Ecuaciones paramétricas

01¿Por qué no podemos escribir siempre $y$ como función de $x$?

Una función $y=f(x)$ exige que cada $x$ permitido tenga un único $y$. Por ejemplo, en $y=x^{2}$, $x=2$ corresponde a $y=4$. Invirtamos la relación y consideremos los puntos que cumplen $x=y^{2}$. Cuando $x=4$, sirven tanto $y=2$ como $y=-2$, porque $2^{2}=4$ y $(-2)^{2}$ también vale 4. Pero un mismo $y=f(x)$ no puede dar esos dos $y$ a la vez en una misma $x$. La curva no tiene ningún problema; esa descripción no puede abarcarla entera de una vez.

Para esta curva podemos elegir primero la coordenada vertical. Llamémosla $t$ y hagamos $y=t$; entonces $x=y^{2}$ pasa a ser $x=t^{2}$. Con $t=-2$ obtenemos $(4,-2)$ y con $t=2$ obtenemos (4,2). No perdemos ningún punto, porque distintos $t$ pueden dar el mismo $x$, pero distintos $y$.

El número que señala dónde estamos en la curva es el parámetro. Escribir $t$ solo le da un nombre; aquí $t$ es la coordenada vertical elegida, no el tiempo ni una tercera dirección espacial. $x=f(t)$, $y=g(t)$ significa elegir $t$, sustituir el mismo $t$ en ambas expresiones y juntar los dos resultados en un punto. $f$ y $g$ pueden tener nombres distintos porque los cálculos difieren; $t$ debe ser el mismo para saber qué $x$ emparejar con qué $y$.

Esta escritura no exige que la curva sea una única $y=f(x)$ ni que cada punto corresponda a un solo $t$. Basta dar dos reglas de coordenadas y un rango común de $t$ para describir una trayectoria. Incluye las funciones habituales: tomamos $x=t$ y $y=f(t)$. El intervalo del parámetro forma parte de la descripción: $-2\le t\le 2$ solo da el tramo dibujado de $x=y^{2}$, no su prolongación infinita.

02De una fila de la tabla a un punto de la gráfica

En la primera construcción seguimos con $x=t^{2}$ y $y=t$. Elegimos $t=-1.5$, obtenemos $x=(-1.5)\times (-1.5)=2.25$ y $y=-1.5$, así que el punto es $(2.25,-1.5)$. El recorrido en ángulo recto sale del origen hacia la derecha hasta $x=2.25$ y después hacia abajo hasta $y=-1.5$. Sirve para localizar el punto; no indica que la curva siga ese recorrido entre muestras.

Pulsa «Siguiente paso» para comprobar el cálculo, la posición horizontal y la vertical. La marca dorada sigue la fila actual y los puntos cian permanecen donde ya los dibujamos. «Dibujar punto a punto» repite los pasos y permite pausar; el deslizador y los botones de la tabla también permiten elegir dónde detenerse. Mantén primero la parábola horizontal; después explicaremos la opción del círculo.

Tras dibujar las nueve filas solo tenemos nueve puntos. Para dibujar entre ellos debemos sustituir valores intermedios de $t$ en $x=t^{2}$ y $y=t$. También podemos eliminar $t$ para comprobar la forma: $y=t$ da $t=y$; sustituirlo en $x=t^{2}$ produce $x=y^{2}$. A la inversa, cada punto de $x=y^{2}$ que satisface $-2\le y\le 2$ se obtiene tomando $t=y$. Solo esta comprobación en ambos sentidos demuestra que las ecuaciones paramétricas dan exactamente todo el tramo; un número finito de puntos no lo demuestra.

03Dibujar una circunferencia con la misma idea

El círculo tiene la misma dificultad: uno centrado en el origen y de radio 2 contiene, para $x=0$, tanto $y=2$ como $y=-2$. Usemos el ángulo para señalar la posición. Medimos desde el semieje positivo $x$ en sentido antihorario, llamamos $t$ al ángulo y lo expresamos en radianes. Un radián se mide mediante longitud de arco dividida entre radio; una vuelta completa tiene $2\pi$ radianes. En el círculo unitario, el coseno es la coordenada horizontal y el seno, la vertical. Multiplicar ambas por 2 lleva el punto al círculo de radio 2.

Comprobemos por qué el radio permanece fijo. Las distancias horizontal y vertical y el radio del círculo unitario forman un triángulo rectángulo de hipotenusa 1; Pitágoras da $\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$. Las coordenadas tienen signo, pero sus cuadrados hacen válido el paso en todos los cuadrantes. Las nuevas coordenadas cumplen $x^{2}+y^{2}=4\cos ^{2}t+4\sin ^{2}t=4$, así que la distancia al origen es $\sqrt{4}=2$. Al recorrer $t$ una vuelta completa pasamos por todas las direcciones: obtenemos todos los puntos del círculo.

Para ver el triángulo rectángulo, elige el círculo, selecciona la segunda fila y pulsa «Siguiente paso» dos veces. Los segmentos dorados horizontal y vertical son sus lados perpendiculares; el segmento al origen es el radio. La deducción de distancias siguiente explica también el origen de la relación de Pitágoras usada.

Elige ahora el círculo. Con $t=0$ el radio apunta a la derecha y da (2,0); con $\pi /2$ apunta arriba y da (0,2); con $\pi$ apunta a la izquierda y da $(-2,0)$; con $3\pi /2$ apunta abajo y da $(0,-2)$; con $2\pi$ vuelve a (2,0). A mitad de cada cuarto de vuelta, las dos distancias perpendiculares son iguales. Llamándolas $c$ en el círculo unitario, $c^{2}+c^{2}=1$, por lo que $c^{2}=1/2$ y $c=1/\sqrt{2}$; multiplicar por 2 da $\sqrt{2}$. Así se obtienen los valores de cuartos y octavos de vuelta de la tabla; los signos dependen del cuadrante.

04Si ambas coordenadas cambian con $t$, ¿cómo calculamos la pendiente?

La pendiente de una recta es cambio vertical dividido entre cambio horizontal: $\Delta y/\Delta x$. $\Delta$ indica variación, no multiplicación por otro número. En una curva tomamos dos puntos distintos y cercanos, $P$ y $Q$; la recta que los une es la secante. Si al acercarse $Q$ a $P$ por la curva la pendiente tiende a un mismo número finito, ese número es la derivada $dy/dx$, y la recta que pasa por $P$ con esa pendiente es la tangente. Buscamos la variación de $y$ respecto de $x$; calcular solo $dy/dt$ no basta.

Volvamos a $x=t^{2}$ y $y=t$. Fija $P$ en el parámetro $t$ y coloca $Q$ en $t+h$; $h$ es una variación no nula del mismo parámetro. Entonces $P=(t^{2},t)$ y $Q=((t+h)^{2},t+h)$. Desarrollamos $(t+h)(t+h)=t^{2}+2th+h^{2}$ y restamos las coordenadas de $P$ a las de $Q$: obtenemos $\Delta x=2th+h^{2}$ y $\Delta y=h$. Si $\Delta x$ no es cero, la pendiente secante es $h/(2th+h^{2})=1/(2t+h)$; cancelando el $h$ no nulo queda $1/(2t+h)$.

Por ejemplo, fija $t$ en 1 y elige $h=0.5$. Obtenemos $P=(1,1)$ y $Q=(2.25,1.5)$, por tanto $\Delta x=1.25$ y $\Delta y=0.5$, con pendiente secante $0.5/1.25=0.4$. Al cambiar a $h=0.1$, la misma fórmula da $1/2.1\approx 0.47619$. Cuando $h$ tiende a 0, el denominador tiende a 2 y la pendiente tiende a $1/2$. Para $h$ finito, la lectura sigue siendo una pendiente secante, no la derivada exacta; el límite justifica la pendiente de la tangente discontinua.

Apliquemos el mismo proceso a reglas de coordenadas derivables generales $x=f(t)$ y $y=g(t)$. Ambos cambios usan el mismo $h$ no nulo; dividir numerador y denominador de $\Delta y/\Delta x$ entre ese $h$ conserva el cociente. Cuando $h$ tiende a 0, $\Delta y/h$ tiende a $g'(t)$, es decir, $dy/dt$; $\Delta x/h$ tiende a $f'(t)$, es decir, $dx/dt$. Solo cuando el límite del denominador no es cero podemos escribir directamente el límite como cociente de límites: $dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)$.

La notación parece cancelar $dt$, pero se apoya en el cociente de cambios recién deducido. Si $x'=0$ y $y'\ne 0$, el cambio horizontal respecto del vertical tiende a cero y aparece una tangente vertical, sin $dy/dx$ finito. En este ejemplo, para $t=0$ tenemos $\Delta x=h^{2}$ y $\Delta y=h$; el cambio horizontal dividido entre el vertical es $h$ y tiende a cero, así que la tangente es $x=0$. Si ambas derivadas son cero, $0/0$ por sí solo no permite concluir nada: debemos volver a examinar la curva.

05La integral sigue necesitando una anchura horizontal

Intentemos sumar franjas estrechas entre la curva y el eje $x$. El área de un rectángulo es altura por anchura; con altura $y$ y cambio horizontal $\Delta x$, su contribución aproximada es $y\Delta x$. Al estrechar las franjas, el límite de las sumas es la integral $\int y\,dx$. $y$ negativo da altura negativa y $\Delta x$ negativo registra el avance hacia $x$ menores. Solo cuando $y$ es no negativo y recorremos una gráfica una vez de izquierda a derecha, esta integral con signo coincide directamente con el área geométrica.

Con un parámetro podríamos intentar escribir cada franja como $y\Delta t$, pero usaríamos la anchura equivocada: aumentar $t$ en 0,1 no implica que $x$ aumente 0,1. Como $x=f(t)$ y su derivada es el límite de $\Delta x/\Delta t$, en un tramo muy corto $\Delta x\approx f'(t)\Delta t$; la contribución es aproximadamente $g(t)f'(t)\Delta t$. Sumamos desde $t=a$ hasta $t=b$ y tomamos el límite. Si $x$ es continuamente derivable en este intervalo finito y $y$ es continua, obtenemos la forma paramétrica siguiente. $t=a$ y $t=b$ a la izquierda indican el inicio y el final del recorrido; $dx$ sigue expresando cambio horizontal.

Si cada franja usa una aproximación, ¿por qué el límite es exacto? Al estrecharlas, la aproximación $\Delta x\approx x'\Delta t$ mejora simultáneamente en todas, y el error total tiende a cero, así que ambas sumas tienen el mismo límite. $dx/dt$ es una conversión de anchura justificada por este límite, no un simple cambio de la letra $x$ por $t$.

Usamos $x=t^{2}$, $y=t^{3}$ y $0\le t\le 2$ como ejemplo calculable por completo. Ambas coordenadas aumentan desde (0,0) hasta (4,8); la siguiente sección deducirá la integral exacta. Aquí puedes comprobar el primer rectángulo y observar qué cambia al añadir más. Con cuatro rectángulos, $\Delta t=2/4=0.5$; los valores de $x$ en los extremos del primer tramo son $0^{2}=0$ y $0.5^{2}=0.25$. Su punto medio paramétrico es $t=0.25$, que corresponde a $y=0.25^{3}=1/64$, así que aporta $(1/64)\times (1/4)=1/256$. Debemos multiplicar por la anchura de $x$, 0,25, no por la anchura paramétrica, 0,5.

Invertir el recorrido cambia el signo de cada $\Delta x$, pero conserva la altura correspondiente: la integral cambia de signo. La región geométrica no cambia y su área sigue siendo positiva. Si $x$ invierte el sentido durante el recorrido, debemos dividir en esos parámetros y comprobar los signos. Solo podemos sumar valores absolutos apropiados cuando los tramos corresponden a la región buscada sin repeticiones indebidas; recorrer un tramo de ida y vuelta puede contarlo dos veces. En particular, $\int y\,dx$ no es una fórmula general de longitud de curva ni el área de cualquier región cerrada sin comprobar orientación y límites.

06Completar todos los cálculos de dos ejemplos

Antes de abrir la respuesta, prueba un ejemplo cercano: $x=3t$, $y=t^{2}$ y $0\le t\le 1$. Halla el punto y la pendiente tangente cuando $t=1$ y después el área entre este tramo y el eje $x$. ¿Qué factor convierte la longitud del pequeño tramo paramétrico en anchura horizontal?