展开式的系数，从哪里来？
如果同一个括号要自乘很多次，比如 ，会得到什么？把每一次相乘都写出来很快就会变得很长，可这样的展开却经常出现。例如，求 这样一条曲线的斜率，就需要展开 ；导数页面对 用到的正是同一类式子。计数问题也会出现同样的结构，因为每个括号都给我们一次“二选一”。展开两个括号的方法，是用一个括号里的每一项去乘另一个括号里的每一项（因式分解页面用过这个方法）；这里我们要找一个更快的办法来处理很多个括号。曲线斜率只是这类展开出现的一个地方；如果还没有见过它，可以先跳过这个例子，后面的内容从括号相乘和数取法讲起。
我们先看 ，也就是 。为什么最后会出现 ，而不是只有一个 ？先把四次相乘逐个写出来，再增加一个括号。把这些选择记录清楚，就能找出更高次幂的规律。
01两个括号，四种取法
分配律告诉我们 ：分别相乘，再把结果相加。对两个括号都这样做：第一个括号取 a 或 b，第二个括号再取 a 或 b。可以播放、暂停，也可以逐项收集。
指数 2 表示 2 个 (a+b) 相乘。展开时，从每个括号各取一个字母，把取出的字母相乘。
取法 ab 与 ba 的括号位置不同，但普通数的乘法满足 ab = ba，所以它们的乘积相等。相加就是 ab + ab = 2ab。注意：a² 中的 2 数的是相乘的 a；2ab 中的 2 数的是相加的同类项。
02三个括号，开始数位置
现在每一种取法都包含三个字母，因此指数之和总是 3。要得到 ，就需要两个括号取 、剩下一个括号取 。图中保留了全部八种取法，你可以找出其中得到 的三种，并比较它们选中了哪些位置。
指数 3 表示 3 个 (a+b) 相乘。展开时，从每个括号各取一个字母，把取出的字母相乘。
为什么 会出现三次？
三个括号各占一个不同的位置。选两个位置取 a，剩下的位置就必须取 b。也可以反过来，只选出那一个取 b 的位置。
选择位置 1, 2
选择位置 1, 3
选择位置 2, 3
这是对同样三种取法的两种计数方式，不是六种不同取法。组合数只数选中了哪些位置，不把点击这些位置的先后顺序重复计算。
这两种写法都读作「从 个中选 个」。 是可选位置的总数， 是需要选的位置数。这里 ；数 的位置时 ，数 的位置时 。
03 个括号，选 个取
用 表示取 的括号数。其余括号都取 ，所以有 个 ，乘积就是 。系数是「从 个位置中选 个」的组合数，因为每一种这样的位置选择都会得到相同乘积。这里的 就是前面 中的 。
2 个 a 与 3 个 b 相乘。点击上方任意括号，即可切换它选取的字母。
= 10 种不同取法，得到同一种乘积。
从 5 个位置中选 2 个取 a，剩下 3 个位置必须取 b。这样的取法共有 10 种，所以 a²b³ 的系数就是 10。
各项按 a 的个数从 0 到 n 排列。点击某一项，即可查看它的系数所对应的全部取法。项的顺序改变，不影响相加的结果。
从 开始：每个括号都取 ，得到一次 。让 逐个增加，直到 ：每个括号都取 ，得到一次 。这样就把全部取法恰好列了一遍，并按乘积归为同类项。
是「把这些项相加」的简写。下方 告诉我们从哪里开始，上方 告诉我们在哪里结束。指数告诉你选了什么，系数告诉你有多少种取法。这就是二项式定理。
这里 是非负整数。指数为零的因子省略不写； 时展开式为 1。交互演示最多取 ，但上述计数方法适用于任意非负整数 。
