三角函数 · 从边长比到坐标

单位圆与三角函数

角度在物理中随处可见。在斜面实验里，物体的重力只有一部分沿斜面拉动它，而这一部分有多大，取决于斜面的角度。在直角三角形中，正弦和余弦就是用边长的比来表示这样的“一部分”。可是，一个转动的轮子，比如转动页面中的转盘，会转过大于 90° 的角，转完一整圈以后还会继续转。这样的角画不进直角三角形里，那么它们的正弦和余弦应该是什么意思呢？

在画出整个圆之前，我们先认清直角三角形的三条边，再把斜边变成 1 个单位长。这样，边长的比就可以读成一个点的坐标。等这一步清楚以后，这个点就可以沿着圆继续移动，而同一个定义对任何角都仍然适用。

01先认识这三条边

选左下角的锐角为 $\theta$ 。斜边正对 90° 的直角，是最长的一条边；对边正对 $\theta$ ；邻边紧挨着 $\theta$ ，但不是斜边。

正弦、余弦和正切：三条边的比

\sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{O}{H}

正弦 · 对边除以斜边

\cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}=\frac{A}{H}

余弦 · 邻边除以斜边

\tan\theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}=\frac{O}{A}

正切 · 对边除以邻边

$O$ 、 $A$ 、 $H$ 在这里是三条边长的缩写，不是点。只要锐角 $\theta$ 相同，相似直角三角形即使大小不同，这三个边长比也相同。

这里定义的是比值，而不是某一条边长。接下来，半径为 1 会让其中两个比值直接变成坐标。

02让斜边，恰好等于 1

把 $\theta$ 放在原点，让邻边沿 $x$ 轴正方向。保持 $\theta$ 不变，将三角形缩放到 $H = 1$ ：相似三角形的边长比不会改变。先提醒一句：单位圆是满足 $x^2+y^2=1$ 的所有点，圆上每一点到原点的距离都是 1。此时斜边就是单位圆的一条半径，端点是 $P = (x, y)$ 。例如，一开始三条边长分别是 $A=4$ 、 $O=3$ 、 $H=5$ 。我们把每一条边都除以 5，得到 $A=4/5$ 、 $O=3/5$ 、 $H=1$ 。三条边按同一个倍数缩放，角度不变，而对边与斜边的比仍是 $(3/5)/1=3/5$ 。把邻边放在横轴上，端点坐标就是 (4/5,3/5)。一般地，把 $A$ 、 $O$ 、 $H$ 都除以 $H$ ，得到的坐标为 $(A/H,O/H)$ ，因此分别等于 $\cos \theta$ 、 $\sin \theta$ 。

先在第一象限中看

这里的 x、y 都为正。水平直角边的长度 $A = x$ ，竖直直角边的长度 $O = y$ ，斜边的长度 $H = 1$ 。

\sin\theta=\frac{O}{H}=\frac{O}{1}=O=y

正弦，就变成了纵坐标。

\cos\theta=\frac{A}{H}=\frac{A}{1}=A=x

余弦，就变成了横坐标。

\tan\theta=\frac{O}{A}=\frac{y}{x}

锐角

\theta

40°

P=(\cos\theta,\sin\theta)

这个坐标关系直接来自上面的比值定义。改变 $\theta$ 试试看：两条直角边会变化，但半径始终是 1。

03用坐标，把定义推广到任意角

从 $x$ 轴正方向量起：逆时针为正，顺时针为负。走出第一象限后，只看三角形的边长无法表示正负号。我们把单位圆端点的横坐标定义为 $\cos \theta$ ，纵坐标定义为 $\sin \theta$ 。它与锐角时的定义一致，而且绕圆一整圈仍然适用。

cos θ = x0.77

sin θ = y0.64

tan θ = y / x0.84

角度

\theta

40°

\cos\theta=x,\qquad\sin\theta=y

象限	cos θ · x	sin θ · y
1	+	+
2	−	+
3	−	−
4	+	−

在其他象限中，仍然能画出参考直角三角形。它的两条边长是 |x|、|y|，始终非负；带正负号的是坐标 x、y。

再转一整圈，端点回到原处：角度加上 360°，正弦和余弦不变。例如，450° 和 90° 对应同一个坐标点。

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\quad(\cos\theta\ne0)