从一张表，认识你的第一个函数
自动售货机上，按 A3 掉出来的是同一瓶水，按 B1 掉出来的是同一包饼干。同一个按钮，每次的结果都一样；换了按钮，结果才跟着换。买水也是：一瓶 2 元，两瓶 4 元，三瓶 6 元。数量变了，算钱的方法没变。像这样，放进一个数，按一条固定的规则得到一个数，而且每个输入只得到一个结果——这样的规则，数学里叫作函数。
科学里的许多问题，都是在问一个量怎样随另一个量变化。把弹簧拉得更用力，它会伸长多少？球被抛出一秒以后，离地面有多高？每一次，我们都是放进一个数，按照一个固定的规则，得到另一个数。在画出这种关系、或者追问它变化得有多快之前，我们需要一种清楚的方式来谈论规则本身。这就是函数的作用。从弹簧到导数，你几乎会在本站的每一页再次遇到它。
不妨用一个可以手算的规则试试看：把一个数乘以 2，再加上 1。放进去 0，得到 1；放进去 1，就得到 1 × 2 + 1 = 3。规则没变，换的是我们选的数。表格可以保留每一组输入和结果，图上的点则给每一组数一个位置。我们要弄清的，就是同一个规则为什么可以这样表示，以及图像还能告诉我们什么。这一页只用到乘法和加法；字母第一次出现时，我们会说明它代表什么。
用规则算出表中的数
01 / 05把输入记作 ，把输出记作 。 就是 ， 是「乘以 2 后加上 1」的简写。在 中，选定一个 ，把它乘以 2，在乘积上加 1，所得的数就是 。下面使用 −2、−1、0、1、2 这五个输入。表里有负数，是因为这条规则对 0 左边的数也照做；生活里没有负一瓶水，负数只是让规则连续走几步给我们看。同一行里的两个数是一对，分别记录输入和对应的输出。
乘以 2 后加上 1
x 是我们代入的数，y 是按规则算出的结果。表格把这一对数记在同一行：一个输入，对应一个输出。
把 x=−2 代入：2 × (−2) + 1 = −3。因此，这一行记下输入和对应的输出。
现在，自己来描一次
练习这一块要自己动手。它用到的坐标画法在「02 坐标系」和「03 逐个描点」里；还没看的话，可以先去那两个标签看一眼，练习会一直在这里。规则换成 y=3x-1：3x 就是 3×x，−1 就是最后减去 1。乘在 x 前面的 3 叫系数，最后加上的 −1 叫常数；系数决定 x 每增加 1 时 y 增加多少，常数决定这条线从哪里开始。把表里每个 x 对应的 y 算出来填进去；再把 (x,y) 点到网格上，x 管左右、y 管上下。点错了，再点一下那个点就能拿掉。五个点都放对，直线才会出现。卡住时展开下面的「逐行查看计算过程」，一行一行核对自己的算式。五个点都合规则，还说明不了整条线为什么是直的，这一点下面会讲。
还需要描 5 个点。五个点都正确后，会自动连成图像。
逐行查看计算过程
每个等式都从左边读到右边：乘系数，加常数。括号里的坐标把 x 写在前，算出的结果写在后。核对完一行，收起说明，把这一行自己在网格上点一遍。
（进阶，看不懂可以跳过。）完整的图像为什么是直线？把 x 前面乘的数记作 m，最后加的常数记作 c。让 x 增加一小段 h，h 不是 0：新的输出是 m(x+h)+c，旧的输出是 mx+c。两个输出相减，c 和 mx 都抵消，只剩 mh。也就是说，x 每增加 1，y 就增加 m，每次增加的量都一样；点按同样的步长往上走，连起来就是一条直线。这个固定的变化量叫斜率。只检查五个点，证明不了整条线都是这样。
前五步只使用 这一个例子， 可以是任何数；最后的练习换用新的规则。每张表列出五组示例，坐标窗口只显示完整直线的一部分。离开前试一次：输入是 3 时，这条规则给出的 是多少？（。）
