CALCULUS · BEFORE DIFFERENTIATION
极限：趋近与增长 假设一辆车 2 小时走了 100 km，那么整段路程的平均速率 是 100 ÷ 2 = 50 k m / h 100 \div 2 = 50\ \mathrm{km/h} 100 ÷ 2 = 50 km/h 某一时刻的速度 ，就要先取包含这一时刻的一小段时间，用这段路程除以这段时间。时间间隔不能直接设为 0，因为这样无法相除。我们可以让它越来越短 ，看看这些平均速率是否趋近同一个数；若存在这样的极限 ，就用它描述这一时刻的速率。
这一页要讨论函数和它的图像；如果还不熟悉函数，先读 函数 页面，那里从表格和图像讲起。在把它用于速度或斜率之前，我们先单独研究“趋近 ”。假设我们想知道，当 x 越来越接近一个数时，函数的值会怎样变化。直接代入那个数，有时不能回答这个问题，因为函数在那一点可能没有定义。我们先看它附近的点：从左边靠近一次 ，再从右边靠近一次 ，同时对照表格和图像。这样就能分清“正在趋近什么 ”与“那个点的值是多少 ”。
01 · 趋近一点 02 · 相对增长 03 · 有理函数极限 01 左右两侧分别趋向哪里？播放或拖动进度，两个取样点始终不会等于 a 。切换例子，对比两侧一致、孔洞、跳跃、振荡与无界增长 。
连续多项式 跳跃：sgn x 无限振荡 可去间断 相反的无穷 同向无界增长
-1 -1 -0.2 0.2 0.6 1.4 1.4 2.6 2.2 3.8 3 5 x y ● 从左侧趋近 ● 从右侧趋近 边缘箭头表示动点已超出画面
靠近 a 时，函数值趋向哪里？ 我们写 x → a x\to a x → a x 越来越接近 a ”；写 x ≠ a x\ne a x = a 只看 a 附近，不取 a 本身 ”。极限 问的是：在这个过程里 f ( x ) f(x) f ( x ) 左极限 取 x < a x<a x < a 右极限 取 x > a x>a x > a 两侧 ，不是答案的正负。
横向放大附近
lim x → 1 x 2 = 1 = f ( 1 ) \lim_{x\to1}x^2=1=f(1) lim x → 1 x 2 = 1 = f ( 1 ) 我们把 x x x 1 + h 1+h 1 + h h h h x 2 = ( 1 + h ) 2 = 1 + 2 h + h 2 x^2=(1+h)^2=1+2h+h^2 x 2 = ( 1 + h ) 2 = 1 + 2 h + h 2 2 h + h 2 2h+h^2 2 h + h 2 ∣ h ∣ < 1 \lvert h\rvert <1 ∣ h ∣ < 1 2 ∣ h ∣ + h 2 ≤ 3 ∣ h ∣ 2\lvert h\rvert+h^2\le 3\lvert h\rvert 2 ∣ h ∣ + h 2 ≤ 3 ∣ h ∣ ∣ h ∣ \lvert h\rvert ∣ h ∣ 取得足够小 ，就能让差小于任何预先选定的正数 。因此从左右两侧靠近 1，函数值都趋于 1 。这里 f ( 1 ) f(1) f ( 1 ) 连续 。
DNE 表示“does not exist”，即不存在。有限两侧极限存在 ，当且仅当左右极限都存在且等于同一个有限数 。有限长的动画用于示意，公式则说明为什么任意接近 a 时仍遵循这个规律。
02 最终由哪一项主导？现在让输入不断增大 ，不再趋近某个有限数。幂如 x 3 x^3 x 3 指数是固定的 ，这里为 3。低次项 本身仍可能增大，但相对于最高次项会越来越小 。即使系数大到 400，也只是延后主导项占优势的时机，不改变最后的极限 。图中还会出现 e x e^x e x ln x \ln x ln x e ≈ 2.718 e\approx2.718 e ≈ 2.718 e x e^x e x e e e x > 0 x>0 x > 0 ln x \ln x ln x t t t e t = x e^t=x e t = x 把指数运算反过来 。看过图像后，我们还会构造指数函数，并说明这些增长比较为什么成立。
x 2 x 3 2x^3 2 x 3 − 2 x 2 -2x^2 − 2 x 2 1 ∣ − 2 x 2 ∣ ∣ 2 x 3 ∣ \frac{|-2x^2|}{|2x^3|} ∣2 x 3 ∣ ∣ − 2 x 2 ∣ 10 2000 -200 1 0.1 100 2.000e+6 -20000 1 0.01 1000 2.000e+9 -2.000e+6 1 0.001 10000 2.000e+12 -2.000e+8 1 0.0001 1.000e+6 2.000e+18 -2.000e+12 1 1.000e-6
二次项本身没有趋于零，其绝对值仍在增长；趋于零的是它与三次项的比值 。这才是这里“可以忽略 ”的准确含义。
0.1 -4 1.2 1.8 2.4 7.6 3.6 13.4 4.8 19.2 6 25 x y 固定线性纵轴；超出画面的曲线继续向上增长 e x e^x e x x 2 + 1 x^2+1 x 2 + 1 x x x x − 1 \sqrt{x-1} x − 1 ln x \ln x ln x 图中取 x > 0 x>0 x > 0 x − 1 \sqrt{x-1} x − 1 x ≥ 1 x\ge 1 x ≥ 1 并不能判定长期增长阶一定更高 。
例如 x − 1 \sqrt{x-1} x − 1 增长远慢于 x x x 。判断增长阶要看 x → ∞ x\to \infty x → ∞ 。
这里 f ≪ g f \ll g f ≪ g x → ∞ x\to \infty x → ∞ f / g → 0 f/g\to 0 f / g → 0 最终增长阶 的关系，不是对每个正 x x x 指数 ↔ 对数 ，幂 ↔ 根式 ，需要限定适当的定义域。
图像可以提示顺序，但只能显示有限区间 。要说明整条增长链，我们需要证明：前一个式子除以后一个式子，所得比值趋于零 。先看幂。设 q > p > 0 q>p>0 q > p > 0 正指数的幂 。
x p x q = 1 x q − p ⟶ 0 ( x → ∞ ) \frac{x^p}{x^q}=\frac1{x^{q-p}}\longrightarrow0\qquad(x\to\infty) x q x p = x q − p 1 ⟶ 0 ( x → ∞ ) 根式也在其中：x \sqrt{x} x 1 2 \tfrac12 2 1 。图中的平移根式在 x ≥ 1 x\ge1 x ≥ 1 0 ≤ x − 1 x ≤ x x = 1 x 0\le\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}} 0 ≤ x x − 1 ≤ x x = x 1 相对于 x 越来越小 。只要 x 足够大，这个上界 就可以小于任何预先选定的正数。
为什么指数函数最终会超过 任意固定的幂？我们用一种构造，把原因写在代数里 。对于 t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 e t e^t e t ( 1 + t / N ) N \left(1+t/N\right)^N ( 1 + t / N ) N 。从 N 个括号中恰好选 k 个取 t / N t/N t / N N ( N − 1 ) ⋯ ( N − k + 1 ) k ! \frac{N(N-1)\cdots(N-k+1)}{k!} k ! N ( N − 1 ) ⋯ ( N − k + 1 ) k ! k! k ! 表示 1 × 2 × ⋯ × k 1\times2\times\cdots\times k 1 × 2 × ⋯ × k
( 1 + t N ) N ≥ N ( N − 1 ) ⋯ ( N − k + 1 ) k ! t k N k ⟶ t k k ! \begin{gathered}\left(1+\frac tN\right)^N\\\ge\frac{N(N-1)\cdots(N-k+1)}{k!}\frac{t^k}{N^k}\\\longrightarrow\frac{t^k}{k!}\end{gathered} ( 1 + N t ) N ≥ k ! N ( N − 1 ) ⋯ ( N − k + 1 ) N k t k ⟶ k ! t k 各项都非负，所以只保留其中一项就得到下界 。固定 k，每个因子 ( N − j ) / N (N-j)/N ( N − j ) / N 趋于 1 ，因此 e t ≥ t k / k ! e^t\ge t^k/k! e t ≥ t k / k ! x p x^p x p e x e^x e x 大于 p 的整数 k ，就得到一个我们已经会判断的上界。
0 ≤ x p e x ≤ k ! x k − p ⟶ 0 0\le\frac{x^p}{e^x}\le\frac{k!}{x^{k-p}}\longrightarrow0 0 ≤ e x x p ≤ x k − p k ! ⟶ 0 最后，ln x \ln x ln x x = e t x=e^t x = e t 代换 的目的是把对数变成 t ，把 x p x^p x p e p t e^{pt} e pt k = 2 k=2 k = 2 p > 0 p>0 p > 0 趋于零 。这些论证说明的是长期比值 ，并不是每一个小输入处图像的上下顺序。
t = ln x ⟶ ∞ 0 ≤ ln x x p = t e p t ≤ 2 p 2 t ⟶ 0 \begin{gathered}t=\ln x\longrightarrow\infty\\0\le\frac{\ln x}{x^p}=\frac{t}{e^{pt}}\\\le\frac{2}{p^2t}\longrightarrow0\end{gathered} t = ln x ⟶ ∞ 0 ≤ x p ln x = e pt t ≤ p 2 t 2 ⟶ 0 03 让各项增长，看看差距怎样拉开保留原来的每一项。回扣上面的增长阶：三次项比二次项增长得更快 。让 x 增大 ，直接比较分子、分母中每一项的实际数值。
完整式子的值 R(x) 0.0418837
仅比较三次项：2 x 3 / 4 x 3 2x^3 / 4x^3 2 x 3 /4 x 3 0.5 统一的线性刻度 · 条长表示绝对值 满格数值 = 40 , 000 40,000 40 , 000 分子 2 x 3 2x^3 2 x 3 2 , 000 2,000 2 , 000 − 2 x 2 -2x^2 − 2 x 2 − 200 -200 − 200 分母 4 x 3 4x^3 4 x 3 4 , 000 4,000 4 , 000 400 x 2 400x^2 400 x 2 40 , 000 40,000 40 , 000 − 1000 -1000 − 1000 − 1 , 000 -1,000 − 1 , 000 数值增大时，刻度会一起拉远；六根条使用同一把尺。看右边的实际数值：二次项也在增长 ，只是三次项增长得更快 ，所以二次项的条逐渐显得短。小圆点标记不足一个像素但非零的项；负号保留在数值中。
x = 10 x = 100 x = 1,000 x = 1,000,000
在 x = 10 x=10 x = 10 系数 400 使分母中的二次项比三次项大很多 。极限描述最终趋势 ，不是说每一个 x x x
分子、分母的主导项都是三次项，增长阶相同 ；它们的系数比为 2:4 。增长较慢的项相比之下逐渐可以忽略 。注意近似号：有限的 x x x 1 2 \tfrac{1}{2} 2 1
接下来把大小比较变成精确计算 。最高次幂 是 x 3 x^3 x 3 x 3 x^3 x 3 同除一个非零数 ，分数的值不变 。这里取 x > 0 x>0 x > 0
2 x 3 − 2 x 2 + 1 4 x 3 + 400 x 2 − 1000 = 2 − 2 / x + 1 / x 3 4 + 400 / x − 1000 / x 3 \begin{gathered}\frac{2x^3-2x^2+1}{4x^3+400x^2-1000}\\=\frac{2-2/x+1/x^3}{4+400/x-1000/x^3}\end{gathered} 4 x 3 + 400 x 2 − 1000 2 x 3 − 2 x 2 + 1 = 4 + 400/ x − 1000/ x 3 2 − 2/ x + 1/ x 3 例如 400 x 2 / x 3 = 400 / x 400x^2/x^3=400/x 400 x 2 / x 3 = 400/ x 分母还剩一个 x 。x 无限增大时，1 / x 1/x 1/ x 1 / x 3 1/x^3 1/ x 3 趋于零 ；再乘固定的常数，也仍趋于零。因此分子趋于 2 ，分母趋于非零的 4 ，这时才可以取它们的比值。
lim x → ∞ 2 − 2 / x + 1 / x 3 4 + 400 / x − 1000 / x 3 = 2 − 0 + 0 4 + 0 − 0 = 1 2 \begin{gathered}\lim_{x\to\infty}\frac{2-2/x+1/x^3}{4+400/x-1000/x^3}\\=\frac{2-0+0}{4+0-0}\\=\frac12\end{gathered} x → ∞ lim 4 + 400/ x − 1000/ x 3 2 − 2/ x + 1/ x 3 = 4 + 0 − 0 2 − 0 + 0 = 2 1 教学顺序参考所提供的 Calculus from Scratch 书稿中 Limits 章节，特别是单侧极限与多项式、有理函数极限部分；本页区分有限极限与无穷极限。
