GEOMETRY · VECTORS

点积与叉积

用一根斜拉的绳子拖动地上的箱子时，只有一部分拉力沿着运动的方向。计算这个力做了多少功时，算的正是这一部分；滑轮页面中的能量计算就建立在功的基础上。而在杠杆与齿轮页面，力让物体绕支点转动时，起作用的是同样两个方向的另一种组合：离支点有多远，以及有多少力垂直于力臂。两种情况都要把两个向量结合起来，但它们问的问题不同。这里的两个计算都从向量和投影出发；向量与投影页面已经讲过它们，我们直接从投影开始。

两个向量相乘，应该得到什么呢？向量有长度，也有方向，所以我们要先说明想让结果告诉我们什么。我们先看一个向量在另一个方向上的投影，由此理解点积；接下来再看两个向量张出的平面和面积，解释叉积为什么需要一个新的方向。

01把有向投影乘以另一向量的长度

这里的箭头表示一个有方向的位移，叫作向量。比如向量 (3,4) 表示向右走 3、再向上走 4；它的长度是 $\sqrt{3^2+4^2}=5$ 。沿水平方向的分量是 3，并不是整个长度 5。接下来把方向换成另一条箭头 $u$ 的方向，观察 $v$ 沿这个方向的分量；这就是我们要研究的投影。从两个不平行的向量 $u$ 、 $v$ 开始。 $\lvert u\rvert$ 、 $\lvert v\rvert$ 表示长度； $\theta$ 为它们之间 0° 到 180° 的夹角。选择一个投影方向，再播放动画。

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夹角 θ55°

|u|2.2

|v|1.8

投影记录沿某个方向的分量：向该方向所在的直线作垂线。锐角时，余弦就是邻边除以斜边，因此投影长度除以 $|v|$ 等于 $\cos\theta$ ；两边乘 $|v|$ 就得到分量。我们还保留方向的符号：沿指定方向为正，反方向为负。所以钝角时，有向分量仍写作 $|v|\cos\theta$ 。交换两个向量的角色，就得到 $|u|\cos\theta$ 。

\text{有向投影分量}=|v|\cos\theta

|u|(|v|\cos\theta)\approx2.271

将有向投影分量乘以承接投影的向量长度，结果是一个数，即**标量**。

v 投影到 u，再乘 |u| $1.032\times2.2\approx2.271$

u 投影到 v，再乘 |v| $1.262\times1.8\approx2.271$

u\cdot v=|u|(|v|\cos\theta)=|v|(|u|\cos\theta)=v\cdot u

两种做法都是将相同的三个数相乘，所以交换顺序仍得到相同的标量。这个运算称为点积，用中间的点 · 表示。

02另一种乘积：垂直于平面的向量

现在进入三维空间。两个线性无关的向量不平行，它们共同确定一个平面。叉积是垂直于这个平面的向量，其大小等于两向量围成的平行四边形面积。

uvu × v

拖动场景旋转观察。青色 $u$ 与橙色 $v$ 位于同一平面；紫色叉积垂直于这个平面。这里 $|u|=2$ ， $|v|=1.5$ 。

平行四边形面积2.598

叉积的大小2.598

u 与 v 的夹角60.0°

u\times v=|u|\,|v|\sin\theta\,\hat n

v\times u=-(u\times v)

$\hat n$ 表示单位法向量：长度为 1，方向垂直于平面。乘上 $\lvert u\rvert \lvert v\rvert \sin \theta$ 后，就给出了叉积的大小。垂直于平面有两个方向，由右手规则选择其中一个。

两个不平行的向量张成一个平面：沿它们方向的所有线性组合都在这个平面内，而叉积指向平面之外。

正在载入手部模型…

uvu × v

食指 → u中指 → v拇指 →

u \times v

使用右手，注意先后顺序

这个手势示范 90° 的例子：食指沿第一个向量，中指沿第二个向量，拇指指向叉积。可以旋转屏幕中的手，观察三个方向。点击上方“交换相乘顺序”，同一只右手会转动，让拇指反向。

对于其他非零、非平角的夹角，可以用弯指版本：右手四指沿较小夹角从第一个向量转向第二个，拇指给出法向。手势只表示方向，不表示向量的大小。

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为什么叉积的大小等于面积？

选 u 为底边，从 v 的端点向底边所在直线作垂线。垂足记为 H；这段垂直距离 VH 就是高 $h$ 。

VH=h

三角形夹角 θ55°

这里使用独立的夹角控制。改变夹角：斜边长度始终为 1.5，但垂直高度随之改变。

03两种不同的“归零”

这里假设两个输入向量都非零。点积为零对应垂直，叉积为零对应共线。

点积：互相垂直

\theta=90^\circ\Rightarrow \cos\theta=0\Rightarrow u\cdot v=0

任一向量沿另一个方向的分量都为零，所以点积为零。

叉积：位于同一直线

\theta=0^\circ\text{ 或 }180^\circ\Rightarrow\sin\theta=0\Rightarrow u\times v=\mathbf0

平行四边形压成一条线，面积归零。同向、反向两种情况都会得到零向量。

如果任一输入为零向量，两种乘积都为零，但零向量没有确定的夹角。因此上面的夹角表述要求输入非零。

这一页先到这里。使用单位向量和分量来计算点积、叉积，将在之后的页面介绍。