数学 / 坐标
极坐标：方向与距离 灯塔的光束、雷达的扫描，以及被 万有引力 维系在太阳附近的行星，用“离中心的方向和距离 ”来描述，都比用“向右多少、向上多少”更自然。这样描述一个点，就是先转过一个角度 ，再沿这个方向走一段距离 。 单位圆 页面用同样的“转角度”的想法描述圆上的点，并读出它的 x x x y y y
在通常的坐标图里，我们先横着走，再竖着走来找到一个点。还有另一种方法：从原点选一个方向，再沿这个方向走一段距离。我们先用这种方法找一个点，并与它原来的坐标比较。等这一步清楚后，再让方向和距离逐渐变化，看看一个个点怎样画成曲线 。读这一页需要的是直角坐标图上的一对 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 函数 页面里输入一个数、得到一个数的规则；弧度 、余弦 和正弦 ，下面都会从圆上重新说明一遍。
01 · 两种地址 02 · 一个点，多个地址 03 · 描出 r = θ r=\theta r = θ 04 · 为什么 r = 2 r=2 r = 2 05 · 其他曲线 01 给点一个地址的两种方法在直角坐标中，一对数 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) x x x 横向的位置 ，y y y 纵向的位置 。极坐标用另一种方式描述同一个平面。站在原点看，我们可以问两个问题：这个点有多远 ？它在哪个方向 ？
假设我们先选定一个正的距离 r r r 。离原点距离为 r r r 半径为 r r r 。所以只有 r r r x x x θ \theta θ 。转到 θ \theta θ ( r , θ ) (r,\theta) ( r , θ ) 。
为什么一整圈还有另一种数字？ 角度的一种单位是度：把一整圈平均分成 360 360 360 R R R s s s
单看圆弧长度，还不能确定转了多少角度：同样的转角，放在更大的圆上会走得更远。可是，如果把圆放大到原来的 2 2 2 ( 2 s ) / ( 2 R ) = s / R (2s)/(2R)=s/R ( 2 s ) / ( 2 R ) = s / R θ = s / R \theta=s/R θ = s / R
一整圈会走过全部圆周长，也就是沿着圆完整走一圈的距离。π \pi π 2 R 2R 2 R 2 π R 2\pi R 2 π R θ = ( 2 π R ) / R = 2 π \theta=(2\pi R)/R=2\pi θ = ( 2 π R ) / R = 2 π π \pi π π / 2 \pi/2 π /2
O R 固定角度，只改变半径：金色圆弧与绿色半径一起变长 θ = 1 , s = R θ = 2 × ( 1 ) ≈ 2.000 \theta=1,\qquad s=R\theta=2\times(1)\approx2.000 θ = 1 , s = R θ = 2 × ( 1 ) ≈ 2.000 半径是 2 2 2 2 2 2 s / R = 2 / 2 = 1 s/R=2/2=1 s / R = 2/2 = 1 如果角度是 d d d d / 360 d/360 d /360 θ = ( d / 360 ) × 2 π = d π / 180 \theta=(d/360)\times2\pi=d\pi/180 θ = ( d /360 ) × 2 π = d π /180 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ 90 π / 180 = π / 2 90\pi/180=\pi/2 90 π /180 = π /2
x = 5 y = 4 (5, 4) 直角坐标：x 说明横向走多远 ，y 说明纵向走多远 。两个方向合在一起，唯一确定一个点 。 距离 r θ 极坐标：正的距离 r r r 留下一个 圆的候选点， 角度 θ \theta θ 再选出其中一点。如果 r r r 用 r r r θ \theta θ ( r , θ ) = ( 2.5 , 40 ∘ ) (r,\theta)=(2.5,\ 40^\circ) ( r , θ ) = ( 2.5 , 4 0 ∘ ) 先改变 r r r 虚线圆 ：圆上每一个点到原点的距离都是 r r r 只有 r r r 。再转动 θ \theta θ x x x ），点就沿着同一个圆移动，最后停在一个位置上。也可以直接在圆盘上拖动。当 r = 0 r=0 r = 0 ，改变 θ \theta θ
两种地址怎样指向同一个点？ 通过转角、走距离，我们已经能找到一个点。后面的公式还会用到它的横坐标和纵坐标，所以我们需要看清这两个数从哪里来。下面的参照圆半径为 1 1 1 cos θ \cos\theta cos θ sin θ \sin\theta sin θ
横坐标记录点向右或向左偏了多少：向右为正，向左为负。纵坐标把向上记为正，向下记为负。这样的定义沿整个单位圆都能使用；即使点恰好在坐标轴上，没有非零的直角三角形，也不影响坐标的含义。
现在保持方向不变，把单位圆放大或缩小成半径为 r r r r r r x = r cos θ x=r\cos\theta x = r cos θ y = r sin θ y=r\sin\theta y = r sin θ
0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘ 240 ∘ 240^\circ 24 0 ∘ 把点放到原点 O x y 虚线圆是半径 1 的参照；绿色是当前半径，蓝色是横向位移，橙色是纵向位移，金点是当前点 重置 上一步 下一步 第 1 / 3 步
先看半径为 1 1 1 cos θ \cos\theta cos θ sin θ \sin\theta sin θ 圆 横坐标 纵坐标 单位圆 cos θ ≈ 0 \cos\theta\approx0 cos θ ≈ 0 sin θ ≈ 1.000 \sin\theta\approx1.000 sin θ ≈ 1.000
坐标小数保留三位，等式表达的是准确的放缩关系
90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ 0 0 0 1 1 1 cos 90 ∘ = 0 \cos90^\circ=0 cos 9 0 ∘ = 0 sin 90 ∘ = 1 \sin90^\circ=1 sin 9 0 ∘ = 1 r = 2 r=2 r = 2 x = 2 × 0 = 0 x=2\times0=0 x = 2 × 0 = 0 y = 2 × 1 = 2 y=2\times1=2 y = 2 × 1 = 2 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ x = 2 x=2 x = 2 y = 0 y=0 y = 0
在原点，r = 0 r=0 r = 0 x = 0 cos θ = 0 x=0\cos\theta=0 x = 0 cos θ = 0 y = 0 sin θ = 0 y=0\sin\theta=0 y = 0 sin θ = 0 0 0 0 2 π 2\pi 2 π
02 一个点有许多个极坐标地址在开始画图之前，有一点值得注意。转动和横着走不一样：一直转下去，我们最终会回到出发时的方向 。这对地址意味着什么？
再转一整圈，回到同一个点 多转一圈（+2π） 倒转一圈（−2π） 使用 −r
( 2.5 , π 6 ) (2.5,\ \tfrac{\pi}{6}) ( 2.5 , 6 π ) 点击“多转一圈”，看转臂完整地转一周。一整圈是 2 π 2\pi 2 π ，也就是 360 ∘ 360^\circ 36 0 ∘ 一个点有无穷多个极坐标地址 ，也就是对每个整数 k k k ( r , θ + 2 k π ) (r,\theta+2k\pi) ( r , θ + 2 k π ) 都表示它：
( 2.5 , − 11 π 6 ) = ( 2.5 , π 6 ) = ( 2.5 , 13 π 6 ) = ( 2.5 , 25 π 6 ) = ⋯ (2.5,\ -\tfrac{11\pi}{6})=(2.5,\ \tfrac{\pi}{6})=(2.5,\ \tfrac{13\pi}{6})=(2.5,\ \tfrac{25\pi}{6})=\cdots ( 2.5 , − 6 11 π ) = ( 2.5 , 6 π ) = ( 2.5 , 6 13 π ) = ( 2.5 , 6 25 π ) = ⋯ 这是和直角坐标最大的不同：直角坐标的 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 。还有一个在画曲线时会遇到的约定： r r r ，表示“面向 θ \theta θ 向后走 ”。点击“使用 − r -r − r ( − r , θ ) (-r,\theta) ( − r , θ ) ( r , θ + π ) (r,\theta+\pi) ( r , θ + π ) 。
03 逐点描出一个极坐标规则画 y = 2 x + 1 y=2x+1 y = 2 x + 1 x x x y y y ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 输入变成角度 θ \theta θ ， 输出变成 r r r 。规则 r = θ r=\theta r = θ 告诉我们，在每个方向上，点离原点有多远。从 0 到 2 π 2\pi 2 π r r r ( r , θ ) (r,\theta) ( r , θ )
1 2 3 4 5 6 0 π/2 π 3π/2
t h e t a \\theta t h e t a r r r 点 0 0 0 0 … π 4 \tfrac{\pi}{4} 4 π 0.79 … π 2 \tfrac{\pi}{2} 2 π 1.57 … 3 π 4 \tfrac{3\pi}{4} 4 3 π 2.36 … π \pi π 3.14 … 5 π 4 \tfrac{5\pi}{4} 4 5 π 3.93 … 3 π 2 \tfrac{3\pi}{2} 2 3 π 4.71 … 7 π 4 \tfrac{7\pi}{4} 4 7 π 5.50 … 2 π 2\pi 2 π 6.28 …
对表中的每一行，转臂转到角度 θ \theta θ 。画笔沿这个方向移动 r = r ( θ ) r=r(\theta) r = r ( θ ) ，并在停下的位置留下一个点。
04 为什么 r = 2 r=2 r = 2 现在用同样的方法画 r = 2 r=2 r = 2 。这一次 r r r θ \theta θ ：无论选哪个角度，点到原点的距离都是 2。播放一下，和 r = θ r=\theta r = θ
1 2 3 0 π/2 π 3π/2
t h e t a \\theta t h e t a r r r 点 0 0 0 2.00 … π 4 \tfrac{\pi}{4} 4 π 2.00 … π 2 \tfrac{\pi}{2} 2 π 2.00 … 3 π 4 \tfrac{3\pi}{4} 4 3 π 2.00 … π \pi π 2.00 … 5 π 4 \tfrac{5\pi}{4} 4 5 π 2.00 … 3 π 2 \tfrac{3\pi}{2} 2 3 π 2.00 … 7 π 4 \tfrac{7\pi}{4} 4 7 π 2.00 … 2 π 2\pi 2 π 2.00 …
对表中的每一行，转臂转到角度 θ \theta θ 。画笔沿这个方向移动 r = r ( θ ) r=r(\theta) r = r ( θ ) ，并在停下的位置留下一个点。
第一象限中，到 x x x k sin θ k\sin\theta k sin θ y y y k cos θ k\cos\theta k cos θ ∣ k sin θ ∣ |k\sin\theta| ∣ k sin θ ∣ ∣ k cos θ ∣ |k\cos\theta| ∣ k cos θ ∣ 带正负号的坐标 则一直是 y = k sin θ y=k\sin\theta y = k sin θ 、 x = k cos θ x=k\cos\theta x = k cos θ ：向下为负 y y y x x x 勾股计算 使用坐标的平方，因此在各个象限都成立。
两条垂线和原点到该点的连线构成一个直角三角形 ，所以由勾股定理 可以求出这个点到原点的距离。根号里可以提出公因式 k 2 k^2 k 2 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 。回忆这个等式从哪里来：在 单位圆上，角度为 θ \theta θ ( cos θ , sin θ ) (\cos\theta,\sin\theta) ( cos θ , sin θ ) cos 2 θ + sin 2 θ = 1 2 = 1 \cos^2\theta+\sin^2\theta=1^2=1 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 2 = 1 k k k k 2 = k \sqrt{k^2}=k k 2 = k θ \theta θ k k k
1 2 3 0 π/2 π 3π/2 y = k sin θ x = k cos θ k 每个点到原点的距离都是 k k k 带符号的 y 坐标 k sin θ ≈ 1.53 k\sin\theta \approx 1.53 k sin θ ≈ 1.53 带符号的 x 坐标 k cos θ ≈ 1.29 k\cos\theta \approx 1.29 k cos θ ≈ 1.29 距离 x 2 + y 2 = k = 2.00 \sqrt{x^2+y^2}=k=2.00 x 2 + y 2 = k = 2.00 r = ( k sin θ ) 2 + ( k cos θ ) 2 = k 2 ( sin 2 θ + cos 2 θ ) = k 2 ⋅ 1 = k \begin{aligned} r &= \sqrt{(k\sin\theta)^2 + (k\cos\theta)^2} \\ &= \sqrt{k^2\left(\sin^2\theta + \cos^2\theta\right)} \\ &= \sqrt{k^2\cdot 1} = k \end{aligned} r = ( k sin θ ) 2 + ( k cos θ ) 2 = k 2 ( sin 2 θ + cos 2 θ ) = k 2 ⋅ 1 = k 无论选择哪个 θ \theta θ k k k r = k r=k r = k 半径为 k k k 上，而每个角度都给出圆上的一个点，合起来就是整个圆。换句话说， r = k r=k r = k k k k 。
05 同一个想法画出的其他曲线现在我们知道规则 r ( θ ) r(\theta) r ( θ ) θ \theta θ r r r 阴影部分 是刚刚扫过的区域 。注意，方法始终一样，画笔的表现却大不相同。
圆 玫瑰线 心形线 阿基米德螺线 r = 2.6 cos ( 2 θ ) r=2.6\cos(2\theta) r = 2.6 cos ( 2 θ ) r = a cos ( k θ ) r=a\cos(k\theta) r = a cos ( k θ ) θ \theta θ a a a − a -a − a 。每当 cos ( k θ ) \cos(k\theta) cos ( k θ ) 回到原点 ，形成花瓣 ；r r r k k k 时有 k k k 0 0 0 π \pi π k k k 时有 2 k 2k 2 k 0 0 0 2 π 2\pi 2 π k k k
用扇形拼面积
为什么是 k k k 2 k 2k 2 k 圆让画笔始终保持同一个距离。这里让角度转动的同时，用 r=a cos(kθ) 改变距离，其中 a>0，k 为正整数。选择玫瑰线，点击“描出曲线”：余弦的相邻两个零点之间 ，画笔从原点出发，到达距离 a，再返回，这一段往返形成一片花瓣 。半径为负时，花瓣画在所选方向的反侧 。
接下来数不同的花瓣 ，而不是重复经过的次数。正半径最大值发生在 kθ=2jπ ；负半径的最大距离发生在 kθ=(2j+1)π ，但画笔实际还要反转 π。这里 j 依次取 0,1,…,k−1。因此两组花瓣方向分别为：
ϕ + = 2 j π k ϕ − = ( 2 j + 1 ) π k + π = ( 2 j + k + 1 ) π k \begin{aligned}\phi_+&=\frac{2j\pi}{k}\\\phi_-&=\frac{(2j+1)\pi}{k}+\pi\\&=\frac{(2j+k+1)\pi}{k}\end{aligned} ϕ + ϕ − = k 2 j π = k ( 2 j + 1 ) π + π = k ( 2 j + k + 1 ) π k 为奇数时 ，k+1 是偶数，因此负半径方向已经出现在正半径列表里；相差整圈算同方向，一共只有 k 瓣 。k 为偶数时 ，2j+k+1 是奇数，不会与正半径列表里的偶数方向重合，于是共有 k+k=2k 瓣 。在模型中比较 k=3 与 k=4。
这也解释了绘制区间。θ 增加 π 会反转方向 。k 为奇数时，cos(kθ) 的符号也反转，两次反转让画笔回到同一点，所以 [0,π] 已经画完整条曲线 。k 为偶数时，半径符号保持不变，后半圈要画另一侧的花瓣，因此需要 [0,2π] 。
模型范围：理想平面几何，单位长度固定。所有公式中的角度都用弧度，圆盘上标出了四分之一圈的位置。玫瑰线只取整数 k。
