Permutaciones y combinaciones

01¿Cambia el resultado al intercambiar dos personas?

Elige abajo un portavoz y luego a otra persona como secretario. La letra de cada tarjeta acompaña a la persona; no nombra una tarea. Cuando ambos puestos estén ocupados, pulsa Intercambiar tareas y observa cómo cambian los nombres bajo las dos etiquetas.

Que Ada hable y Ben tome notas es una asignación distinta de que Ben hable y Ada tome notas. Como las tareas son distintas, debemos recordar quién ocupa cada puesto. Una elección en la que importan las posiciones y el orden se llama permutación.

El equipo que aparece bajo los puestos no distingue entre hablar y tomar notas. Tras el intercambio sigue siendo el mismo par de personas. Una elección que solo registra qué personas se eligieron, sin distinguir el orden, se llama combinación. Primero contamos las asignaciones de tareas y luego usamos ese resultado para contar los equipos.

02¿Por qué se puede contar con una multiplicación?

Escribir cada asignación de trabajo una por una facilita pasar una por alto. Mejor mantengamos fija la persona que habla y enumeremos todas las posibles personas que toman notas. Si Ada habla, Ben, Cleo o Dan pueden tomar notas. Así que hay tres asignaciones con Ada como quien habla.

Cada fila de abajo fija a la izquierda a una persona que habla, y una línea lleva hasta cada persona que puede tomar notas a la derecha. Por eso, un camino completo significa una persona que habla y una que toma notas. Usa Siguiente paso para abrir una fila cada vez; haz clic en un camino para leer sus dos trabajos.

Hay cuatro filas y cada fila contiene tres asignaciones. Las filas no se solapan: una asignación en la que habla Ada no es también una asignación en la que habla Ben. Toda asignación posible pertenece a una de estas filas, porque quien habla tiene que ser una de las cuatro personas. Así que contamos cuatro grupos separados de tres, que es lo que cuenta $4\times3$.

La segunda elección depende de la primera: no podemos volver a usar a esa persona. Aun así, siempre quedan tres opciones, sin importar a quién hayamos elegido primero. Que ese número sea el mismo es lo que permite multiplicar aquí. Si una regla extra hiciera que cada fila dejara un número distinto de personas, sumaríamos los recuentos de cada fila en lugar de multiplicar.

03Dar un lugar a cada persona

Seguimos con las mismas cuatro personas, pero ahora las colocamos a las cuatro en una fila. Para el primer puesto hay cuatro opciones; al elegir a una persona, quedan tres para el segundo, luego dos y por último solo una. Con el mismo razonamiento de ramas de antes, salen $4\times3\times2\times1=24$ filas completas.

Cuando ordenamos a todas las personas distintas, aparece a menudo este producto que va bajando de uno en uno, así que le damos una escritura corta: $4!$, que se lee cuatro factorial, y significa $4\times3\times2\times1$. El signo de exclamación forma parte de la notación matemática; no quiere decir sumar ni repetir el número cuatro.

Abajo, $n$ indica el número de personas. Una fila de ejemplo se llena de izquierda a derecha. Bajo cada puesto, el factor registra cuántas opciones había allí, no a qué persona pusimos en ese caso. El producto cuenta todas las filas posibles; la fila que se ve es solo una de ellas.

Para cualquier número entero positivo $n$, las opciones en cada puesto son $n$, luego $n-1$, y así hasta $1$. Ese producto se llama $n!$. Cada fila completa sigue exactamente una cadena de elecciones, así que ninguna fila se cuenta dos veces ni se queda fuera.

04Llenar solo algunos puestos

Volvamos a quien habla y quien toma notas. Teníamos cuatro personas y solo dos puestos de trabajo, así que debíamos parar tras $4\times3$. Si siguiéramos multiplicando por $2\times1$, ordenaríamos también a las dos personas que no recibieron trabajo, algo que no se pidió.

Ahora sea $n$ el número de personas disponibles y $r$ el número de puestos que hay que llenar. Ambos son enteros y $0\le r\le n$. Escribimos $P(n,r)$ para el número de ordenaciones. Así, para cuatro personas y dos puestos de trabajo, $P(4,2)=4\times3=12$.

Para $r>0$, el primer puesto admite $n$ opciones y el segundo $n-1$. Antes de llenar el último de los $r$ puestos ya hemos usado $r-1$ personas, así que quedan $n-(r-1)=n-r+1$. Multiplicamos esas $r$ cantidades de opciones, con el mismo argumento de ramas iguales del árbol de los dos trabajos.

¿Cómo podemos acortar este producto con factoriales? En el ejemplo original, $4!=4\times3\times2\times1$. Los factores que queremos son $4\times3$; la cola sobrante es $2\times1=2!$. Dividir por toda esa cola la cancela y deja exactamente los dos factores que necesitamos.

Cambia $n$ o $r$ y observa paso a paso la elección de personas y la cancelación. Para que la imagen se lea bien, aquí se llenan como máximo tres puestos; el razonamiento anterior vale para todo $r$ permitido.

La misma separación funciona para $n$ y $r$ generales. Tras los $r$ factores que queremos, la cola restante va de $n-r$ a $1$: es $(n-r)!$. Como un factorial nunca es cero, podemos dividir por él y obtenemos la forma de abajo. Cuando $r=0$ no conservamos ningún factor, y el recuento es una elección vacía.

05¿Cuántas ordenaciones tiene un mismo grupo?

Ya podemos contar los grupos. Un grupo formado por Ada y Ben aparece dos veces en la lista de trabajos: Ada primero y Ben después, y Ben primero y Ada después. Ahora ya no repartimos trabajos, así que esos dos órdenes deben unirse en un solo grupo. Todo grupo de dos personas tiene exactamente esos dos órdenes, ni más ni menos.

Por eso, las 12 asignaciones de trabajo se agrupan de dos en dos y dan seis grupos. Dividimos por el número de órdenes de un mismo grupo, no por el número de personas disponibles. Aquí ese número es $2!=2\times1=2$, así que el número de grupos es $12\div2=6$.

Observa abajo cómo cada orden se une a su grupo. Las letras representan siempre a la misma persona; la flecha registra el orden y las llaves solo registran quiénes son los miembros. Haz clic en un grupo para seguir todos sus órdenes. Después prueba con tres personas por grupo: un mismo grupo de tres tiene $3\times2\times1=6$ órdenes, porque estamos colocando a sus tres miembros en tres puestos.

Aquí se muestran como máximo cinco personas y tres miembros elegidos, para que todos los órdenes sigan visibles. Si cambias cualquiera de los dos números, la agrupación empieza de nuevo.

De aquí sale también la división del caso general. Primero contamos todas las selecciones ordenadas de $r$ personas entre $n$: hay $P(n,r)$. Si fijamos los miembros de uno de los grupos, sus $r$ miembros distintos se pueden ordenar de $r!$ maneras, por el argumento del factorial. Cada selección ordenada tiene exactamente un conjunto de miembros, así que pertenece a un solo grupo; y todos los grupos tienen el mismo número de órdenes, $r!$.

Escribimos $C(n,r)$ para el número de grupos. El número de grupos multiplicado por los órdenes de cada grupo da el total de ordenaciones: $C(n,r)\times r!=P(n,r)$. Dividimos ambos lados entre $r!$ y sustituimos la fórmula de $P(n,r)$ que acabamos de deducir. Dividir primero entre $(n-r)!$ y luego entre $r!$ equivale a dividir entre el producto de ambos.

También puedes encontrarte con $\binom{n}{r}$, que en inglés se lee n choose r; es otra notación de $C(n,r)$, no un método nuevo. La pregunta importante sigue siendo: ¿cambiaría el resultado que queremos registrar si intercambiamos de lugar a las personas elegidas?

06Comprobar los extremos de la regla

Una fórmula debe concordar con el significado de la tarea. Con cuatro personas distintas, comprobamos casos que podemos contar sin ella. No elegir a nadie da un resultado vacío. Elegir a las cuatro personas da un solo grupo, aunque haya muchas filas distintas.

Estas fórmulas cuentan objetos distintos, sin repetir. Por ejemplo, un código de dos dígitos puede repetir el mismo dígito, así que el segundo puesto no pierde una opción y no se aplica aquí la regla de restar uno. Además, elegir a cinco personas distintas entre solo cuatro es imposible: da cero resultados y queda fuera del rango $0\le r\le n$ que fijamos antes.

07Decidir qué cuenta como un resultado

En cada problema, primero decide: ¿los mismos elegidos en otro orden cuentan como un resultado nuevo? Luego escribe el número de opciones de cada paso y usa la notación con factoriales. Abre la respuesta después de intentarlo y comprueba qué cuenta exactamente cada factor.

Las fórmulas vienen de dos operaciones: multiplicar el número de opciones de cada puesto y, si los puestos no importan, dividir entre las ordenaciones de un mismo grupo. Antes de elegir una fórmula, pregunta siempre qué cuenta como un resultado distinto.