ALGEBRA · 01
因式分解与求根公式 一个球从一定高度被抛出，t t t t 2 t^2 t 2 t t t 抛体运动 页面说明了这个式子从哪里来）。式子里的每一段叫一项。比如 x 2 + 5 x + 6 x^2+5x+6 x 2 + 5 x + 6 x 2 x^2 x 2 5 x 5x 5 x 6 6 6 6 6 6 x 2 x^2 x 2 x 2 + 5 x + 6 = 0 x^2+5x+6=0 x 2 + 5 x + 6 = 0 二次方程 。球什么时候落地？我们要找使高度等于零的 t t t 函数 页面那样；这里的问题是倒过来的 ：已知想要的输出，要找出产生它的输入。
我们可以把 ( x + 2 ) ( x + 3 ) (x + 2)(x + 3) ( x + 2 ) ( x + 3 ) x 2 + 5 x + 6 x^2 + 5x + 6 x 2 + 5 x + 6 x ⋅ x = x 2 x\cdot x=x^2 x ⋅ x = x 2 x ⋅ 3 = 3 x x\cdot 3=3x x ⋅ 3 = 3 x 2 ⋅ x = 2 x 2\cdot x=2x 2 ⋅ x = 2 x 2 ⋅ 3 = 6 2\cdot 3=6 2 ⋅ 3 = 6 x x x 3 x + 2 x = 5 x 3x+2x=5x 3 x + 2 x = 5 x x 2 + 5 x + 6 x^2 + 5x + 6 x 2 + 5 x + 6 5 x 5x 5 x 倒过来比展开难 ；把和写成几个括号相乘，叫因式分解 。我们会先看展开式中的每一项是怎样乘出来的，再倒过来思考；如果找不到合适的整数，就继续用配方 的方法求解，配方最后会给出求根公式 。
01 · 四项乘积 02 · 十字相乘 03 · 凑成完全平方 01 每一项从哪里来？平方表示两个相同的括号相乘 ，不是简单地把每项各自平方。选择下面的公式，再播放全部四种取法。
括号 1 ( a + b ) 括号 2 ( a + b ) a² ab ab b² (a+b)² (a−b)² (a+b)(a−b)
取法 1 a ⋅ a = a 2 a\cdot a=a^2 a ⋅ a = a 2 取法 2 a ⋅ b = a b a\cdot b=ab a ⋅ b = ab 取法 3 b ⋅ a = a b b\cdot a=ab b ⋅ a = ab 取法 4 b ⋅ b = b 2 b\cdot b=b^2 b ⋅ b = b 2 **乘法分配律**：从**每个括号**各取一项，相乘，再把所有四种乘积加起来。
x 2 + 6 x + 9 = x 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ x + 3 2 = ( x + 3 ) 2 x^2+6x+9=x^2+2\cdot3\cdot x+3^2=(x+3)^2 x 2 + 6 x + 9 = x 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ x + 3 2 = ( x + 3 ) 2 把恒等式反过来读 ：这里 x 对应 a，3 对应 b。
( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 (a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2 ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 ab + b 2 ± \pm ± + b 2 +b^2 + b 2 b ⋅ b b\cdot b b ⋅ b ( − b ) ( − b ) (-b)(-b) ( − b ) ( − b ) b 2 b^2 b 2 ( a + b ) ( a − b ) (a+b)(a-b) ( a + b ) ( a − b ) − b 2 -b^2 − b 2
02 用展开规律，反找因子对于 a x 2 + b x + c ax^2+bx+c a x 2 + b x + c ( A x + B ) ( C x + D ) (Ax+B)(Cx+D) ( A x + B ) ( C x + D ) A A A B B B C C C D D D a a a b b b c c c a a a 二次项系数 。展开时，从每个括号各取一项相乘，得到四项，其中两个含 x x x a x 2 + b x + c ax^2+bx+c a x 2 + b x + c x x x 分别比较二次项、一次项和常数项 ，就得到下面三个条件。
x 的系数 常数项 1x -2 2x 2 AD = 2 BC = -4 AD + BC = -2 AC = 2 BD = -4 例题 1 例题 2 例题 3 例题 4
先为二次项系数 和常数项 选择因子。交叉乘积之和还必须等于一次项系数 。这里的十字相乘 ，是把 A A A D D D B B B C C C
AC = 2A = -2, C = -1 A = -1, C = -2 A = 1, C = 2 A = 2, C = 1 BD = -4B = -4, D = 1 B = -2, D = 2 B = -1, D = 4 B = 1, D = -4 B = 2, D = -2 B = 4, D = -1 匹配成功：-2 正是所需的一次项系数 -2，因式分解成立。
显示一组正确配对 2 x 2 − 2 x − 4 = ( x − 2 ) ( 2 x + 2 ) 2x^2-2x-4=(x-2)(2x+2) 2 x 2 − 2 x − 4 = ( x − 2 ) ( 2 x + 2 ) 1 ⋅ 2 = 2 , ( − 2 ) ⋅ 2 = − 4 , 1 ⋅ 2 + ( − 2 ) ⋅ 2 = − 2 1\cdot2=2,\quad(-2)\cdot2=-4,\quad1\cdot2+(-2)\cdot2=-2 1 ⋅ 2 = 2 , ( − 2 ) ⋅ 2 = − 4 , 1 ⋅ 2 + ( − 2 ) ⋅ 2 = − 2 若这个式子等于零，就有 ( x − 2 ) ( 2 x + 2 ) = 0 (x-2)(2x+2)=0 ( x − 2 ) ( 2 x + 2 ) = 0 为什么一定有一个因子为零？ 如果 x − 2 x-2 x − 2 2 x + 2 = 0 2x+2=0 2 x + 2 = 0 x − 2 = 0 x-2=0 x − 2 = 0 x = 2 x=2 x = 2 2 x + 2 = 0 2x+2=0 2 x + 2 = 0 x = − 1 x=-1 x = − 1 配方 处理这些情况。
03 一步一步，推出求根公式二次方程的标准形式是 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a ≠ 0 a\ne 0 a = 0 完整的平方 ，再逐步解出 x x x 开方 ，结果有正负两种可能 ：比如 ( x + 3 ) 2 = 16 (x+3)^2=16 ( x + 3 ) 2 = 16 x + 3 x+3 x + 3 4 4 4 − 4 -4 − 4 ∣ a ∣ |a| ∣ a ∣ a a a
面积例子：x 2 + 6 x x^2 + 6x x 2 + 6 x 6 x 6x 6 x 分成两个面积为 3x 的长条 ，把一个移到正方形下方。这里 x > 0 x > 0 x > 0
x² 3x 3x 3² x 3 x 3 缺角面积是
3 × 3 = 9 3 \times 3 = 9 3 × 3 = 9 。补上后，得到边长为
x + 3 x+3 x + 3 的正方形。
b b b 为负时使用同样的代数恒等式，不把负数当作实际边长。
推导步骤 1 / 9 二次项系数 a 不能为零 ，否则不是二次方程。
上一步 下一步
a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0\quad(a\ne0) a x 2 + b x + c = 0 ( a = 0 ) 二次项系数 a 不能为零 ，否则不是二次方程。a x 2 + b x = − c ax^2+bx=-c a x 2 + b x = − c 等式两边同时减去 c ，把含 x 的项留在左边。 x 2 + b a x = − c a x^2+\frac ba x=-\frac ca x 2 + a b x = − a c 两边同除以非零的 a ，使 x² 的系数变为 1。 h = b 2 a , 2 h x = b a x h=\frac{b}{2a},\quad 2hx=\frac ba x h = 2 a b , 2 h x = a b x 用 h 避免字母混淆：(x+h)² 的中间项是 2hx，所以 h 是 x 系数的一半 。 ( x + h ) 2 − h 2 = − c a (x+h)^2-h^2=-\frac ca ( x + h ) 2 − h 2 = − a c 由 x²+2hx=(x+h)²−h²，补上一个 h² ，再减掉同样的量。 ( x + b 2 a ) 2 = b 2 4 a 2 − c a \left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac ca ( x + 2 a b ) 2 = 4 a 2 b 2 − a c 把 −h² 移到右边 ，代入 h=b/(2a)。 ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 \left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} ( x + 2 a b ) 2 = 4 a 2 b 2 − 4 a c 通分 ：−c/a=−4ac/(4a²)。分子就是判别式 Δ 。x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 ∣ a ∣ x+\frac b{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|} x + 2 a b = ± 2∣ a ∣ b 2 − 4 a c 当 Δ≥0 时开方 ，取正负两种可能 。严格地说，√(4a²)=2|a|。 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a \boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c 移去 b/(2a)。± 已包含两个符号 ，因此用 2a 代替 2|a| 只会交换两个答案的顺序。 根号告诉了我们什么？ Δ = 0 \Delta=0 Δ = 0
x = − 3 x=-3 x = − 3 
