Tenemos 12 fichas rojas y 18 fichas azules y queremos preparar bolsas de regalo iguales: cada bolsa debe contener la misma cantidad de fichas rojas y la misma cantidad de fichas azules. No podemos cortar las fichas ni dejar ninguna fuera. ¿Cuántas bolsas podemos preparar?
Solo necesitas saber multiplicar y dividir números enteros. Explicaremos los divisores, los múltiplos y los números primos cuando los usemos. Aquí estudiamos los enteros positivos 1, 2, 3, etc.; las entradas no incluyen el cero.
Repasar la divisibilidad y los restosPrueba con las 5 bolsas de la figura. Si ponemos 2 fichas rojas en cada una, usamos y quedan . Si ponemos 3 fichas azules en cada una, usamos y quedan . Aunque las bolsas contienen las mismas cantidades, todavía quedan fichas fuera, así que esta opción no sirve.
Cambia el número de bolsas. Cada círculo rojo representa una ficha roja y cada cuadrado azul, una ficha azul; cada recuadro representa una bolsa. Además de comprobar que las bolsas sean iguales, observa la zona separada donde se muestra lo que sobra. También puedes cambiar la cantidad inicial de fichas.
Cambia a 6 bolsas: cada una contiene fichas rojas y fichas azules, sin que sobre ninguna. Cuando un entero positivo divide exactamente a otro número, es decir, no deja resto, decimos que es un divisor de ese número. Como 6 divide tanto a 12 como a 18, también es un divisor común de ambos.
En cada bolsa: 2 rojas y 3 azules
En esta opción sobran fichas. Quedan fuera 2 fichas rojas y 3 fichas azules. Si las añadimos solo a algunas bolsas, las cantidades dejarán de ser iguales.
¿Podemos preparar más bolsas iguales? Podemos comprobar todas las cantidades posibles de bolsas. Cada bolsa debe contener al menos una ficha roja y una azul, por lo que el número de bolsas no puede superar el total del color menos abundante. Los números destacados abajo dividen exactamente ambos totales actuales. Pulsa uno para comprobarlo en las bolsas.
Los números con borde destacado dividen ambos totales; el seleccionado tiene un fondo de color.
Divisores comunes: 1, 2, 3, 6
El mayor es 6, así que podemos preparar como máximo 6 bolsas de regalo iguales. Este número se llama máximo común divisor, abreviado GCD en inglés. registra los dos números y su máximo común divisor.
Cambiemos ahora de problema. El autobús A sale cada 4 minutos y el B cada 6 minutos. Acaban de salir juntos; llamamos cero a ese instante. A sale en los minutos 0, 4, 8, 12, …, y B en los minutos 0, 6, 12, … ¿Cuándo será su próxima salida simultánea?
Las dos filas usan la misma escala de tiempo. Los círculos indican las salidas de A y los rombos, las de B. Puedes arrastrar el reloj o avanzar paso a paso. Una línea vertical dorada conecta las salidas simultáneas. El instante cero es solo el comienzo, no la próxima coincidencia que buscamos.
En el instante cero, los dos autobuses acaban de salir juntos. Buscamos una coincidencia posterior.
Con los intervalos actuales, la próxima salida simultánea será dentro de 12 minutos: . Se escribe . La figura llega hasta la segunda coincidencia positiva, en el minuto 24.
Los múltiplos positivos de 4 se obtienen multiplicando 4 por los enteros positivos 1, 2, 3, etc.: 4, 8, 12, … Una salida simultánea debe ocurrir en un múltiplo de los dos intervalos, es decir, en un múltiplo común. Buscamos el menor positivo, llamado mínimo común múltiplo, abreviado LCM en inglés. El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12.
Recuerda las bolsas: un divisor común divide ambos totales. Aquí, un múltiplo común contiene un número entero de intervalos de ambos tipos. El sentido del problema ha cambiado: los divisores de 12 no pueden superar 12, mientras que sus múltiplos positivos no pueden ser menores que 12.
Podemos comprobar uno a uno los divisores de 12 y 18, pero con números grandes eso exige muchas comprobaciones. Necesitamos reducir los números sin cambiar sus divisores comunes. Considera dos tiras de longitudes 48 y 18; aquí la longitud solo cuenta casillas iguales, sin introducir una nueva unidad física.
En la tira de 48 casillas caben dos tiras de 18. Ocupan casillas y quedan . Ese número restante es el resto. ¿Por qué podemos sustituir 48 y 18 por 18 y 12? Debemos comprobar los dos sentidos; de lo contrario, podríamos perder divisores o añadir números que no lo eran.
Supongamos que una longitud divide exactamente 48 y 18. Entonces tanto la tira de 48 casillas como cada tramo de 18 pueden cortarse en piezas de esa longitud. Retirar dos tramos completos de 18 solo retira piezas completas, así que las 12 casillas restantes también constan de piezas completas. Conservamos todos los divisores comunes originales.
A la inversa, supongamos que una longitud divide exactamente 18 y 12. Al unir dos tramos de 18 y uno de 12 obtenemos . Cada parte consta de piezas completas, así que esa longitud también divide 48. Tampoco hemos añadido nuevos divisores comunes. Los dos pares tienen exactamente los mismos divisores comunes y, por supuesto, el mismo máximo.
Esto vale para cualquier división con resto: retiramos del número mayor tantas copias completas del menor como sea posible y conservamos el menor y el resto. Sus divisores comunes no cambian; después repetimos con el nuevo par. Si el resto no es cero, es menor que el divisor anterior. Los enteros positivos no pueden disminuir indefinidamente, así que el proceso termina.
Pulsa Siguiente paso para trabajar con una sola tira cada vez. Cada bloque azul es una copia del divisor actual y la parte dorada es el resto. Las divisiones completadas quedan bajo la figura. Si un bloque es demasiado pequeño para mostrar su etiqueta, puedes comprobar su cantidad en la expresión de abajo.
La tira aún no se ha cortado. Pulsa Siguiente paso para retirar varias copias completas de la tira más corta y comprobar cuánto queda.
Este método de divisiones sucesivas se llama algoritmo de Euclides. Un algoritmo es una serie de pasos que podemos ejecutar en orden. Lo que conviene recordar aquí es que los números disminuyen, los divisores comunes no cambian y cada sustitución tiene una razón.
Ya sabemos hallar el máximo común divisor con cierta rapidez. Para entender juntos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, podemos examinar las multiplicaciones que forman un número. Por ejemplo, y . Si sustituimos 4 por , obtenemos . Cambia la escritura, pero el producto no cambia.
¿Podemos descomponer 2 en dos enteros mayores que 1 cuyo producto sea 2? No, porque sus únicos divisores positivos son 1 y 2. Un entero mayor que 1 cuyos únicos divisores positivos son 1 y él mismo se llama número primo. 3, 5 y 7 también son primos. Un número como 4, que aún se puede descomponer como , se llama número compuesto.
Cada bifurcación sustituye un número por dos factores cuyo producto es ese número. La fila inferior conserva todos los factores que estamos usando. Elige un número y su primera descomposición, y después despliega las ramas paso a paso. Los extremos rodeados por un círculo destacado son primos; los compuestos aún pueden descomponerse.
El producto sigue siendo 36. Despliega una bifurcación para sustituir un extremo compuesto por sus dos factores. No multiplicamos por un número adicional sin más: los factores nuevos sustituyen al número original.
¿Por qué termina la descomposición? Por ejemplo, en , los factores 4 y 9 son enteros positivos menores que 36 y mayores que 1. Al bajar por cualquier rama, los números disminuyen, así que no podemos continuar para siempre. Los números finales deben ser primos; si fueran compuestos, podríamos descomponerlos más. Por tanto, todo entero mayor que 1 puede escribirse como producto de primos.
Para abreviar una multiplicación repetida, podemos escribir como . El 3 de arriba a la derecha cuenta tres factores 2; no significa . Las figuras siguientes conservarán cada factor aunque la expresión use esta abreviatura.
Podemos empezar la descomposición de 36 con o con ; ambos caminos terminan con dos 2 y dos 3. Sin embargo, dibujar unos ejemplos no demuestra que cualquier descomposición dé los mismos factores primos. Como usaremos estas listas para hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, primero aclaremos la razón.
¿Recuerdas el algoritmo de Euclides? Tiene otra utilidad: el máximo común divisor se puede escribir como suma o diferencia de múltiplos enteros de los dos números originales. Esos múltiplos pueden ser negativos; por ejemplo, significa restar una copia de 5. A continuación reconstruimos el resto 1 obtenido con 5 y 3 a partir de esos dos números.
Despliega una línea cada vez; las anteriores permanecerán visibles. Cada sustitución usa una igualdad ya obtenida, sin adivinar números nuevos. Después del ejemplo numérico explicaremos por qué el mismo razonamiento vale en general.
Elige ahora un número primo, que llamaremos , y dos enteros positivos, y . Queremos saber: si divide , ¿debe dividir al menos uno de los números o ? Si ya divide , la respuesta es sí. Solo queda estudiar el otro caso: no divide .
Los únicos divisores positivos del primo son 1 y . Como no divide , su único divisor común es 1. Según el razonamiento anterior sobre los restos, este 1 puede escribirse como un múltiplo entero de más un múltiplo entero de . Llamamos y a los dos coeficientes; pueden ser negativos.
Multiplicamos toda la igualdad por . El primer término de la derecha es múltiplo de ; el segundo también, porque supusimos desde el principio que divide . Sumar o restar múltiplos enteros de sigue dando un múltiplo de . Por tanto, , a la izquierda, también debe ser divisible por .
Así demostramos la regla que necesitamos: si un número primo divide un producto, debe dividir al menos uno de sus factores. Si hay más de dos factores, agrupamos temporalmente todos salvo el primero en un producto y repetimos el razonamiento. No podemos quitar la condición «primo»: 6 divide , pero no divide ni 2 ni 3.
Supongamos que dos listas de factores primos tienen el mismo producto. Tomamos un primo de la primera: divide el producto completo y, por la regla anterior, debe dividir algún primo de la segunda lista. El único divisor mayor que 1 de un primo es él mismo, así que ambos primos son iguales. Cancelamos esa pareja y repetimos con lo restante. No puede agotarse una lista mientras quedan primos en la otra, porque el producto de esos primos sería mayor que 1. Por tanto, ambas contienen los mismos primos, con las mismas cantidades de cada uno; solo puede variar su orden.
También podemos entender la divisibilidad mediante las listas. Si divide , entonces , donde es un entero positivo. Descomponiendo y en primos y juntándolos obtenemos la lista de factores primos de . Por tanto, cada copia de un factor primo que necesita aparece en . A la inversa, si encontramos todas esas copias, el producto de los factores restantes es un entero y tenemos . Si no queda ninguno, tomamos . Ya podemos usar con fundamento las cantidades de factores primos para decidir la divisibilidad.
Volvamos a 12 y 18. Sus listas son y . Los dos 2 de 12 son dos factores primos separados, no un único factor primo llamado 4. La figura coloca cada tipo de primo en una columna para comparar cuántas copias tiene cada número.
Cada factor primo que necesita un divisor común debe aparecer en ambos números. 12 tiene dos 2 y 18 solo uno, así que podemos tomar como máximo un 2. 12 tiene un 3 y 18 tiene dos, así que podemos tomar como máximo un 3. Tomando todo lo posible obtenemos . Ningún divisor común puede tomar más copias de ningún primo; por tanto, divide este producto y no puede superarlo. Esto demuestra que es el máximo común divisor.
Un múltiplo común debe reunir suficientes factores primos para que ambos números lo dividan. Para contener 12 necesita dos 2; para contener 18 necesita dos 3. Una misma copia puede satisfacer la exigencia de ambos lados, así que necesitamos dos de cada tipo, no tres: . Todo múltiplo común debe reunir al menos esas cantidades, de modo que este producto divide a todos los múltiplos comunes. Además, él mismo es múltiplo común, así que es el menor múltiplo común positivo.
Elige máximo común divisor o mínimo común múltiplo y después trabaja con una columna de primos cada vez. Cada bloque numerado es una copia de un factor; la fila del resultado registra cuántas conservamos. Al cambiar un número original o el tipo de cálculo, empezamos de nuevo para no dejar una respuesta anterior bajo entradas nuevas.
Aún no hemos trabajado con ninguna columna de primos. El producto empieza en 1, para que al multiplicar por el primer factor seleccionado el resultado sea ese mismo factor.
En la escritura abreviada, la cantidad de copias de un primo se llama exponente. Para el máximo común divisor, tomamos el menor exponente de cada primo; para el mínimo común múltiplo, el mayor exponente. Un primo que no aparece cuenta como cero copias, es decir, exponente cero. Estas reglas se justifican por las listas y la divisibilidad anteriores: no basta memorizar «menor, mayor» y olvidar la razón.
Hay tres casos útiles para comprobarlo: el máximo común divisor de 1 y cualquier entero positivo es 1, y el mínimo común múltiplo es el otro número. Si los números son iguales, ambas respuestas coinciden con ellos. Si no comparten factores primos, su máximo común divisor es 1 y decimos que son coprimos. Eso no significa que cada uno sea primo: 8 y 9 no son primos, pero sí coprimos, y su mínimo común múltiplo es .
Antes de calcular, decide si el número buscado debe dividir los dos números originales o contener un número entero de copias de ambos. Escribe tu razón antes de abrir la explicación, que mostrará el cálculo y no solo la respuesta.
Tenemos 20 fichas rojas y 30 azules y queremos repartirlas todas en regalos iguales. ¿Cuántas bolsas podemos preparar como máximo? ¿Cuántas fichas de cada color habrá en cada bolsa?
El número de bolsas debe dividir tanto 20 como 30, así que buscamos el máximo común divisor. y . Comparten un 2 y un 5, lo que da bolsas. Cada bolsa tendrá fichas rojas y azules. Ninguna cantidad mayor de bolsas divide ambos totales.
Dos campanas suenan juntas ahora; una suena cada 6 minutos y otra cada 8. ¿Cuántos minutos faltan para que vuelvan a sonar juntas? ¿Por qué la respuesta no es cero?
El tiempo de espera debe contener un número entero de intervalos de 6 minutos y de 8 minutos, así que buscamos un múltiplo común. y . Reuniendo tres 2 y un 3 obtenemos el menor múltiplo común positivo: minutos. Comprobación: . Cero corresponde a la coincidencia actual; «la próxima» exige un tiempo positivo.
Usa los restos para hallar el máximo común divisor de 84 y 30. Explica por qué los divisores comunes se conservan cada vez que cambias el par.
Calculamos , después y, por último, , obteniendo el máximo común divisor 6. Los divisores comunes del par original dividen el resto tras retirar copias completas; a la inversa, los divisores comunes del menor y del resto también dividen el total reconstruido. Esta comprobación en ambos sentidos garantiza que cada sustitución conserve exactamente los mismos divisores comunes.
Alguien multiplica juntos todos los factores primos de 12 y 18 y obtiene 216. Es un múltiplo común, pero ¿por qué no es el mínimo?
Al juntar directamente ambas listas hay tres 2 y tres 3. Pero bastan dos 2 y dos 3 para que ambos números dividan el resultado: . El 2 y el 3 adicionales son innecesarios. El mínimo común múltiplo toma la mayor cantidad necesaria de cada primo, sin sumar ambos lados: es 36, no 216.
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