Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: recuperar la función a partir de la pendiente

Una función asigna una salida a cada entrada permitida. Usamos x para la entrada y $y(x)$ para la salida. Por ejemplo, en $y(x)=x^2$ la entrada 2 produce 4. La derivada describe otra cosa: con qué rapidez cambia la salida cerca de la entrada actual. Antes de buscar la función a la inversa, recuperemos ese significado.

Fija una entrada $x$ y cámbiala a $x+h$, donde $h$ es un cambio de entrada no nulo. La salida pasa de $x^2$ a $(x+h)^2$. Desarrollamos el cuadrado y restamos la salida anterior para hallar su variación; después dividimos entre el cambio de entrada:

Este cociente indica cuánto cambia en promedio la salida por unidad de cambio de entrada en el intervalo. Cuando $h$ tiende a cero por ambos lados, $2x+h$ tiende a $2x$. La tasa local dada por ese límite se llama derivada, escrita $y'(x)=2x$ o $dy/dx=2x$. La prima y $d/dx$ indican derivar respecto de $x$. No hemos sustituido $h=0$ en la fracción.

Invertir la pregunta

Ahora solo nos dan $y'=2x$. Buscamos una función derivable cuya derivada sea $2x$ en cada entrada del intervalo estudiado. Una ecuación que impone condiciones a una función desconocida mediante sus derivadas se llama ecuación diferencial. Es de primer orden porque la derivada más alta es la primera, y ordinaria porque solo tiene una entrada independiente, $x$, a diferencia del caso de varias entradas independientes.

El cálculo anterior ya da una solución: $y=x^2$. Añadamos una constante $C$, un número que no cambia al variar $x$. La diferencia entre las nuevas salidas es $[(x+h)^2+C]-[x^2+C]$; los dos $C$ se cancelan y la derivada sigue siendo $2x$. Así, cada $y=x^2+C$ satisface la ecuación. La constante cambia la altura, pero no esta tasa de variación.

¿Podría faltar otra clase de soluciones? A una solución cualquiera le restamos $x^2$ y llamamos $D(x)=y(x)-x^2$ a la diferencia. Su cociente incremental es la diferencia de los dos cocientes; tomando límites obtenemos $D'=2x-2x=0$. Una función derivable cuya derivada es cero en todo un intervalo es constante en él. Explicaremos por qué esto descarta otras soluciones, más allá de comprobar unos ejemplos dibujados.

Todas las soluciones forman entonces la familia $y=x^2+C$. Para elegir una necesitamos un valor de la función. Por ejemplo, $y(0)=3$ exige salida 3 para entrada 0. Sustituimos: $3=0^2+C$, por lo que $C=3$ y la respuesta es $y=x^2+3$. Comprobamos ambas exigencias: derivada $2x$ y valor 3 en 0. El valor añadido se llama condición inicial: fija una altura, no otra derivada.

En la figura, la posición horizontal es la entrada x y la altura es la salida y. La recta entre dos puntos de la gráfica tiene pendiente igual a cambio de altura dividido entre cambio horizontal: el cociente que calculamos. Sumar C a todas las alturas desplaza verticalmente la curva sin alterar ese cociente. Compara las curvas y activa la condición inicial para ver cuál pasa por el punto exigido.

La siguiente ecuación contiene tanto la derivada como el valor de la función desconocida. Antes de usar nuevas reglas de cálculo, las construiremos a partir de cambios que podemos escribir. Distingue siempre esto: la derivada da la tasa local de variación, mientras que buscar una primitiva invierte la derivación para recuperar una función anterior.

1 · Deshacer una derivación

Si $A'(x) = a(x)$, llamamos a $A$ una primitiva de $a$ y escribimos $\int a(x)\,dx = A(x) + C$. Por ejemplo, $(x^{2})' = 2x$, así que $\int 2x\,dx = x^{2} + C$. La constante $C$ aparece porque añadir una constante no cambia la pendiente. Usaremos la afirmación inversa: si dos funciones tienen la misma derivada en cada punto de un intervalo, solo difieren en una constante en ese intervalo.

El siguiente objetivo es $y'=2xy$. A diferencia de $2x$, el lado derecho también contiene la incógnita $y$. Dividir entre $y$ donde no es cero da $y'/y=2x$. Necesitamos reconocer la derivada de una expresión construida con la propia $y$. Usar la salida de una función como entrada de otra se llama composición. Por ejemplo, $y(x)=3x+1$ y $H(u)=u^2$ dan $H(y(x))=(3x+1)^2$: la salida $3x+1$ entra en la regla de elevar al cuadrado como nueva entrada.

En la notación de primitivas, el signo integral indica que buscamos a la inversa una función antes de derivarla, y $dx$ señala que usamos la variable de entrada $x$. Por ejemplo, la derivada de $x^2$ respecto de $x$ es $2x$; a la inversa obtenemos $x^2$ más una constante cualquiera. Si renombramos la entrada como $u$, escribimos $du$.

2 · Regla de la cadena

Si aplicamos $H$ a $y(x)$, al variar $x$, $H(y(x))$ cambia únicamente porque cambia $y$. Su pendiente es la pendiente de $H$ en el $y$ actual, multiplicada por la pendiente de $y$:

Compruébalo con un ejemplo que podemos desarrollar: toma $H(u) = u^{2}$ y $y = 3x + 1$. Al expandir obtenemos $(3x + 1)^{2} = 9x^{2} + 6x + 1$, cuya derivada es $18x + 6$; la regla de la cadena da $2(3x + 1) \times 3 = 18x + 6$, el mismo resultado. El factor $y'(x)$, aquí $3$, será la parte esencial después.

3 · Construir el logaritmo y buscar su operación inversa

Para obtener $y'/y$, la regla de la cadena sugiere buscar una función $H$ cuya derivada en $u$ sea $1/u$. Para $u$ positivo podemos construirla con área acumulada con signo: desde 1 registramos el área bajo la curva positiva $1/u$ hasta $z$; si $z<1$, tomamos el opuesto del área desde $z$ hasta 1, para que retroceder invierta también el cambio. Llamamos $L(z)$ a esta función y en el inicio tenemos $L(1)=0$.

Mover el extremo de $z$ a $z+\delta$ añade una franja estrecha. Dividimos su área con signo entre la anchura con signo $\delta$: el cociente queda entre las alturas mínima y máxima de $1/u$ en la franja, es decir, entre $1/z$ y $1/(z+\delta)$. Cuando $\delta\to0$, ambas tienden a $1/z$, por lo que $L'(z)=1/z$. Esta función de área se llama logaritmo natural y se escribe $\ln z$. No es una regla adivinada para resolver la ecuación: el cálculo de la franja explica de dónde sale la derivada.

Ahora debemos poder deshacer el logaritmo. Al mover el extremo a la derecha añadimos área positiva, así que el valor crece estrictamente con $z$. Fija un positivo $b$. Por la regla de la cadena, derivar $a$ da $[\ln(ab)]\prime=1/a$, igual que la derivada de $\ln a$. Su diferencia no cambia con $a$; tomando $a=1$, esa diferencia es $\ln b$. Por tanto, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.

Repitiendo esta regla obtenemos $\ln(2^n)=n\ln2$. Al tomar $a$ y $1/a$ tenemos $\ln a+\ln(1/a)=\ln1=0$, así que $\ln(2^{-n})=-n\ln2$. El área entre 1 y 2 es positiva, por lo que $\ln2>0$. Al aumentar el entero positivo $n$, los valores anteriores se extienden sin límite hacia positivo y negativo. Como el logaritmo es continuo y estrictamente creciente, cada salida real $v$ corresponde exactamente a una entrada positiva. Llamamos $E(v)$ a esa entrada, definida por $\ln(E(v))=v$.

La regla de suma de logaritmos da $\ln(E(u)E(v))=u+v$, por tanto $E(u+v)=E(u)E(v)$ y también $E(0)=1$. Nombramos $e$ al número $E(1)$; la multiplicación repetida da $E(n)=e^n$ en los enteros. Por eso escribimos $E(v)=e^v$ y la llamamos función exponencial. Tenemos entonces $e^{\ln z}=z$ ($z>0$) y $e^{u+v}=e^ue^v$.

Para derivarla, escribe $z=E(v)$ y cambia $v$ en una cantidad no nula $\Delta v$. El cociente incremental del logaritmo $\Delta v/\Delta z$ tiende a $1/z$; al invertirlo obtenemos $\Delta z/\Delta v\to z$. Por tanto, $(e^v)'=e^v$. Si dentro colocamos una función $P(x)$, la regla de la cadena da la expresión siguiente.

Por último, las soluciones posteriores pueden ser negativas. Si $z<0$, el valor absoluto $|z|=-z>0$ permite tomar el logaritmo de $-z$. La regla de la cadena da $(\ln(-z))\prime=(1/(-z))(-1)=1/z$. Así, para todos los $z\ne0$ se cumple $(\ln|z|)\prime=1/z$. El cero sigue excluido: no podemos dividir entre cero y el logaritmo tampoco está definido allí.

Resolvamos ahora exactamente $y' = 2xy$ con condición inicial $y(0) = 3$. La idea es reordenar la ecuación para que cada lado sea la derivada de una función conocida y aplicar la herramienta 1. Vamos paso a paso.

Paso 1 · Buscar primero soluciones constantes

Vamos a dividir entre $y$ y no podemos dividir entre cero. Preguntemos primero si $y = 0$ es solución. La función constante $y = 0$ tiene pendiente $0$ y la regla da $2x \times 0 = 0$. Ambos lados coinciden, así que $y = 0$ es una solución. La anotamos ahora porque la división siguiente la excluiría sin avisar.

Paso 2 · Dividir entre $y$ donde $y$ no sea cero

Paso 3 · Reconocer una derivada en el lado izquierdo

Toma $H(u)=\ln|u|$, cuya derivada para $u\ne0$ es $H'(u)=1/u$. Al introducir $y(x)$, la regla de la cadena dice que la derivada de $\ln|y(x)|$ es $(1/y(x))y'(x)$, exactamente el lado izquierdo. El lado derecho $2x$ es la derivada de $x^2$. Por tanto, la ecuación afirma que dos funciones tienen la misma derivada:

Paso 4 · Deshacer la derivación

Según la herramienta 1, dos funciones con igual derivada difieren en una constante, que llamamos $C_1$:

Paso 5 · Deshacer el logaritmo

Aplicamos la exponencial a ambos lados y usamos $e^{u + v} = e^{u}e^{v}$:

Paso 6 · Quitar el valor absoluto y recuperar $y = 0$

$y$ es $+e^{C_1}e^{x^{2}}$ o $-e^{C_1}e^{x^{2}}$. No puede pasar de uno a otro: una función continua tendría que atravesar $0$, y estamos trabajando donde $y$ no es cero. Por tanto, $y = Ce^{x^{2}}$, donde $C$ representa $\pm e^{C_1}$ y puede ser cualquier número salvo $0$. Admitir también $C = 0$ recupera la solución del paso 1. Reunimos las soluciones como

Aquí $C$ puede ser cualquier número real, incluido cero.

Paso 7 · Usar la condición inicial

Sustituimos $x = 0$: $y(0) = Ce^{0} = C$. Como exigimos $y(0) = 3$, obtenemos $C = 3$ y $y = 3e^{x^{2}}$.

Paso 8 · Comprobar

Derivamos con la herramienta 3: $y' = 3e^{x^{2}} \times 2x = 2x \times (3e^{x^{2}}) = 2xy$, así que se cumple la regla; $y(0) = 3e^{0} = 3$, así que también se cumple el valor inicial. Necesitamos ambas comprobaciones: la regla de pendiente y el punto inicial.

A menudo verás los pasos 2 a 4 abreviados como «$\dfrac{dy}{y} = 2x\,dx$; integramos ambos lados, $\ln|y| = x^{2} + C_1$». Es un resumen de lo que hicimos, no una regla nueva. Ambos lados se integran respecto de $x$; poder escribir el izquierdo en función de $y$ depende de la regla de la cadena. Si la abreviatura parece misteriosa, vuelve al paso 3.

Una ecuación de forma $y'=a(x)g(y)$ se llama de variables separables porque su lado derecho es el producto de una función de $x$ y una de $y$. En un intervalo donde $g(y(x))$ nunca es cero y los integrandos son continuos, dividir da $y'/g(y)=a(x)$. Elegimos primitivas $G'=1/g$ y $A'=a$; la regla de la cadena da $G(y(x))=A(x)+C$. Esto ya describe las soluciones; si podemos despejar $y$, lo hacemos, y después aplicamos la condición inicial y comprobamos. Los valores constantes que hacen $g(y)=0$ deben comprobarse por separado en la ecuación original.

Considera $y' + 2y = 4$. Su regla de pendiente es $y' = 4 - 2y$: por debajo de $2$ la pendiente es positiva; por encima de $2$, negativa; en $y = 2$ la gráfica es horizontal. Podríamos separar variables de nuevo, pero aprenderemos otro método que sirve incluso cuando no es posible: una ecuación de forma $y' + p(x)\,y = q(x)$ se llama lineal de primer orden porque $y$ y $y'$ aparecen solo a la primera potencia.

Queremos convertir el lado izquierdo en una derivada que podamos deshacer; un producto podría ayudar. Primero deducimos su derivada. Escribe $\Delta h=h(x+\delta)-h(x)$ y $\Delta y=y(x+\delta)-y(x)$. Desarrollar el producto nuevo y restar el anterior da $(h+\Delta h)(y+\Delta y)-hy=h\Delta y+y\Delta h+\Delta h\Delta y$. Divide entre el $\delta$ no nulo y haz tender $\delta$ a cero. Los primeros términos tienden a $hy'$ y $h'y$; el último es $\Delta h(\Delta y/\delta)$ y tiende a cero porque $\Delta h\to0$ y $\Delta y/\delta\to y'$. Por tanto, $(hy)'=hy'+h'y$. Nuestra ecuación $y'+2y=4$ también contiene una derivada y un valor de función. ¿Podemos hallar un factor que haga del lado izquierdo exactamente la derivada de ese producto?

Multiplica toda la ecuación por $h$: $hy' + 2hy = 4h$. Para que el lado izquierdo sea $(hy)' = hy' + h'y$, necesitamos $h' = 2h$. $h = e^{2x}$ cumple justamente esto, pues la herramienta 3 da $(e^{2x})' = e^{2x} \times 2$. Nunca es cero, así que multiplicar no pierde soluciones. Hagámoslo paso a paso:

El tercer paso deshace la derivación: la derivada de $2e^{2x}$ es $4e^{2x}$, por lo que ambos lados difieren en una constante $C$. En el último dividimos entre $e^{2x}$. De $y(0) = 1$ obtenemos $1 = 2 + C$, por tanto $C = -1$ y $y = 2 - e^{-2x}$. Comprobamos: $y' = 2e^{-2x}$ y $y' + 2y = 2e^{-2x} + 4 - 2e^{-2x} = 4$. Cuando $C = 0$ tenemos la solución horizontal $y = 2$. En el modelo, la izquierda muestra $y$ y la derecha el producto $Y = e^{2x}y$. Para cualquier altura inicial, en un mismo $x$ todas las curvas de $Y$ tienen pendiente $4e^{2x}$; solo difieren en una constante, como decía el tercer paso.

Considera ahora $y'+p(x)y=q(x)$, con $p(x)$ y $q(x)$ funciones continuas conocidas en el intervalo estudiado. Para ajustarnos a la regla del producto necesitamos $h'=ph$. Elige una primitiva $P'=p$ y define $h=e^{P(x)}$; la regla de la cadena da $h'=e^P P'=ph$, justo lo necesario, y $h$ es siempre positivo. Este multiplicador se llama factor integrante. Al multiplicar toda la ecuación obtenemos $(e^Py)'=e^Pq$; deshacemos la derivación y dividimos entre el $e^P$ no nulo:

Volvamos a $y\prime=2xy$ para comprobar que no omitimos soluciones que sean cero en un tramo y no nulas en otro. Derivando el producto $e^{-x^2}y$ obtenemos $e^{-x^2}(y\prime-2xy)=0$; el último paso usa la ecuación original. Ese producto es una misma constante en todo el intervalo, incluidos posibles ceros, de modo que todas las soluciones son realmente $y=Ce^{x^2}$. La regla del producto permite esta comprobación incluso donde y es cero.

Resuelve $y' + \dfrac{y}{x} = x$, $y(1) = 1$. Como $1/x$ no está definido en $0$ y el punto inicial tiene $x = 1$, trabajamos solo en $x > 0$. Aquí $p = 1/x$, así que $P = \ln x$ y el factor integrante es $e^{\ln x} = x$. Multiplicar por $x$ da $xy' + y = x^{2}$; por la regla del producto, el lado izquierdo es $(xy)'$. Deshacemos la derivación usando $(x^{3}/3)' = x^{2}$ y dividimos entre $x$:

En $x = 1$, $1 = \tfrac{1}{3} + C$, de modo que $C = \tfrac{2}{3}$ y $y = \dfrac{x^{2}}{3} + \dfrac{2}{3x}$. Comprobación: $y' = \dfrac{2x}{3} - \dfrac{2}{3x^{2}}$ y $\dfrac{y}{x} = \dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3x^{2}}$; al sumar se cancelan las fracciones que contienen $x^{2}$ y queda $\dfrac{2x}{3} + \dfrac{x}{3} = x$. En $x = 2$, el valor de la solución es $\tfrac{4}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{3}$.

Pruébalo

Primer ejercicio: resuelve $y' = xy$, $y(0) = -2$. Segundo: resuelve $y' + y = 3$, $y(0) = 5$. Comprueba la ecuación y el valor inicial en ambos antes de abrir la respuesta.

En los métodos exactos reordenamos la ecuación como derivada de una expresión reconocible y deshacemos la derivación. La regla de la cadena explica la separación de variables y la del producto, el factor integrante. Volveremos ahora a la solución obtenida para observar su pendiente local punto a punto y construir una trayectoria aproximada directamente a partir de esas pendientes.

Ya resolvimos y comprobamos $y'=2xy$. Volvamos a la misma ecuación con otra pregunta: ¿cómo fija la dirección de la solución en un punto? Interpretar esta información local no requiere inventar otro método de resolución.

Léela como una regla de pendientes: en cualquier punto $(x, y)$ de la gráfica buscada, la pendiente debe ser $2$ por $x$ por $y$. Aunque no conozcamos la gráfica, podemos aplicar la regla: en $(0.5, 1)$ la pendiente debe ser $2 \times 0.5 \times 1 = 1$; en $(1, 2)$, $2 \times 1 \times 2 = 4$; y en cualquier punto de la recta $x = 0$ debe ser $0$. Una ecuación que relaciona así una función desconocida y su derivada se llama ecuación diferencial. Esta solo contiene la primera derivada y es de primer orden.

Mueve el punto $P$ en el modelo y observa su segmento inclinado. Activa después las pendientes de otros puntos: el conjunto de segmentos se llama campo de pendientes. Una solución es una curva tangente al segmento local en cada punto por el que pasa.

Ya obtuvimos $y=Ce^{x^2}$. Elegir el punto $(x_0,y_0)$ y sustituir da $y_0=Ce^{x_0^2}$. La exponencial es positiva, así que podemos dividir y obtener $C=y_0e^{-x_0^2}$. La solución por ese punto es entonces $y(x)=y_0e^{x^2-x_0^2}$. Por eso el modelo puede dibujar toda la curva al elegir un punto: usa la solución deducida, no adivina una curva a partir de trece puntos.

Hay muchas curvas compatibles con este campo, una por cada punto inicial. Para elegir una debemos dar un valor inicial, como $y(0.5) = 1$: la curva debe pasar por $(0.5, 1)$. Se llama condición inicial y da la altura en un $x$ concreto, no otra pendiente.

Sabemos que la solución exacta de $y'=2xy$ por $(0,1)$ es $y=e^{x^2}$. La conservamos en la figura para comparar y probamos una construcción que solo usa la regla de pendientes. En $(0,1)$ la pendiente es $2\times0\times1=0$; al avanzar horizontalmente $h=0.2$ por la tangente, la altura sigue siendo 1. En el nuevo punto aproximado $(0.2,1)$, la regla da pendiente $2\times0.2\times1=0.4$; avanzar otros 0,2 aumenta la altura $0.4\times0.2=0.08$ y da 1,08. En cada paso sustituimos la pendiente variable del intervalo por la de su inicio:

Avanza un paso cada vez y compara el punto aproximado con la altura exacta para la misma entrada. Es el método de Euler, un método numérico básico. Para este ejemplo y estos pasos positivos, reducir el paso acerca la aproximación a la solución exacta; no es una garantía para cualquier ecuación o paso. Existen métodos de mayor precisión. Aquí queremos entender qué aproximación hace exactamente cada paso de Euler.