsa «Contar el siguiente par». Al contar una casilla que cumple el objetivo, su aportación de 1 queda en el conteo; las casillas no contadas no desaparecen. Las monedas azules llevan 1 y las doradas 2, con el valor siempre escrito en ellas.

Para el objetivo 2, un par combina el término constante de $A$ con $x^{2}$ de $B$ y produce $x^{2}$: tomar 0 monedas de 1 y 1 moneda de 2. Otro combina $x^{2}$ de $A$ con el término constante de $B$ y también da $x^{2}$: tomar 2 monedas de 1 y 0 de 2. Por tanto, el coeficiente es $1 + 1 = 2$. Las dos formas coinciden con las dos figuras iniciales.

Obtener una regla general a partir de una tabla pequeña

En adelante llamaremos $a_{n}$ al número de formas de obtener el total $n$. El subíndice $n$ indica qué total observamos: $a_{0}$ cuenta las formas del total 0 y $a_{1}$ las del total 1; no significan $a$ por 0 ni $a$ por 1. La expresión que ordena estos números según los exponentes se llama función generadora ordinaria de la sucesión. En esta página, «función generadora» siempre se refiere a este tipo de registro.

$A(x)$ es el nombre del registro completo. ¿Por qué se llama «función»? Un registro finito es un polinomio; bajo condiciones adecuadas, uno infinito también puede corresponder a una función numérica. Aquí lo usamos como «registro por coeficientes»; después explicaremos con rigor cómo operar con registros infinitos. No necesitamos dibujar una curva ni demostrar primero la convergencia de una serie numérica.

En los dos factores anteriores, cada importe permitido tenía una sola elección. Por ejemplo, usando solo monedas de 1, el importe 2 únicamente se obtiene tomando dos. Permitamos ahora que el primer registro $A$ tenga $a_i$ elecciones para el importe $i$, y el segundo registro $B$ tenga $b_j$ elecciones para el importe $j$. El subíndice señala el importe y el número que lo lleva cuenta las formas. Cada elección del primero puede emparejarse con las $b_j$ elecciones del segundo. Hay $a_i$ grupos, con $b_j$ pares cada uno, es decir, $a_ib_j$ pares; todos tienen importe $i+j$.

Para obtener total $n$, solo sirven los pares con $i + j = n$. Como los totales no son negativos, $i$ solo puede ir de 0 a $n$; una vez fijado $i$, $j$ debe ser $n - i$. Comprobamos entonces (0,n), $(1,n-1)$, hasta (n,0), y sumamos sus cantidades de formas para obtener el coeficiente de $x^{n}$ en el producto.

$[x^{n}]$, a la izquierda, significa «tomar el coeficiente de $x^{n}$ en la expresión siguiente», no multiplicar por $x^{n}$. A la derecha, $\Sigma$ abrevia la suma anterior: hacemos que $i$ tome los valores 0, 1, …, $n$, calculamos cada $a_{i}b_{n-i}$ y sumamos todos. Esta regla de multiplicar coeficientes y reunirlos por exponente total también se llama convolución. Primero aclaramos la operación; el nombre no añade ninguna nueva.

El rigor se apoya en dos sentidos. Cada par válido tiene valores concretos de $i$ y $j$, así que aparece en algún término de la suma y no se omite. A la inversa, cada término combina solo elecciones con totales exactamente $i$ y $n - i$, así que no incluye pares de total incorrecto. Dos valores distintos de $i$ tampoco describen el mismo par, porque el total de una misma elección de $A$ está fijado: no hay repeticiones entre términos.

Aun así, debemos comprobar si cada objeto final corresponde exactamente a un par de elecciones. En el problema de monedas, las monedas finales permiten recuperar de forma única las dos cantidades: pares y objetos finales están en correspondencia uno a uno. Si ambos factores registran la misma acción o el problema prohíbe ciertos pares, no podemos multiplicarlos directamente sin ajustes. El álgebra ejecuta las reglas que escribimos, pero no corrige por nosotros qué estamos contando.

Si podemos tomar infinitas monedas, ¿por qué aún podemos calcular?

Permitamos ahora una cantidad ilimitada de monedas de 1. Podemos tomar 0, 1, 2, 3, … monedas, con una elección para cada cantidad, y el registro se convierte en $S(x) = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \cdots$. Los puntos indican que la misma regla continúa: el coeficiente de cada exponente entero no negativo es 1. No estamos adivinando un patrón a partir de unos ejemplos.

Un registro ordenado por exponentes enteros no negativos y que admite infinitos términos se llama serie formal de potencias. «Formal» nos recuerda que primero interpretamos los coeficientes, sin tomar $x$ como un valor numérico para sumar infinitos términos. Dos expresiones así son iguales cuando coinciden sus coeficientes para cada exponente. Para sumar, sumamos coeficientes correspondientes; para multiplicar, usamos la regla de emparejamiento ya explicada.

¿Exige esta multiplicación sumar infinitos números a la vez? Para un $x^{n}$ fijo, no. Como $i$ y $j$ no son negativos, $i + j = n$ solo admite $n + 1$ pares de exponentes, desde (0,n) hasta (n,0). Los términos de mayor grado no pueden reducir el exponente total para contribuir a $n$. Por eso una tabla finita permite calcular exactamente un coeficiente concreto.

Queremos abreviar $S(x)$. Observa que multiplicar por $x$ aumenta cada exponente en 1, así que $xS(x) = x + x^{2} + x^{3} + \cdots$. Al restar estos registros, el término constante es $1 - 0 = 1$ y el coeficiente de cada exponente entero positivo es $1 - 1 = 0$. Por tanto:

No estamos cancelando un impreciso «último término»: hacemos un número finito de restas para cada coeficiente concreto. Ahora admitimos coeficientes negativos en los pasos algebraicos; por ejemplo, en $1 - x$ el coeficiente de $x$ es $-1$. Esa expresión intermedia no cuenta «menos una elección». El registro final del conteo conserva coeficientes enteros no negativos.

Una expresión cuyo producto por $1 - x$ es 1 se llama inverso multiplicativo de $1 - x$ y se escribe $1/(1 - x)$. Aquí la fracción representa el inverso multiplicativo de una serie formal de potencias. Acabamos de demostrar que $S$ es esa expresión.

Si cada moneda vale un entero positivo $d$, tomar 0, 1, 2, … monedas aporta 1, $x^{d}$, $x^{2d}$, … Multiplicar por $x^{d}$ desplaza cada exponente permitido al siguiente permitido; al restar, solo queda el término constante 1. Los exponentes que no son múltiplos de $d$ mantienen coeficiente $0 - 0$. De igual modo obtenemos:

Aquí $d$ debe ser positivo. Si permitimos infinitas monedas de valor 0 y consideramos distintas sus cantidades, solo el total 0 ya tendría infinitas formas, imposibles de registrar con un coeficiente entero finito. Esta condición es, por tanto, esencial. En esta página no sustituimos $x$ por 1 para estudiar valores numéricos; la identidad formal no afirma que $1 + 1 + 1 + \cdots$ sea un número finito.

Ejemplo 1: formar un total con monedas de 1, 2 y 5

Usemos ahora tres tipos de monedas, de valores 1, 2 y 5, pudiendo tomar cualquier cantidad entera no negativa de cada tipo. No distinguimos monedas del mismo valor ni contamos el orden como una forma nueva. Queremos formar 5. La regla anterior da tres registros, y su producto combina las tres elecciones de cantidades:

¿Podemos multiplicar tres registros infinitos como paréntesis habituales, cambiando el agrupamiento y el orden? Sí. Para un exponente objetivo $n$, solo intervienen exponentes entre 0 y $n$; cada coeficiente procede de un número finito de productos ordinarios de enteros. Esta es la razón que usaremos al cancelar los tres denominadores. La lectura opcional siguiente la desarrolla.

La última fracción reúne los tres inversos multiplicativos anteriores: multiplicamos $C(x)$ por los tres denominadores y cada uno cancela su factor de serie correspondiente, dando 1. Esta escritura abrevia el registro, pero todavía no da automáticamente la respuesta numérica: debemos tomar el coeficiente de $x^{5}$.

Si tomamos $a$, $b$ y $c$ monedas de cada tipo, los términos elegidos son $x^{a}$, $x^{2b}$ y $x^{5c}$, cuyo producto es $x^{a+2b+5c}$. Basta enumerar las cantidades enteras no negativas que cumplen $a + 2b + 5c = 5$. Primero fijamos $c$: solo puede ser 0 o 1, porque cuando $c \ge 2$, las monedas de 5 ya suman 10 y superan 5.

Al construir la lista siguiente mantenemos fija la cantidad de monedas de 5 y aumentamos una a una las de 2, completando el importe restante con monedas de 1. Terminada esa serie, añadimos una moneda de 5. El azul indica 1; el dorado, 2; y el rosa, 5. Al pulsar «Añadir la siguiente elección», las monedas y la igualdad quedan visibles. Cambiar el objetivo borra la lista anterior para no mezclar conteos de problemas distintos.

¿Por qué la enumeración es completa? Para el objetivo $n$, cada solución válida tiene un $c$ único. Fijado este, también tiene un $b$ único, y $a$ solo puede valer $n - 5c - 2b$. Tanto el programa como el cálculo manual recorren únicamente $5c \le n$ y $2b \le n - 5c$ y después calculan ese $a$ no negativo. Así, cada terna generada es válida y cada terna válida se genera una sola vez. La demostración no depende de observar unas filas de figuras.

Como comprobación cercana, cambia el objetivo a 6. Cuando $c = 0$, tenemos $b = 0$, 1, 2, 3, correspondientes a $a = 6$, 4, 2, 0: son 4 formas. Cuando $c = 1$, queda 1 y solo son posibles $b = 0$ y $a = 1$: una forma más. En total, $4 + 1 = 5$. Son distintas de las cuatro elecciones para el objetivo 5; la lista muestra directamente qué objetos aparecen o desaparecen.

Esto también conecta con las ecuaciones diofánticas: contamos las soluciones enteras no negativas de $a + 2b + 5c = n$. La función generadora reúne las respuestas para distintos $n$ en un mismo registro. No elimina las restricciones «entero y no negativo», sino que las conserva mediante los exponentes permitidos en cada factor.

Ejemplo 2: ¿cuántas monedas como máximo o como mínimo?

Una provisión ilimitada no sustituye a una provisión finita. Si podemos tomar como máximo $m$ monedas de valor $d$, donde $d$ es entero positivo y $m$ entero no negativo, las cantidades permitidas van de 0 a $m$. El registro debe terminar en $x^{md}$:

Como antes, multiplicamos por $x^{d}$ y obtenemos $x^{d} + x^{2d} + \cdots + x^{(m+1)d}$. Al hacer $B - x^{d}B$, los coeficientes desde el exponente $d$ hasta $md$ son $1 - 1$; queda el término constante 1 y el término más alto $x^{(m+1)d}$ solo aparece en la expresión restada, dejando $-x^{(m+1)d}$. Los pasos son:

El último paso multiplica ambos lados por el inverso formal $1/(1 - x^{d})$ ya construido; no divide arbitrariamente por un número que podría ser cero para algún valor de $x$. Cuando $m = 0$ no hay términos intermedios que cancelar: $B = 1$, y la expresión también da $(1 - x^{d})/(1 - x^{d}) = 1$.

Por ejemplo, si solo tenemos dos monedas de 2, podemos tomar 0, 1 o 2 y el registro es $1 + x^{2} + x^{4}$. Sustituyendo $d = 2$ y $m = 2$, la fórmula da $(1 - x^{6})/(1 - x^{2})$, donde el exponente 6 procede de $(2 + 1) \times 2$. Si además permitimos cualquier cantidad de monedas de 1 y queremos formar 5, tomamos 0, 1 o 2 monedas de 2 y completamos con 5, 3 o 1 monedas de 1, respectivamente: hay 3 formas.

Si debemos tomar al menos $r$ monedas de valor $d$, esas $r$ monedas están necesariamente incluidas y aportan $rd$. Además, podemos tomar 0, 1, 2, … monedas, que aportan 0, $d$, $2d$, … Por tanto, el registro es $x^{rd}(1 + x^{d} + x^{2d} + \cdots )$. De cada elección con «al menos $r$ monedas» podemos retirar de forma única esas $r$ monedas y dejar una cantidad no negativa. Esta descomposición no omite ni repite elecciones.

Por ejemplo, para formar 5 con al menos una moneda de 2 y cualquier cantidad de monedas de 1, retiramos primero la moneda de 2 obligatoria: quedan $5 - 2 = 3$. Podemos formar los 3 restantes con tres monedas de 1 o con una de 2 y una de 1: solo dos formas. Al devolver la moneda de 2 obligatoria obtenemos los pares (cantidad de 1, cantidad de 2) $= (3, 1)$ y $(1, 2)$. El registro es $x^{2}/((1 - x)(1 - x^{2}))$; el factor inicial $x^{2}$ aumenta cada total original en 2.

Ejemplo 3: dos dados, ¿por qué no podemos olvidar el orden?

Cambiemos lo que contamos. Sobre la mesa hay un primer dado y un segundo dado, cada uno con resultados de 1 a 6. Solo contamos resultados; no suponemos dados equilibrados ni calculamos probabilidades. Obtener 1 en el primero y 6 en el segundo es distinto de obtener 6 en el primero y 1 en el segundo, porque los dados se distinguen.

Cada número de cada dado corresponde a un resultado, así que su registro es $D(x) = x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6}$. No hay término constante porque un dado no tiene resultado 0. Los dos factores tienen la misma escritura, pero el primero registra el primer dado y el segundo, el segundo; esas posiciones se conservan al multiplicar.

Si el primer dado da $i$, el segundo debe dar $7 - i$. Para $i = 1$, 2, 3, 4, 5, 6, el segundo da respectivamente 6, 5, 4, 3, 2, 1, todos permitidos. Tenemos (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1); cada par aporta $1 \times 1 = 1$, con 6 resultados en total.

Las filas de la tabla conservan el resultado del primer dado y las columnas, el del segundo. Cada casilla muestra su suma; ✓ indica que coincide con el objetivo. Arrastra el objetivo, observa qué casillas quedan seleccionadas y lee el conteo sumado término a término debajo. Por ejemplo, para 2 solo está (1,1) y para 12 solo (6,6).

Que podamos intercambiar los factores algebraicos no significa que podamos olvidar la distinción entre objetos. Cambiar los nombres de los dados hace corresponder (1,6) con (6,1): demuestra que ambas maneras de nombrarlos tienen el mismo conteo total, no que esos resultados sean uno solo. En el problema de monedas elegimos desde el principio la cantidad de cada tipo; en el de dados, el resultado de cada dado por separado. Problemas de conteo distintos requieren registros distintos.

Ejemplo 4: de una recurrencia de recubrimientos a una función generadora

Los factores anteriores procedían de objetos que podíamos elegir por separado. Consideremos ahora recubrir una fila de longitud $n$ con piezas de longitudes 1 y 2, sin solapamientos ni huecos. Todas se colocan horizontalmente; las piezas de 1 son iguales entre sí y las de 2 también, pero el orden de izquierda a derecha forma parte del recubrimiento. Por ejemplo, en una fila de longitud 3, «1, 2» y «2, 1» ocupan posiciones distintas.

Llamamos $a_{n}$ al número de recubrimientos de longitud $n$. Para longitud 0 no hay casillas que cubrir; no colocar nada cumple el requisito, así que $a_{0} = 1$. Para longitud 1 solo podemos colocar una pieza de 1, de modo que $a_{1} = 1$. Debemos escribir estos dos valores iniciales porque todos los conteos posteriores parten de ellos.

Cuando $n \ge 2$, clasificamos según la última pieza. Si mide 1, al retirarla queda un recubrimiento completo de longitud $n - 1$. A la inversa, añadir una pieza de 1 a cualquier recubrimiento de longitud $n - 1$ produce un único recubrimiento terminado en 1. Ambas operaciones se deshacen mutuamente, así que esta clase contiene exactamente $a_{n-1}$ formas.

Si la última pieza mide 2, retirarla deja un recubrimiento de longitud $n - 2$; añadir una pieza de 2 a cualquiera de esos recubrimientos lo reconstruye de forma única. Esta segunda clase contiene $a_{n-2}$ formas. La última pieza no puede medir 1 y 2 a la vez, así que las clases no se solapan; como solo hay esas dos longitudes, todo recubrimiento pertenece a una de ellas. Podemos sumarlas:

Una relación que calcula valores posteriores con los anteriores se llama relación de recurrencia. Aquí $a_{2} = a_{1} + a_{0} = 1 + 1 = 2$; $a_{3} = a_{2} + a_{1} = 2 + 1 = 3$; $a_{4} = a_{3} + a_{2} = 3 + 2 = 5$; $a_{5} = a_{4} + a_{3} = 5 + 3 = 8$. Es una recurrencia de tipo Fibonacci, pero no dependemos del nombre, sino de la clasificación completa por «última pieza» que acabamos de justificar.

Abajo, las piezas cortas azules llevan 1 y las largas doradas, 2. Mantén primero la longitud 4 y pulsa repetidamente «Siguiente recubrimiento»: verás las cinco formas $1+1+1+1$, $1+1+2$, $1+2+1$, $2+1+1$ y $2+2$. La anchura de cada pieza corresponde a la longitud que ocupa; la suma inferior relaciona la figura con la longitud total.

Desplazar una posición el mismo registro

Registramos todos los conteos en $F(x)$. Para que $a_{n}$, $a_{n-1}$ y $a_{n-2}$ aparezcan en el mismo exponente, usamos $F$, $xF$ y $x^{2}F$, respectivamente: multiplicar por $x$ transforma $a_{n-1}x^{n-1}$ en $a_{n-1}x^{n}$; multiplicar por $x^{2}$ transforma $a_{n-2}x^{n-2}$ en $a_{n-2}x^{n}$. No elegimos factores arbitrariamente: queremos alinear los tres términos de la recurrencia.

Calculamos $F - xF - x^{2}F$. Solo $F$ aporta término constante, por lo que es $a_{0} = 1$. El coeficiente de $x$ es $a_{1} - a_{0} = 1 - 1 = 0$, porque $x^{2}F$ aún no contiene $x$. Para cada $n \ge 2$, el coeficiente de $x^{n}$ es $a_{n} - a_{n-1} - a_{n-2}$, que vale 0 por la recurrencia demostrada. Tratamos los dos primeros términos por separado: no podemos aplicarles una recurrencia que solo vale para $n \ge 2$.

La fracción final sigue representando un inverso multiplicativo formal: $F$ es el registro que, multiplicado por $1 - x - x^{2}$, da 1. Lo hemos construido mediante conteos concretos de recubrimientos.

Esto muestra que una fracción breve puede conservar una recurrencia completa y sus valores iniciales. No afirmamos que ver la fracción elimine el cálculo: para hallar el coeficiente de $x^{5}$, aún podemos obtener 1, 1, 2, 3, 5, 8 con la regla demostrada y leer el 8 delante de la potencia 5. Frente a enumerar todos los recubrimientos, la recurrencia solo conserva su número; la función generadora transforma a su vez esa recurrencia en un objeto algebraico que podemos multiplicar por otros registros y cuyos exponentes podemos desplazar.

Por ejemplo, un panel decorativo consta de «un extremo fijo de longitud 2» seguido de una fila de este tipo, con longitud total 6. El extremo tiene una sola forma, así que aporta $x^{2}$ y el registro del panel es $x^{2}F(x)$. Para obtener $x^{6}$ debemos combinarlo con $x^{4}$ de $F$, cuyo coeficiente es $a_{4} = 5$: hay 5 formas. Esto corresponde directamente a las cinco formas de «retirar el extremo fijo y cubrir los 4 restantes». Hemos vuelto a comprobar el álgebra con un objeto concreto.

Inténtalo y comprueba después cada paso

Cada ejercicio siguiente puede entenderse mediante elecciones concretas y comprobarse con coeficientes. Puedes desplegar las respuestas; no necesitas memorizar una fórmula de conteo. Lo esencial es explicar en cada paso qué objetos contamos y por qué contamos cada uno exactamente una vez.

Empezamos con «hay dos formas de formar 2» y escribimos cada elección como un término. Demostramos que la suma registra alternativas sin solapamientos y la multiplicación, combinaciones que se descomponen de forma única. El exponente registra el total y el coeficiente cuenta las formas. Aunque cambien las provisiones infinitas o finitas, los dados o los recubrimientos, siempre debemos comprobar lo mismo: ¿a qué elección del problema original corresponde cada aportación al coeficiente? Solo aclarando esa correspondencia sabemos si la expresión cuenta lo que queremos.