转动与角动量

在一个转盘上贴两张小贴纸，一张靠近中心，一张靠近边缘，然后让转盘转一点。两张贴纸都沿着以中心为圆心的圆周移动。外面那张走得更远，因为它所在的圆更大。可是两张贴纸都在同一块坚硬的转盘上，从直觉上说，它们转过的“量”是一样的。我们想要一个数来表示这个量，而且这个数不应该取决于我们看的是哪一张贴纸。

一个办法是用度数表示角度：把一整圈平均分成 $360$ 份。度数可以用，但 $360$ 这个数是人为选定的。转动问题里有一个更方便的量度，它直接由长度构成，我们在极坐标页面见过。下面在这里重新把它建立一次。

看一张距中心 $r$ 的贴纸。转盘转动时，它走过的那段弯曲路径的长度叫作弧长，记作 $s$。再看一张距离是它两倍的贴纸：它的圆就是前一个圆放大到两倍，所以转过同样多时，它走的路也是两倍。$r$ 变成两倍，$s$ 也变成两倍，于是比值 $s/r$ 不变。转盘上每一张贴纸的这个比值都相同，所以它量的正是“转了多少”本身。我们把这个比值叫作用弧度表示的角，记作 $\theta$（希腊字母，读作 theta）：

一整圈是多少弧度？转一整圈时，贴纸沿着它的圆走了一周。数 $\pi \approx 3.1416$ 的定义是：任何一个圆的周长除以它的直径 $2r$。所以一周的长度，也就是周长，是 $\pi \times 2r = 2\pi r$。再除以 $r$，得到 $\theta = 2\pi r / r = 2\pi$。因此半圈是 $\pi$ 弧度，四分之一圈是 $\pi/2$ 弧度。转过 $d$ 度，是一整圈的 $d/360$，所以换成弧度就是 $\theta = \frac{d}{360} \times 2\pi$。

拖动滑块，比较两段弧。蓝色贴纸离中心 $1\ \mathrm{m}$，橙色贴纸离中心 $2\ \mathrm{m}$。橙色的弧总是蓝色的两倍长，而两者的 $s/r$ 始终是同一个数。

例如，四分之一圈是 $\theta = \pi/2 \approx 1.57$ 弧度。把 $\theta = s/r$ 两边同乘 $r$，得到 $s = r\theta$。所以蓝色贴纸走了 $s = 1\ \mathrm{m} \times 1.57 = 1.57\ \mathrm{m}$，橙色贴纸走了 $s = 2\ \mathrm{m} \times 1.57 = 3.14\ \mathrm{m}$。长度除以长度得到无量纲的比值，弧度是这个角度单位的专用名称。因此，用弧度数表示 $\theta$ 时，$r\theta$ 的结果是以米表示的长度。

在牛顿运动定律页面，平均速度是有方向的位移除以所用时间，平均速率才是路程除以时间。转动也要选正方向：这里把逆时针记为正。将有正负的角度变化量 $\Delta\theta$ 除以时间间隔 $\Delta t$，就得到这段时间的平均角速度：

这里 $\omega$ 是希腊字母，读作 omega；$\Delta$ 表示“变化量”。单位是弧度每秒，写作 $\mathrm{rad/s}$。转速变化时，用越来越短的时间间隔，才得到某一瞬间的角速度。本实验匀速转动，平均值和瞬时值相同。每张贴纸在同一时间转过同一角度，所以整个刚性转盘只有一个 $\omega$；从角度零开始，就有 $\theta=\omega t$。

两张贴纸的速率仍然不同，现在我们可以把它们算出来。在 $\Delta t$ 内转盘转过 $\Delta\theta$，于是距中心 $r$ 的贴纸走过的弧长是 $s = r\,\Delta\theta$（第 1 章）。它的速率就是这段路程除以时间：

第三步把 $r$ 移到分数外面，因为在这段时间里 $r$ 不变，所以可以这样做。于是转盘上每一点的 $\omega$ 都相同，而速率 $v = r\omega$ 与它到中心的距离成正比。正好在转轴上的点，$r = 0$，根本不动。

播放转盘，并改变 $\omega$。每个箭头都沿着贴纸运动的方向，箭头的长度表示速率。橙色箭头总是蓝色箭头的两倍长。

设 $\omega = 1.2\ \mathrm{rad/s}$，经过 $t = 2\ \mathrm{s}$，转盘转过 $\theta = \omega t = 1.2 \times 2 = 2.4$ 弧度。蓝色贴纸走了 $s = 1 \times 2.4 = 2.4\ \mathrm{m}$，速率是 $v = 1 \times 1.2 = 1.2\ \mathrm{m/s}$；橙色贴纸走了 $s = 2 \times 2.4 = 4.8\ \mathrm{m}$，速率是 $v = 2 \times 1.2 = 2.4\ \mathrm{m/s}$。

装满瓶子的手推车比空车更难推动。在牛顿运动定律页面，这种“难以改变运动”的程度用质量来衡量：力 $F$ 给质量 $m$ 的加速度是 $a = F/m$。那么，让物体难以转起来的，也是质量吗？不完全是。握住扫帚的中间，很容易让它转起来；握住扫帚的一端，沉重的扫帚头离手很远，同一把扫帚就难甩得多。质量没有变，变的是质量所在的位置。

为了弄清楚质量的位置怎样起作用，我们借助能量，因为能量可以一块一块地相加。功与能页面说明了：质量为 $m$、速率为 $v$ 的物体具有动能 $\tfrac{1}{2}mv^2$，这就是把它从静止加速到 $v$ 需要做的功。现在在一根很轻的杆上放两个小质量 $m$，各离转轴 $r$，让杆以 $\omega$ 转动。由第 2 章，每个质量的速率是 $v = r\omega$，所以每个质量的动能是

杆很轻，自身几乎没有能量，所以总动能就是两个质量的动能相加：

任何转动物体的每一小块都可以这样处理：质量为 $m$、距转轴 $r$ 的一小块贡献 $\tfrac{1}{2} m r^2 \omega^2$，而所有小块的 $\omega$ 都相同。所以总可以把 $\tfrac{1}{2}\omega^2$ 提到求和外面，写成 $K = \tfrac{1}{2} I \omega^2$，其中 $I$ 是所有小块的 $m r^2$ 之和。这个 $I$ 叫作转动惯量：

把 $K = \tfrac{1}{2} I \omega^2$ 和 $\tfrac{1}{2} m v^2$ 对照：$I$ 扮演的角色，正是直线运动里质量的角色。要把物体从静止转到角速度 $\omega$，需要做功 $\tfrac{1}{2} I \omega^2$；$I$ 越大，达到同样的转动需要的功越多，也就越难转起来。每一小块都以 $r^2$ 计入，所以离转轴远的质量，比离转轴近的质量重要得多。这就是扫帚的情形。

沿杆移动两个质量，并改变它们的大小。杆始终以 $\omega = 2\ \mathrm{rad/s}$ 转动。箭头表示每个质量的速率，长条表示总动能。

取 $m = 1\ \mathrm{kg}$，$r = 0.5\ \mathrm{m}$。每个质量的速率是 $v = 0.5 \times 2 = 1\ \mathrm{m/s}$，动能是 $\tfrac{1}{2} \times 1 \times 1^2 = 0.5\ \mathrm{J}$，两个合起来 $K = 1\ \mathrm{J}$。用公式算也一样：$I = 2 \times 1 \times 0.5^2 = 0.5\ \mathrm{kg\,m^2}$，$\tfrac{1}{2} \times 0.5 \times 2^2 = 1\ \mathrm{J}$。再把两个质量移到 $r = 1\ \mathrm{m}$：距离变成两倍，$r^2$ 变成四倍，动能也变成四倍，$K = 4\ \mathrm{J}$。

后面有两个质量都是 $M$、外半径都是 $R$ 的飞轮要比赛，所以我们需要它们的转动惯量。先看薄圆环：它的质量全部在边缘上，每一小块都有 $r = R$，所以 $I = \sum m R^2 = R^2 \sum m = M R^2$。质量相同的实心圆盘，把质量从中心一直铺到边缘，大多数小块离转轴比 $R$ 近，所以它的 $I$ 一定更小。把组成圆盘的一个个薄圆环加起来，正好得到一半：$I = \tfrac{1}{2} M R^2$。质量分布在内半径 $R_{\text{in}}$ 与 $R$ 之间的厚圆环，得到 $I = \tfrac{1}{2} M (R^2 + R_{\text{in}}^2)$，介于前两者之间。

推开一扇沉重的门时，我们通常推离门轴较远的位置。同样大小的垂直推力作用在门轴附近，转动效果就小。杠杆页面用力矩衡量这种效果：力的大小乘以转轴到力的作用线的垂直距离。这个垂直距离叫力臂；它不是任意方向上“到支点的距离”。力矩也常称扭矩。

从上往下看这扇门，门轴就是转轴。设我们在距门轴 $r$ 处用力 $F$ 推门。如果垂直于门推，整个推力都用来转门，力矩是 $\tau = rF$（$\tau$ 是希腊字母，读作 tau）。如果推力与门成角 $\varphi$，就把推力分成两部分：一部分沿着门，一部分垂直于门。沿着门的部分只是压在门轴上，不能让门转动；垂直于门的部分大小是 $F\sin\varphi$，所以

这里 $\sin\varphi$ 是推力中垂直于门的那一部分所占的比例：$\varphi = 90^\circ$ 时它是 $1$，推力正好沿着门时它是 $0$。（单位圆页面说明了 $\sin$ 的来历：在半径为 $1$ 的圆上，它是角 $\varphi$ 处那一点的高度。一个长为 $F$、与门成角 $\varphi$ 的力箭头，垂直于门的部分就是 $F$ 乘以这个高度。）

改变推的位置和推的方向。橙色箭头表示完整的 $10\ \mathrm{N}$ 推力，蓝色表示垂直于门的分力，金线标出垂直力臂。这里把门保持在同一位置，让我们只比较施加的力矩，不同时改变门的朝向；固定门的约束提供平衡力矩。

在距门轴 $0.8\ \mathrm{m}$ 处垂直推 $F = 10\ \mathrm{N}$，力矩 $\tau = 0.8 \times 10 = 8\ \mathrm{N\,m}$。同样的力推在距门轴 $0.2\ \mathrm{m}$ 处，只有 $0.2 \times 10 = 2\ \mathrm{N\,m}$。回到 $0.8\ \mathrm{m}$ 处，但推力与门成 $\varphi = 30^\circ$，而 $\sin 30^\circ = 0.5$，力矩是 $0.8 \times 10 \times 0.5 = 4\ \mathrm{N\,m}$。

现在可以说明力矩怎样改变转动了。在一根轻杆上，距转轴 $r$ 处放一个小质量 $m$，用垂直于杆的力 $F$ 推它。牛顿第二定律说，这个质量沿它的路径加速，加速度 $a = F/m$，也就是 $F = ma$。它的速率是 $v = r\omega$，所以当 $\omega$ 改变 $\Delta\omega$ 时，速率改变 $\Delta v = r\,\Delta\omega$。两边都除以所用的时间，得到 $a = r\alpha$，其中 $\alpha = \Delta\omega/\Delta t$ 叫作角加速度（$\alpha$ 是希腊字母，读作 alpha）。把 $a = r\alpha$ 代入 $F = ma$：

第二行两边同乘 $r$，把力变成力矩；第三行认出 $rF = \tau$、$m r^2 = I$。一个完整的物体由许多这样的小块组成。每一小块还受到相邻小块的推和拉，但根据牛顿第三定律，这些力成对出现，大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，所以把所有小块加起来时，它们的力矩相互抵消。剩下的是来自物体外部的力矩，以及所有 $m r^2$ 之和，也就是 $I$：

对绕固定轴转动、转动惯量 $I$ 不变的这个刚体（它的各部分距离保持不变，不会变形），这就是转动形式的牛顿第二定律（$\\tau = I\\alpha$）。这里 $\\tau$ 是绕这根轴的合外力矩，$\\alpha$ 是瞬时角加速度；$I$ 不变时，用同一时间段的平均量也满足该式。同一 $I$ 下，力矩越大，角加速度越大；同一力矩下，$I$ 越大，角加速度越小。质量分布变化时，要转到角动量的描述，不能继续直接套用这个固定 $I$ 的形式。

下面这台机器用来检验 $\tau = I\alpha$。两个飞轮质量相同，都是 $M = 2\ \mathrm{kg}$；外半径也相同，都是 $0.88\ \mathrm{m}$，各自装在固定的轴上。左边是实心圆盘，右边是内半径 $0.69\ \mathrm{m}$ 的厚圆环。由第 3 章，它们的转动惯量是 $I = \tfrac{1}{2} \times 2 \times 0.88^2 = 0.774\ \mathrm{kg\,m^2}$ 和 $I = \tfrac{1}{2} \times 2 \times (0.88^2 + 0.69^2) = 1.251\ \mathrm{kg\,m^2}$。每根轴上绕着一根绳子，挂一个质量 $m = 0.35\ \mathrm{kg}$ 的重物，两个重物同时释放。

按播放之前先想一想：两个飞轮质量相等，两个重物也相等。哪个飞轮转得更快地加速起来？

我们来算一算。把绳子的拉力叫作张力，记作 $T$；轴的半径记作 $b$。运动的东西有两个，重物和飞轮，所以分别写出它们的牛顿定律。重物受到向下的重力 $mg$ 和向上的绳子拉力 $T$，所以 $mg - T = ma$。绳子在距转轴 $b$ 处拉轴，给飞轮的力矩是 $Tb$，所以 $Tb = I\alpha$。绳子不打滑，所以重物下落的速率正好等于轴表面转动的速率：由第 2 章，这就是 $v = b\omega$，对变化量则有 $a = b\alpha$。现在来解：

第一行把 $Tb = I\alpha$ 两边除以 $b$，并用了 $\alpha = a/b$；第二行把这个 $T$ 代入重物的方程；第三行把含 $a$ 的两项合并，得到 $mg = a\,(m + I/b^2)$，再相除。对实心圆盘，取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$、$b = 0.2\ \mathrm{m}$，得到 $a = \frac{0.35 \times 9.81}{0.35 + 0.774/0.04} = 0.174\ \mathrm{m/s^2}$；对厚圆环，同一个式子给出 $a = 0.109\ \mathrm{m/s^2}$。圆盘赢了，因为它的质量更靠近轴，转动惯量更小。

注意，绳子的拉力并不等于重物的重力 $mg$。由 $mg - T = ma$ 得 $T = m(g - a)$，所以圆盘的绳子拉力是 $0.35 \times (9.81 - 0.174) = 3.37\ \mathrm{N}$，比重力 $0.35 \times 9.81 = 3.43\ \mathrm{N}$ 小一点。如果绳子的拉力等于全部重力，就没有剩余的力让重物自己加速了。

按播放，看两个重物下落。飞轮获得动能时颜色变成更亮的青色，重物降低时颜色逐渐变淡。然后改变轴的半径 $b$ 再播放一次：$b$ 越大，同一根绳子的力臂越长。

动量页面用动量 $p = mv$ 描述直线运动，并把牛顿第二定律写成“力等于动量变化的快慢”，即 $F = \Delta p/\Delta t$。没有外力作用时，动量保持不变。转动有没有类似的规律？

从转动惯量不变的物体的 $\tau = I\alpha$ 出发，把 $\alpha$ 写成 $\Delta\omega/\Delta t$。因为 $I$ 不变，$I$ 乘以 $\omega$ 的变化量，就等于 $I\omega$ 的变化量：

量 $I\omega$ 叫作角动量，记作 $L$。于是，力矩就是角动量变化的快慢，$\tau = \Delta L/\Delta t$，正如力是动量变化的快慢。对一小块来说，$L = m r^2 \omega = r \times m(r\omega) = r \times mv$：小块的动量 $mv$ 乘以它到转轴的距离，就像力矩是力乘以距离一样。

如果没有外力矩，$\Delta L = 0$，角动量保持不变，这就是角动量守恒。它最有用的地方在于：即使物体改变形状、$I$ 随之改变，只要物体内部的力不能产生绕转轴的力矩，它仍然成立。这时 $I\omega$ 不变，所以 $I$ 变小，$\omega$ 就一定变大。这正是转椅的情形。

这台机器用来检验上面的说法。两个相同的转子以相同的 $\omega = 1.6\ \mathrm{rad/s}$ 开始转动。每个转子的滑轨上有两块配重，总质量 $M = 2\ \mathrm{kg}$，离轴 $1.25\ \mathrm{m}$。转子 A（左）中央有一个小卷收器，会把配重拉到离轴 $0.42\ \mathrm{m}$ 处，之后再放出去；转子 B（右）的配重不动，所以 B 显示的是 A 如果什么都不变会怎样。卷收器的绳子正对着轴拉，所以对转子不产生绕轴的力矩。

每个转子的转动惯量大部分来自配重：$M r^2 = 2 \times 1.25^2 = 3.125\ \mathrm{kg\,m^2}$。转子其余部分贡献一个固定的量，与配重在哪里无关：轮毂和滑轨，加上每块配重围绕自身中心的分布，合起来是 $0.2656\ \mathrm{kg\,m^2}$。所以开始时 $I = 3.125 + 0.2656 = 3.3906\ \mathrm{kg\,m^2}$。配重在 $0.42\ \mathrm{m}$ 时，$M r^2 = 2 \times 0.42^2 = 0.3528$，$I = 0.3528 + 0.2656 = 0.6184\ \mathrm{kg\,m^2}$。

按播放之前先想一想：A 的配重向内移动时，A 的转动会怎样？B 呢？

没有绕轴的外力矩，所以 A 保持开始时的角动量：$L = I\omega = 3.3906 \times 1.6 = 5.425\ \mathrm{kg\,m^2/s}$。配重到达 $0.42\ \mathrm{m}$ 时，$\omega = L/I = 5.425/0.6184 = 8.77\ \mathrm{rad/s}$，快了五倍多。配重再放出去时，$I$ 回到 $3.3906$，$\omega$ 也回到 $1.6\ \mathrm{rad/s}$。B 始终不变。

按播放，或拖动时间滑块停在任意时刻，比较读数：$I$ 变小，$\omega$ 变大，而它们的乘积 $L$ 保持不变。你也可以改变配重被拉进去的距离。

可是，多出来的转速从哪里来？动能是 $K = \tfrac{1}{2} I \omega^2$（第 3 章）。在 $L$ 不变时，可以把 $\omega$ 换成 $L/I$：

$L$ 不变时，$I$ 越小，转动动能越大。开始时 $K=5.425^2/(2\times3.3906)=4.34\ \mathrm{J}$；配重到达内侧、停止径向移动后，$K=5.425^2/(2\times0.6184)=23.80\ \mathrm{J}$。多出的 $19.46\ \mathrm{J}$ 来自卷收器做功。不受力时，配重会沿当时的切线继续前进，并不会自行转向轴心。把它向内拉，需要沿向内位移施力，因而会传递能量。滑动过程中，径向速度 $\dot r$ 与切向速度 $r\omega$ 垂直，所以 $v^2=\dot r^2+(r\omega)^2$；读数还包括径向动能 $M\dot r^2/2$。两个端点的径向速度为零，这一项才消失。本页的可逆模型在放出配重时把功还给卷收器，真实机构还会耗散能量。

角动量也可以从一个物体传给另一个物体。两个相同的圆盘装在同一根轴上，每个的 $I = \tfrac{1}{2} \times 2 \times 0.88^2 = 0.7744\ \mathrm{kg\,m^2}$。下盘以 $1.6\ \mathrm{rad/s}$ 转动，上盘开始时静止，然后被放下来压在下盘上。两个接触面之间的摩擦让下盘变慢、上盘变快，直到它们一起转动。

在两盘接触的地方，下盘把上盘往前带，上盘把下盘往后拖。根据牛顿第三定律，这两个摩擦力大小相等、方向相反，又作用在离轴同样远的地方，所以它们的力矩也大小相等、方向相反。在每一段时间里，一个盘得到的角动量正好等于另一个盘失去的，所以总角动量守恒。把开始的转速记作 $\omega_a$（下盘）和 $\omega_b$（上盘），最后共同的转速记作 $\omega_f$：

这里 $\omega_a = 1.6\ \mathrm{rad/s}$，$\omega_b = 0$，所以 $\omega_f = (1.6 + 0)/2 = 0.8\ \mathrm{rad/s}$：转动被平均分给了两个盘。

用滑块选择上盘的初始转速，从下盘的 $-1$ 倍到 $1$ 倍，然后按播放。把最后的转速与 $(\omega_a + \omega_b)/2$ 比较，把产生的内能与 $\tfrac{1}{4} I (\omega_a - \omega_b)^2$ 比较。

能量却没有这样平均分配。接触之前，$K = \tfrac{1}{2} \times 0.7744 \times 1.6^2 = 0.99\ \mathrm{J}$；之后两个盘都以 $0.8\ \mathrm{rad/s}$ 转动，$K = 2 \times \tfrac{1}{2} \times 0.7744 \times 0.8^2 = 0.50\ \mathrm{J}$。一半的动能不见了：相互摩擦的表面把它变成了内能，表面变热了，接触处的橙色光就表示这一点。对任意两个相同的圆盘，损失的动能 $\Delta K = K_{\text{before}} - K_{\text{after}}$ 是

第二行代入 $\omega_f = (\omega_a + \omega_b)/2$，于是 $\omega_f^2 = (\omega_a + \omega_b)^2/4$；第三行把两项通分到分母 $4$ 并展开括号；最后一行认出 $(\omega_a - \omega_b)^2$。只有当两盘本来就以相同转速转动、没有相互摩擦时，损失才为零。

角动量有方向：朝一个方向转记为正，朝另一个方向转记为负。把上盘的初始转速设为下盘的 $-1$ 倍，即同样快、方向相反。总角动量是 $0.7744 \times 1.6 + 0.7744 \times (-1.6) = 0$，所以两盘最后一定是 $\omega_f = 0$：都停下来。可是两盘原来都在转，而动能与 $\omega^2$ 有关，永远不会是负数。全部动能 $\tfrac{1}{4} \times 0.7744 \times (1.6 - (-1.6))^2 = 1.98\ \mathrm{J}$ 都变成了内能。角动量可以相互抵消，能量不能。

现在回到转椅。把人和椅子合在一起研究，绕转椅的轴比较，先忽略轴承摩擦。收臂使质量靠近转轴，$I$ 减小；没有合外力矩时，$L=I\omega$ 不变，$\omega$ 就增大。肌肉在双臂向内移动时做功；手臂已停在固定半径时，继续用力保持姿势并不再沿径向做机械功，虽然真实肌肉仍会消耗能量。张臂则使 $I$ 增大、$\omega$ 减小。下方用两个手持配重的质点近似，保持椅子和身体的转动惯量不变，比较这一机制；读数不是对某个真实人的测量。