圆锥曲线：用平面切开圆锥会得到什么

先把现实情况作适当简化：只考虑太阳与一颗行星的引力、把两者看作质点时，有界且不发生碰撞的轨道是椭圆，圆是其中的特殊情形。理想圆锥形光束照到平墙上，边界也可能是椭圆；忽略空气阻力并把重力加速度看作恒定时，斜抛小球的轨迹是抛物线。这些曲线看起来各不相同，却都能从同一个物体上得到：一个圆锥。古希腊人发现，用一个平面去切圆锥，随着平面倾斜程度的不同，切口会是圆、椭圆、抛物线或双曲线，所以这些曲线合称圆锥曲线。我们在单位圆页面已经用过圆的方程；如果那个方程还不熟，先读那一页。这一页会看到，椭圆只是被拉长的圆。

你可以转动切割面，观察切口何时闭合、何时向远处延伸。不同曲线的区别就在这些切法中。椭圆还可以用另一种构造来研究：把圆心处重合的两个焦点分开，并保持到两点的距离和不变。这个构造能帮助我们推导它的方程。为了比较曲线的形状，我们还需要一个数，叫作离心率；它也会把椭圆与抛物线、双曲线联系起来。

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用平面切开圆锥，切口是什么曲线？

取一条与竖直轴相交于一点的直线，让交点保持不动，把直线绕这条轴转一圈。直线扫过的曲面是顶点相对的两个圆锥，叫作双圆锥。转动中直线的每一个位置都叫作圆锥的一条母线；这里每条母线都与轴成 30°，也就是与水平面成 60°。现在用一个平面去切这个双圆锥：平面经过顶点上方 1.6 个单位处的轴上一点，我们来改变它的倾角。橙色的线是平面与圆锥相交的地方，也就是切口的轮廓。

正在准备模型…

拖动画面可以从不同角度观察圆锥；滚动可缩放。

为什么只要和母线比较陡缓，就能决定切口的类型？每条母线都是穿过顶点的直线，而一条直线与一个平面最多相交一次。如果平面比每一条母线都平缓，每条母线都会在同一个圆锥上与它相交一次，这些交点连成一个封闭的圈；如果平面与某一条母线平行，这条母线永远碰不到平面，圈就合不上；如果平面更陡，交点会分布在两个圆锥上。所以，一个圆锥加一个平面，可以得到四类曲线：圆、椭圆、抛物线和双曲线。

圆和椭圆是其中封闭的两种曲线。我们从这两种形状研究起；本页末尾会引入一个数，用它把圆、椭圆、抛物线和双曲线联系起来。

圆是怎样变成椭圆的？

圆有一个圆心，圆上每一点到圆心的距离都是同一个 $r$ 。现在把圆心分成两个点，一个向左、一个向右分开，同时让圆沿同一方向拉长，而中点上下方的高度保持 $r = 2$ 。分开的这两个点叫作椭圆的焦点。两个焦点之间的距离叫作焦距，记作 $2c$ ，所以每个焦点离中点 $c$ 。为什么这两个点值得单独命名，为什么它们恰好在这个位置，我们在下一节验证。

只有一个圆心 $O$ ，圆上每一点到它的距离都是 $r = 2$ 。

每个焦点到中点的距离 c0.00

用什么方程描述椭圆？

要用方程描述椭圆，先把它的中点放在原点，焦点放在 $x$ 轴上。从中点沿 $x$ 轴到椭圆一端的距离叫作半长轴，记作 $a$ ；从中点到最高点的距离叫作半短轴，记作 $b$ 。椭圆的标准方程是 $x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} = 1$ 。我们用上一节的想法——椭圆是拉长的圆——看看它从哪里来。

从一个圆出发

取以原点为圆心、半径为 $b$ 的圆。点 ( $x$ , $y$ ) 在圆上，就是它到原点的距离等于 $b$ ；由勾股定理，这个距离是 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ，两边平方就得到下面的方程。

x^2+y^2=b^2

向左右拉长

让每个点沿水平方向离开 $y$ 轴：横坐标乘以 $a/b$ ，高度不变。圆的左右两端 $x = \pm b$ 被移到 $\pm a$ ，最高点仍在 $b$ 。新的坐标记作 ( $X$ , $Y$ )。

X=\frac{a}{b}\,x,\quad Y=y\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{b}{a}\,X

代入，再两边同除

拉长后的点来自圆上的点，所以把 $x = (b/a)X$ 、 $y = Y$ 代入 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 。两边同除以 $b^{2}$ ，就得到标准方程；之后仍把 $X$ 、 $Y$ 写成 $x$ 、 $y$ 。

\frac{b^2}{a^2}X^2+Y^2=b^2\;\Longrightarrow\;\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1

当 $a = b$ 时，椭圆就是圆

如果 $a = b$ ，拉伸时横坐标乘以 1，什么也没变。把两个半轴都记作 $r$ ：

\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1\;\Longrightarrow\;x^2+y^2=r^2

两边同乘 $r^{2}$ ，得到 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，正是半径为 $r$ 的圆的标准方程。圆就是两个半轴相等的椭圆，两个半轴都是它的半径。

焦点为什么在那个位置？

把焦点放在 $F_{1} = (-c, 0)$ 和 $F_{2} = (c, 0)$ ，其中 $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ ，即 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ 。在椭圆上任取一点 $P = (x, y)$ 。由方程得 $y^{2} = b^{2}(1 - x^{2}/a^{2})$ ，于是

\begin{aligned}PF_1^2&=(x+c)^2+y^2\\&=x^2+2cx+c^2\\&\quad+(a^2-c^2)\Big(1-\frac{x^2}{a^2}\Big)\\&=\frac{c^2}{a^2}x^2+2cx+a^2\\&=\Big(a+\frac{c}{a}x\Big)^2\end{aligned}

因为 $|x| \le a$ 且 $c < a$ ，括号里的 $a + (c/a)x$ 是正数，所以 $PF_{1} = a + (c/a)x$ 。对 $(x - c)^{2}$ 做同样的计算，得到 $PF_{2} = a - (c/a)x$ 。两式相加，含 $x$ 的项互相抵消： $PF_{1} + PF_{2} = 2a$ ，对椭圆上每一点都成立。这就是焦点的特别之处：到两个焦点的距离之和总是同一个长度 $2a$ 。在最高点 $(0, b)$ ，两段距离相等，各为 $a$ ，由勾股定理得 $b^{2} + c^{2} = a^{2}$ ——这正是第 02 节拉伸时保持的关系。

椭圆偏离圆有多少？

椭圆是拉长的圆，所以我们想要一个数，说明它偏离圆有多少。我们希望圆的这个数是 0，椭圆越扁，这个数越大。回看第 02 节：两个焦点分得越开，椭圆越扁。同时还要考虑整个椭圆的大小，所以把距离 $c$ 与 $a$ 相比，定义离心率

e=\frac{c}{a}

圆的 $c = 0$ ，所以 $e = 0$ ，正是我们想要的。把椭圆整体放大， $c$ 和 $a$ 乘以同一个倍数， $e$ 不变：它只取决于形状。而在椭圆中 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ 且 $b > 0$ ，所以 $c^{2} < a^{2}$ ，即 $c < a$ ， $e < 1$ 。如果 $c$ 比 $a$ 还大，使 $e > 1$ ，会发生什么？

固定焦点和最近点

图中焦点 $F$ 与曲线上最近的点 $V$ 始终相距 1.5。 $V$ 离中点 $a$ ， $F$ 离中点 $c$ ，所以 $a - c = 1.5$ 。代入 $c = ea$ 解出 $a$ 。当 $e$ 接近 1 时，分母 $1 - e$ 接近 0， $a$ 无限增大：远端越跑越远。

a-c=1.5,\;c=ea\;\Longrightarrow\;a=\frac{1.5}{1-e}

一个不含 a 的方程

用点 $P$ 到 $F$ 的距离 $r$ 和从 $V$ 的方向量起的角 $\theta$ 来描述它。第 03 节得到 $PF_{2} = a - (c/a)x = a - ex$ ，其中 $x$ 从中点量起；这里的 $F$ 就是那个焦点，所以 $x = c + r \cos \theta$ 。把含 $r$ 的项合并： $r(1 + e \cos \theta ) = a - ec = a(1 - e)(1 + e) = 1.5(1 + e)$ 。

r=a-e\,(c+r\cos\theta)\;\Longrightarrow\;r=\frac{1.5\,(1+e)}{1+e\cos\theta}

越过 $e = 1$

我们可以把这个坐标公式推广到椭圆以外。推广时，把 r 改为带符号的径向坐标：负值表示沿 θ 的反方向走 |r|，实际到 F 的距离是 |r|。 $e=1$ 时，分母在 $\theta=180^\circ$ 方向为零，这个方向没有有限的曲线点，曲线是抛物线。 $e>1$ 时有两个方向使分母为零，它们之间的 r 为负，画出双曲线的另一支。图中始终按照 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ 定位。

1+e\cos\theta=0\;\Longleftrightarrow\;\cos\theta=-\frac1e

双曲线的 $c > a$

当 $e > 1$ 时，两支曲线与轴交于 $\theta = 0$ 处（ $r = 1.5$ ）和 $\theta = 180^\circ$ 处（ $r = 1.5(1 + e)/(1 - e)$ ，是负数：该点在 $V$ 的同一侧，离 $F$ 有 $1.5(1 + e)/(e - 1)$ ）。这两点间距离的一半是 $a = 1.5/(e - 1)$ ，它们的中点离 $F$ 有 $c = 1.5 + a = ea$ 。所以双曲线也用同一个 $e = c/a$ 描述，而这里 $c > a$ ，正好对应 $e > 1$ 。

一个数，四种曲线

$e = 0$ 是圆， $0 < e < 1$ 是椭圆， $e = 1$ 是抛物线， $e > 1$ 是双曲线：正是第 01 节里平面从双圆锥上切出的四种曲线。

刚才得到的抛物线，究竟是什么？

第 04 节里，我们把 $e$ 调到 1，看见一条不闭合的曲线，并把它叫作抛物线。现在不能只看它的样子：怎样算出它上面的点？这些点究竟因为满足什么条件，才属于同一条曲线？

先保留上一节的坐标：焦点 $F$ 是原点，水平正方向指向 $V$ ，并且 $FV = 1.5$ 。把 $e = 1$ 代入 $r(1 + e \cos \theta ) = 1.5(1 + e)$ ，得到 $r + r \cos \theta = 3$ 。横坐标是 $x = r \cos \theta$ ；从 $F$ 到 $P$ 的直角三角形又给出 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ 。因此：

\begin{aligned}r+x&=3\\r&=3-x\\x^2+y^2&=(3-x)^2\\&=9-6x+x^2\end{aligned}

两边减去 $x^{2}$ ，得到 $y^{2} = 9 - 6x$ ，也就是 $x = 1.5 - y^{2}/6$ 。平方不小于 0，所以 $x$ 不会超过 1.5；只有 $y = 0$ 时才等于 1.5。这就给出转折处 $V = (1.5, 0)$ ，我们把它叫作顶点。正负相反的 $y$ 有相同的平方，所以曲线上下两半关于横轴对称。

这里平方没有引入多余的点。得到的方程保证 $x \le 1.5$ ，所以 $3 - x$ 为正。取非负平方根就能回到 $r = 3 - x$ ，反过来也成立。

换一个原点，让规律更容易读

现在曲线向左开口。为了和向上的二次函数图像比较，我们把原点放在 $V$ 。新横坐标 $X$ 取原来的 $y$ ；新纵坐标 $Y$ 表示从 $V$ 向左走了多远，所以 $Y = 1.5 - x$ 。这两个方向仍然互相垂直，单位长度也没有改变。代入就得到：

\begin{gathered}X=y,\quad Y=1.5-x\\X^2=6Y\\Y=\frac{X^2}{6}\end{gathered}

例如，旧坐标 (0, 3) 变成 (3, 1.5)；原焦点 (0, 0) 变成 (0, 1.5)，顶点变成 (0, 0)。下面的按钮展示同一组点在两套坐标中的位置。从下一节起，我们把新坐标重新称为 $x$ 和 $y$ ；这时向上的曲线就写成 $y = x^{2}/6$ 。

横轴、纵轴的一小格都表示 1 个单位。青色是曲线，橙色

F

是焦点，金色

P

是同一个选定的点，

V

是顶点。

原坐标：

P = (0, 3)

，

F = (0, 0)

，

V = (1.5, 0)

按按钮比较两套坐标。各点之间的距离没有改变。我们把原点移到 $V$ ，并把旧图中向左的方向选作新图中向上的方向。

一个固定的点，一条固定的直线

方程能帮我们算点，但我们还想用距离说清楚它的规律。新坐标中的焦点在顶点上方 1.5 处。现在在顶点下方 1.5 处画一条水平线，比较一个点到 $F$ 和到这条线的距离。如果两段距离相等，这个点到两个目标就一样远。

为了也能研究不同的宽窄，把顶点到焦点的距离叫作 $p$ ，并要求 $p > 0$ 。于是 $F = (0, p)$ ，直线是 $y = -p$ 。这条固定的参考线叫作准线，它不是沿着曲线画出的线。检验不同的点 $P = (x, y)$ 时， $F$ 和准线保持固定。

到一整条线的距离，是什么意思？

线上有许多个点。到这条线的距离，指的是到其中任一点的最短距离。线上与 $P$ 横坐标相同的点是 $D = (x, -p)$ ，它和 $P$ 横坐标相同，所以 $PD = |y + p|$ 。为什么这最短？换成线上另一个点 $Q = (s, -p)$ ，还会增加水平间隔 $x - s$ 。由直角三角形得到 $PQ^{2} = (x - s)^{2} + (y + p)^{2}$ 。第一项总不小于 0，且只在 $s = x$ 时为 0，所以 $D$ 确实最近。绝对值保证距离非负，即使 $P$ 在直线下方也适用。

计算到 $F$ 的距离时，水平间隔是 $x$ ，竖直间隔是 $y - p$ ，所以 $PF = \sqrt{x^{2} + (y - p)^{2}}$ 。模型用橙色表示 PF，用蓝色表示准线和垂直线段 PD。你可以分别改变 $x$ 、 $y$ ，观察两段距离怎样改变，也可以让模型把它们调成相等。

为什么互相垂直的距离要平方后相加？

取 4 个完全相同的直角三角形，互相垂直的边长为 $a$ 、 $b$ ，斜边长为 $c$ 。像下图那样，把它们放在边长 $a + b$ 的大正方形四角。中间的四条边都长 $c$ 。一个直角三角形的两个锐角之和为 90°，所以相邻三角形之间留下的角为 $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ 。因此中间也是正方形。

每个三角形都是一个面积为 $ab$ 的长方形的一半，4 个三角形的总面积为 $4 \times ab/2 = 2ab$ 。大正方形面积为 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ ，减去三角形的总面积就得到 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 。这就是勾股定理。把横纵坐标差的绝对值分别作为 $a$ 、 $b$ ，平方后符号消失，所以即使坐标差为负，也可以使用刚才的距离计算。

橙色 PF 把

P

连到焦点。蓝色虚线 PD 与蓝色准线垂直。两个坐标轴使用相同比例。青色曲线上的点满足这两段长度相等。

焦点高度 p1.5

点的横坐标 x3

点的纵坐标

y

0.00

P = (3.00, 0.00)

PF = 3.35

PD = 1.50

PF - PD = 1.85

不相等：

P

不在抛物线上。

先看 $P = (3, 0)$ ： $PF = \sqrt{3^{2} + (0 - 1.5)^{2}} = \sqrt{11.25} \approx 3.35$ ， $PD = |0 + 1.5| = 1.50$ 。按“把两段距离调成相等”， $y$ 变成 1.50： $PF = \sqrt{3^{2} + 0^{2}} = 3$ ， $PD = |1.5 + 1.5| = 3$ 。再把 $P$ 移出曲线，看看等式怎样不再成立。读数保留两位小数，是否相等使用未舍入的数值判断。

从距离相等推导曲线

写出 $PF = PD$ 。两边都是非负长度，所以平方后解不会改变。把两边的括号展开，再减去共有的 $y^{2}$ 和 $p^{2}$ 项：

\begin{aligned}\sqrt{x^2+(y-p)^2}&=|y+p|\\x^2+y^2-2py+p^2&=y^2+2py+p^2\\x^2-2py&=2py\\x^2&=4py\\y&=\frac{x^2}{4p}\quad(p>0).\end{aligned}

第一行能推出最后一行，每一步也都能倒着走：最后的方程保证距离平方相等，而非负长度的平方相等，就保证长度本身相等。两个方向都证明了。因此，一个点到焦点和准线距离相等，当且仅当它满足 $y = x^{2}/(4p)$ 。取 $p = 1.5$ ，就是 $y = x^{2}/6$ ，正好回到第 05 节得到的抛物线。

现在也能读出宽窄了。固定一个非零的 $x$ ，增大 $p$ 会使分母变大， $y$ 变小，曲线就更宽。若向上的抛物线写成 $y = ax^{2}$ ，且 $a > 0$ ，比较系数得到 $a = 1/(4p)$ ，于是 $p = 1/(4a)$ 。例如 $y = x^{2}/8$ 中， $4p = 8$ ，所以 $p = 2$ ，焦点是 (0, 2)，准线是 $y = -2$ 。这里以顶点为原点、对称轴为竖直方向；平移或转动后的坐标，需要相应地换算。

轨迹：满足同一个条件的所有点

一个 $P$ 只是距离条件的一个答案。如果把平面里所有满足条件的点放在一起，得到的点集就叫作轨迹。这里，到 $F$ 和准线距离相等的点的轨迹，就是抛物线。“所有”很重要：满足条件的点一个也不能漏，不满足条件的点一个也不能混入。移动的点帮助我们观察这个点集，但轨迹本身并不取决于移动速度或方向。

回到 $p = 1.5$ 。任选一个横坐标 $x$ ，把它的平方 $x^{2}$ 除以 6，就得到所需的高度。比如 $x = -3$ ，平方是 9，高度就是 $9/6 = 1.5$ 。这个点的横向位置是 $-3$ ，高度是 1.5。对其他 $x$ 重复这样做。模型会逐个记录样本；可以用独立的曲线按钮，把它们和完整规则作比较。

选择

x = -4

。所需高度是

x^{2}/6 = 2.67

。

P

现在仍标在横轴上的位置。

用“下一步构造”一次完成计算、定位或留下点中的一步。播放沿用这些步骤，随时可以暂停。重置清除已记录的点；曲线显示是独立的对照。

$p = 1.5$ ，因此 $y = x^{2}/6$
$x$	$x^{2}$	$y$
-4	16	2.67
-3	9	—
-2	4	—
-1	1	—
0	0	—
1	1	—
2	4	—
3	9	—
4	16	—

画出 9 个点，并不能证明其他无穷多个点也满足规则。第 06 节的双向推导才给出证明：通过距离检验的点必定满足方程，满足方程的点也必定通过检验。每个实数 $x$ 都给出唯一的 $y = x^{2}/6$ ，所以这样的构造没有漏掉任何横坐标。屏幕窗口有限，只显示这条无限延伸的曲线的一部分。

自己做一次距离检验

取焦点 $F = (0, 1)$ ，准线 $y = -1$ 。 $P = (2, 1)$ 和 $Q = (2, 2)$ 中，哪个点属于轨迹？分别算出每个点的两段距离。然后求出轨迹上横坐标为 $-2$ 的点。

逐步核对计算

对 $P$ ， $PF = \sqrt{2^{2} + (1 - 1)^{2}} = 2$ ，到准线的距离是 $|1 + 1| = 2$ 。两段相等，所以 $P$ 属于轨迹。对 $Q$ ， $QF = \sqrt{2^{2} + (2 - 1)^{2}} = \sqrt{5}$ ，到准线的距离却是 $|2 + 1| = 3$ 。因为 $5 \ne 9$ ，这两个正长度不相等，所以 $Q$ 不属于轨迹。 $p = 1$ 时方程为 $y = x^{2}/4$ ；代入 $x = -2$ ，得到 $y = 4/4 = 1$ ，所以所求点为 $(-2, 1)$ ，恰好与 $P$ 对称。