牛顿三大运动定律

01在三种不同的地面上松手

想象把同一块方块放在砂纸上推，再放到光滑的瓷砖上推。在这里的比较中，砂纸提供的阻力较大，松手后方块停得较早；瓷砖上的方块滑得更远。那么，继续把摩擦减小，直到完全没有摩擦，又会怎样？为了公平比较，下面三块相同的方块在松手瞬间具有相同的初速度。我们比较的是松手以后发生什么，不是此前用了多大的推力。

三条轨道从后向前依次是砂纸、瓷砖和理想的无摩擦地面。点击“播放松手后的运动”，或者拖动时间滑块。每块方块的质量都是 2 千克（kg）。力是推或拉。蓝色箭头表示速度。橙色箭头表示摩擦力；它的单位 N 读作“牛顿”。这里手的推力始终为零。保持向右 4 m/s，就意味着每秒向右走 4 米。横向拖动可以旋转模型，右下角可以放大、缩小和恢复视角。为了看清表面与接触，方块相对运动距离作了放大。

力描述的是一个物体对另一个物体的推或拉。手推方块，地面也会通过摩擦力作用于方块，这是不同的相互作用。你的手感到的阻力，是方块在反过来推你的手，第三定律会解释它。这里的摩擦力阻碍相对滑动。手松开了，摩擦力却还在，所以方块会慢下来。当它已经停下，也没有别的水平力试图让它滑动时，本模型中的水平摩擦力为零。

没有摩擦的方块保持了原来的速度，不需要另一个力不断给它“补充运动”。这种保持原有运动状态的性质叫作惯性。动画展示的是理想模型，并不是在证明某块真实地面的摩擦恰好为零。

我们站在实验室地面上观察，把它近似看成惯性参考系：在这样的参考系里，不受合力的物体保持速度不变。对于这里短时间、普通速度的实验，可以忽略地球自转的影响。模型忽略空气阻力，地面向上的支持力与重力平衡；图中画出会改变沿轨道运动的水平力。

02合力为零，不一定是完全没有力

“合力”就是我们选定的物体所受各个力合起来的效果。先选方块作为研究对象：你用 8 N 向右推，朋友沿同一直线用 8 N 向左推。规定向右为正，水平合力就是 $8-8=0\,\text{N}$。如果方块原来静止，它会继续静止；如果原来已经向右运动，它会继续保持原来的速度。平衡的两个力不会把原有速度消掉。

选好初始状态，按播放观察。橙色箭头是你对方块的推力，紫色箭头是朋友对同一方块的推力，蓝色表示速度。前两个选项的受力完全相同，初始速度却不同。第三个选项中，朋友不再推，方块就会加速。切换选项会把时间归零。

注意刚才相加的是什么：两个力都作用在同一块方块上。我们没有把你受到的力与朋友受到的力混在一起。到了第三定律，认清受力对象会更加重要。

03速度怎样改变，力与它有什么关系

现在来推一块原来静止的方块。轻轻推，在一秒里它的速度只增加一点；对同一块方块施加更大的合力，同样一秒里速度就会增加更多。我们需要一个量，来比较相同时间内速度改变得有多快。这个量叫作加速度。在下面的直线运动里，正加速度表示速度向右增加；如果方块原来向右运动，负加速度就会使它慢下来。

一段时间 $\Delta t$ 内，结束速度减去开始速度，得到速度变化量。用这个变化量除以所用时间，就得到平均加速度。符号 $\Delta$ 表示变化量或间隔。例如，速度在 1 s 内从 0 增加到 4 m/s，平均加速度就是 $(4-0)/1=4\,\text{m/s}^2$。单位 m/s² 表示每秒速度改变多少 m/s。下面的例子中加速度恒定，因此这个平均值也等于整个时段内的加速度。

只有力的大小重要吗？假设你的方块质量是 100 kg，朋友的只有 1 kg。要让两块方块获得相同的加速度，你需要对自己的方块施加更大的合力。质量衡量物体的速度有多难被改变，单位是千克 kg。质量与重量不同，重量是地球对它的引力；即使水平面完全没有摩擦，100 kg 的方块也更难加速。

切换下面三组比较。后面的轨道放方块 1，前面的轨道放方块 2。两块都从静止开始，标出的恒定合力持续作用 1 s；播放时用 3 秒展示这一秒。蓝色箭头表示速度，橙色箭头表示力。标签给出连同上方配重在内的总质量，以数值为准，不靠模型的大小猜质量。浅色方块每隔 0.25 s 留下一个位置；间隔越来越大，表示相同时间内走过的距离越来越长。

只说“力越大，加速度越大”，还不能得到 $F=ma$。实验支持的是更具体的正比和反比关系：质量不变时，合力加倍，加速度也加倍；合力不变时，质量加倍，加速度减半。把两者合起来，就有 $F_{ ext{net}}=kma$。把使 1 kg 获得 1 m/s² 加速度的力定义为 1 牛顿（N），就使 $k=1$。在 $F=ma$ 里：$F_{ ext{net}}$ 是合力，$m$ 是质量，$a$ 是加速度。

牛顿这个单位是定义出来的；力、质量和加速度之间的正比、反比关系，则是可以由实验检验的物理规律。规定一个单位，并不能证明这些关系。合力为零、质量大于零时，a=Fₙₑₜ/m=0，所以速度不变，与第一定律一致。

先用砂纸上的数字看一遍：4 m/s 的方块在 2 s 内减到 0，平均每秒减 2 m/s；平均速度是 2 m/s，所以走了 4 m。下面的字母公式只是把同一件事写成通用式子。图中位置也可以算出来。用 v₀ 表示初速度，t 表示经过的时间，v 表示结束时的速度，x 表示相对起点的位移。将 Fₙₑₜ=ma 两边除以 m，得到 a=Fₙₑₜ/m。加速度恒定时，经过 t，速度改变 at，所以 v=v₀+at。因为速度均匀改变，这段时间的平均速度是 (v₀+v)/2。再乘以时间 t，得到位移 x=v₀t+at²/2。前面的滑行比较中，a 在停下前为负；停下后 v 保持为零，摩擦不会继续把方块拉着倒退。

回到砂纸上的方块：m=2 kg，Fₙₑₜ=−4 N，所以 a=−4/2=−2 m/s²。它从 4 m/s 开始，经过 2 s 停下，因为 4−2×2=0。停下前的平均速率为 (4+0)/2=2 m/s，因此走过 2×2=4 m。瓷砖给出 a=−1/2=−0.5 m/s²，需要 8 s 才停下；摩擦为零时，a=0，速度一直保持 4 m/s。

04墙没有动，你又为什么没动？

现在站在有足够抓地力的地面上，用手推一面固定的墙。脚向后蹬地，地面通过静摩擦力向前推你，可是你并没有向前加速。那么，你还一定受到了向后的力：墙对手的推力。墙向后推人与地面向前推人，这两个力在人身上平衡。

人和墙都保持静止。改变推力，再切换视图。在“相互作用的一对力”中，橙色表示人对墙的力，紫色表示墙对人的力，要沿着每个箭头找它所作用的物体。单独查看一个物体时，显示的两个力都作用在这个物体上，下方的同色图例写出谁对谁施力。手、脚、墙和地基在各个视图里都保留，可以旋转模型查看接触位置。

看小车碰到带软垫的墙

碰撞能把向后的力表现得更明显。这里用玩具小车来代替人。接触前，小车向右运动；接触时，墙向左推小车，小车也向右推墙。向左的力先让小车向右的速度降到零；如果弹性软垫继续推，小车就开始向左运动。注意：速度恰好为零的那个瞬间，加速度并不一定为零。

这个简化的弹性模型中，小车初速度为 +2 m/s，接触中受到恒定的 −4 N 合力。在速度恰好为零的瞬间（$v=0$），加速度并不为零（$a=-4\,\text{m/s}^2$）。持续的力使速度反向。无论是否反弹，第三定律始终成立。

05现在，在手与墙之间放一块方块

方块当然会受到力：手把方块推向墙，墙把方块往回推。如果方块保持静止，这两个力就在方块上平衡。不过，它们不是彼此的反作用力。要找第三定律中的另一半，需要在同一种相互作用中交换施力者和受力者。

选择手—方块的一对力，查看接触位置旁的两根箭头。换成方块—墙的一对力，比较它们的施力者和受力者。“方块受到的力”则把作用在方块本身上的力放在一起。下方同色图例写出每个力的来源和对象，两处接触也始终留在画面里。方块通过微小的形变传递推压作用，但手—方块、方块—墙仍然是两次不同的相互作用。

现在可以回到最初的问题了。保持速度不变不需要持续的合力，惯性维持原有运动；合力改变速度，质量决定改变的难易（$F=ma$）；每次相互作用都有大小相等、方向相反的成对作用力，作用在不同物体上（$F_{A o B} = -F_{B o A}$）。

06把三条定律连起来用

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