滑轮：一根绳子和几个轮子怎样提起重物

地球表面附近的一切物体都受到重力，被向下拉。这个拉力的大小，也就是物体的重力，等于它的质量乘以一个数 $g$。$g$ 表示地球对每一千克物体拉得多用力：$g \approx 9.8\,\text{N/kg}$，即每一千克受到约 $9.8$ 牛的拉力。我们把重力写成 $mg$，意思是 $m \times g$。对于这个 4 kg 的重物，$mg = 4\,\text{kg} \times 9.8\,\text{N/kg} = 39.2\,\text{N}$。

这一课里，我们总是慢慢地、匀速地提起重物。正如牛顿运动定律页面所讲，一个物体做匀速直线运动或者静止时，它受到的力是平衡的：向上的力加起来正好等于向下的力。所以用手匀速提起这个重物，就要向上用正好 $39.2\,\text{N}$ 的力，不多也不少。（开始时稍微多用一点力让重物动起来；之后用平衡的力就能让它保持这个速度。）这一页要回答的问题是：绳子和滑轮能不能让我们用更小的力提起同一个重物。

绳子被拉紧时，它的每一部分都在拉相邻的部分。握住一根拉紧的绳子的一端，你会感到它沿着绳子拉你的手；另一端的重物也受到同样的拉力。这个拉力的大小叫作绳子的拉力（张力），我们记作 $T$。绳子只能拉，不能推，而且总是沿着绳子本身的方向拉。

同一根拉紧的绳子，各处拉力一样大。为什么？看绳子上很短的一段。它左边的绳子往一边拉它，右边的绳子往另一边拉它。我们的绳子很轻，这一小段几乎没有质量。如果两边的拉力不相等，多出来的那一点力就会让这一小段越滑越快。可是匀速提升时，它并没有越滑越快。所以每一小段两边的拉力相等，从绳子的一端到另一端，拉力处处相同。

滑轮让绳子在拐弯时仍然保持这一点。轮子可以绕轴自由转动，所以绳子不需要在任何东西上滑动。如果轮子一边的拉力比另一边大，就会让轮子越转越快；一个没有摩擦的轻轮子匀速转动时，两边的拉力一定相等。所以绳子离开轮子时，拉力仍然是同一个 $T$，只是方向变了。这个模型做了两个简化：绳子很轻，轮子没有摩擦；最后一章会看到真实的绳子和轮子会带来什么变化。

从最简单的装置开始。一个滑轮用挂钩挂在横梁上，它不会移动，所以叫定滑轮。绳子一端系在重物上，向上绕过轮子，再向下到我们手里的红色握把。绳子和握把之间接着一个弹簧测力计，用来读出我们拉绳的力。

用下面的滑块拉绳子，注意三件事：测力计的读数；重物和手分别往哪个方向动；以及两把尺子。蓝色的尺子表示重物升高了多少，橙色的尺子表示手拉了多长的绳子。绳子上每隔 20 cm 画着深色记号，可以看到绳子本身绕着轮子滑过去。

重物挂在一段绳子上，这段绳子用拉力 $T$ 把它向上拉。匀速提升时，这一个向上的力必须和重力平衡，所以 $T = mg$：4 kg 时 $T = 39.2\,\text{N}$，和直接用手提一样。绳子是同一根，手向下拉下 30 cm 绳子，另一边就有 30 cm 绳子被拉上去，重物升高 30 cm。定滑轮既不省力，也不省距离。它改变的是方向：我们往下拉，重物往上走；往下拉更容易，因为可以借助自己的体重。

在加更多滑轮之前，我们需要一个可靠的方法来求力，因为很快绳子会来回绕好几次，很难看清哪一段在做什么。方法是这样的：围着和重物一起向上运动的那部分画一个框，只看穿过框的边的力。重力把框里的重物向下拉，大小是 $mg$。绳子也会穿过框的边，被框切断的每一段绳子都用拉力 $T$ 把框里的东西向上拉。

匀速提升时，框里所有东西受到的力是平衡的。如果框切断了 $n$ 段绳子，向上的力加起来是 $nT$，它必须等于向下的重力：$nT = mg$。两边都除以 $n$，就得到拉力 $T = mg / n$。框里两个物体之间的力（比如动滑轮拉重物的力）不用管：一个把另一个向上拉，另一个就以同样大小的力把它向下拉，合起来什么也不增加。

在定滑轮上试一试。打开“框”和“力的箭头”：框里只有重物，它切断了一段绳子，所以 $n = 1$，$T = mg / 1 = mg$，和前面的结果一样。框顶上的橙色箭头是这段绳子的拉力，蓝色箭头是重力；两者一样长。

现在把绳子的一端系在横梁上。绳子向下，从一个轮子下面绕过，再向上回到手里。这个轮子没有固定在任何东西上：它挂在绳子绕成的环里，重物挂在它下面的环上，所以重物升高时轮子也一起升高。它叫作动滑轮。

把框画在动滑轮和重物周围，因为它们一起向上运动。现在框的上边切断了两段绳子：一段从横梁下来，一段向上通到手里。它们属于同一根绳子，所以都用同样的拉力 $T$ 向上拉。$n = 2$，所以 $2T = mg$，$T = mg / 2$，是原来的一半。横梁拉着一段绳子，我们的手拉着另一段，横梁承担了一半的重力。

在画面里核对一下：测力计的读数应该是重力的一半。注意现在手是往上拉的；后面我们会解决这一点。

拉 20 cm 绳子，再看尺子：重物只升高了 10 cm。为什么只有一半？想一想绳子的长度，它永远不变。动滑轮和重物升高 $h$ 时，从横梁到轮子的那段绳子变短了 $h$，因为它的上端系在横梁上不动，下端却升高了。从轮子到手的那段绳子，下端也升高了 $h$，同样变短 $h$。两段一共多出 $h + h = 2h$ 的绳子，绳子不会凭空消失，所以这些绳子全都从手那一端出来了。于是手要拉 $s = 2h$。

绳子上的记号能显示这一过程。看最靠近横梁的记号：它几乎不动，因为这段绳子系在那里。手那一段上的记号向上移动的速度是轮子的两倍。轮子会转动，是因为它的左边贴着不动的绳子，而中心却在升高。

一半的力，两倍的距离：这是巧合吗？把 4 kg 的重物提高 1 m，手向上用 39.2 N 的力，走过 1 m，做的功约 39 J（$1\,\text{J} = 1\,\text{N} \times 1\,\text{m}$）。重物升高，就把这份功存成了重力势能，大小是 $mgh$。功和能量页面把功定义成力乘以距离；没读过也不要紧，用上面这个数就能核对。我们的手做的功是 $Fs$，重物得到的重力势能是 $mgh$。对动滑轮来说，$F = T = mg/2$，$s = 2h$，所以手做的功是 $\tfrac{mg}{2} \times 2h = mgh$，正好等于重物得到的能量。

所以滑轮从来不会白白给我们能量。能量是守恒的：重物得到多少，我们的手就要付出多少。滑轮只是让我们做一个交换：用更小的力，拉更长的距离。下面的读数把两边都换算成焦耳（$1\,\text{J} = 1\,\text{N} \times 1\,\text{m}$，所以先把厘米换成米），你拉多少都可以核对。

往上拉很不方便，所以在横梁上动滑轮旁边加一个定滑轮。绳子离开动滑轮后，向上绕过定滑轮，再向下回到手里。这样我们又可以往下拉了。

力变了吗？围着向上运动的部分画框：动滑轮和重物。框的上边切断了从横梁下来的一段和通往定滑轮的一段，所以仍然是 $n = 2$，$T = mg / 2$。向下通到手里的那一段在框外：它拉的是我们的手，而不是运动的部分，所以不算。定滑轮只改变了拉力的方向，别的什么也没改变，和第 3 章一样。

要更省力，就要让更多段绳子托住运动的部分。这里两个动滑轮并排挂着，用一根横杆连在一起，重物挂在横杆上。横梁上挂着两个定滑轮。绳子一端系在横梁上，然后这样走：① 向下绕过第一个动滑轮的下面；② 向上绕过第一个定滑轮的上面；③ 向下绕过第二个动滑轮的下面；④ 向上绕过第二个定滑轮的上面，再向下到手里。这种装置叫作滑轮组。

围着两个动滑轮、横杆和重物画框。框的上边切断了四段绳子，所以 $4T = mg$，$T = mg/4$。4 kg 时 $T = 39.2\,\text{N} \div 4 = 9.8\,\text{N}$，是重力的四分之一。第五段绳子，也就是通到手里的那一段，同样在框外。

距离可以用和前面一样的道理来求。运动的部分升高 $h$ 时，托住它的四段绳子每段都变短 $h$，一共多出 $4h$ 的绳子，全部从手那一端出来：$s = 4h$。拉 40 cm，重物升高 10 cm。能量核对同样成立：$Fs = \tfrac{mg}{4} \times 4h = mgh$。

这一页的每一种装置都遵循同样两条规律。如果围着运动部分的框切断了 $n$ 段绳子，那么 $T = mg / n$，$s = nh$。段数越多，力越小，要拉的绳子越长，两者的乘积，也就是功，始终是 $mgh$。

滑轮问题里的大多数错误，都是因为把不托住运动部分的绳子也数了进去。下面三个习惯能帮上忙。

真实的滑轮所需的力比 $mg / n$ 稍大，原因有两个。动滑轮和横杆本身也有重量，它们和重物一起升高，所以框里也包括它们的重力。另外，轮子和轴之间有摩擦，绳子绕过轮子时还要弯曲，所以我们做的功有一部分变成了热，没有用来提升重物。工程师用效率 $\eta$（希腊字母，读作“伊塔”）描述第二个影响，它表示手做的功中没有因摩擦变成热的部分所占的比例：$\eta = 0.85$ 就是 85%。手做 100 J 的功，85 J 用来提升重物，15 J 变成热。

把两个影响一起算。动滑轮重 0.5 kg、四段绳子、$\eta = 0.85$ 时，要提起的质量是 $4 + 0.5 = 4.5\,\text{kg}$，它的重力是 $4.5 \times 9.8 = 44.1\,\text{N}$。手实际要出的力是 $\dfrac{44.1}{4 \times 0.85} \approx 13.0\,\text{N}$，而不是 $9.8\,\text{N}$。写成字母：框里的质量变成 $m + m_{\text{block}}$，而手做的功 $Fs$ 中只有 $\eta$ 这一部分用来提升它。把它升高 $h$ 需要 $(m + m_{\text{block}})\,gh$ 的功，又因为 $s = nh$，所以 $\eta F nh = (m + m_{\text{block}})\,gh$。两边同时除以 $\eta nh$，得到 $F = \dfrac{(m + m_{\text{block}})\,g}{n\,\eta}$。用下面的控件试一试：动滑轮重 0.5 kg，四段绳子，$\eta = 0.85$ 时，提起 4 kg 需要 $\dfrac{4.5 \times 9.8}{4 \times 0.85} \approx 13.0\,\text{N}$，而不是 $9.8\,\text{N}$。滑轮越加越多，帮助就越来越小，因为每个滑轮都会增加重量和摩擦。

这就是为什么起重机的吊钩滑轮有好几个轮子，却不会有几十个；也是为什么水手会根据用途选择绳子的段数。这一页的想法仍然决定着设计：数一数托住运动部分的绳子，并记住每省下一牛的力，都要多拉一段绳子。