导数：从割线到导函数

直线有一个固定的斜率，曲线却一会儿陡、一会儿平。如果只指着曲线上的一个点问：“这里有多陡？”我们还能算出一个数吗？这句话听起来很自然，计算时却遇到了困难：熟悉的斜率算法需要两个点，而我们想描述的只有一个位置。

暂时找不到只用一个点的办法，也没关系。我们可以借用旁边的一个点 Q，与想研究的点 P 连成直线。这条直线的斜率算得出来，但它描述的是P、Q 之间的变化，还不是 P 处的变化。下面请保留 P，让 Q 慢慢靠近它。不用急着记住新公式；留意图上那条线怎样转动，以及右边的斜率数值怎样改变。我们要从这些变化里，找出描述 P 处斜率的办法。

这里会用到函数图像上的点和极限中的“趋近”。忘记时可以回去看一眼：横坐标告诉我们输入，纵坐标告诉我们结果；极限则帮助我们描述一个数在不断靠近什么。接下来，导数就从这两个已经见过的想法中长出来。

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怎样求曲线上一点的斜率？

我们用 $f(x)=x^2$ 作例子：把每个输入乘以自身，就得到图上的高度。固定 $P$ ，再在同一曲线上取另一个点 $Q$ 。穿过两点的实线叫割线。让 $Q$ 逐渐靠近 $P$ ，比较它的斜率与虚线所示切线的斜率。

P (x, f(x)) = (1, 1)Q (x+h, f(x+h)) = (2.5, 6.25)

原函数割线 PQ · 实线P 的切线 · 虚线

读出两个增量

h 是 P 到 Q 的横坐标增量，有正负。Q 在左侧时，h 就是负数。

\Delta x=h,\qquad\Delta y=f(x+h)-f(x)

用两点斜率公式

纵坐标增量除以横坐标增量，得到的仍然是割线斜率。

m_{PQ}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

取极限，定义导数

若从左右两侧靠近，斜率都趋向同一个有限值，这个值就是导数 $f'(x)$ 。

f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

h ≠ 0

为什么 $x^2$ 的导数恰好是 $2x$ ？

Q 靠近 P 时，割线斜率怎样改变？我们固定 x，把第二个输入写成 $x+h$ ，所以它的高度是 $(x+h)^2$ 。要计算斜率，需要展开这个平方。平方表示整个括号乘以自身；第一个括号中的每一项，都要乘第二个括号中的每一项。

\begin{aligned}(x+h)^2&=(x+h)(x+h)\\&=x^2+xh+hx+h^2\\&=x^2+2xh+h^2\end{aligned}

我们要的是高度变化，因此减去原来的高度 $x^2$ 。两个 $x^2$ 相消。剩下两项都有因子 h，把它提到括号外，就能看清接下来怎样做除法。

\begin{aligned}(x+h)^2-x^2&=\cancel{x^2}+2xh+h^2-\cancel{x^2}\\&=2xh+h^2\\&=h(2x+h)\end{aligned}

\begin{aligned}m_{PQ}&=\frac{h(2x+h)}h\\&=2x+h\qquad(h\ne0)\end{aligned}

Q 仍与 P 分开，所以 h 不为零，可以约去 h。现在才让 h 从任一侧趋于零：固定的 2x 不变，多出来的 h 趋于零。例如 $x=1$ 时， $h=0.1$ 给出斜率 2.1， $h=-0.1$ 给出 1.9，两侧共同趋向 2。

f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x

如果把每个 x 处的斜率都记录下来呢？

现在我们能求出选定 x 处的斜率了。要比较不同位置的斜率，可以把它们记录在第二张图上：保留同一个 x，却把斜率作为新的高度。这就确定了新图上的一个点。沿原来的曲线移动并重复计算，就能在新图上记录更多点。

原函数f(x) = x²

切线斜率2

导函数 $f'(x)$ = ?

横坐标不变，纵坐标填斜率。( $x$ , $f'(x)$ )

1 / 5

在 x=1 处，原函数的瞬时斜率为 2。导数就是这一点的斜率，所以 f′(1)=2：在右图记录点 (1, 2)。

x=1·x=2·x=0·x=-1·x=-2·

一个点的导数，一整个导函数

$f'(1)=2$ 是一个数值，表示 $x=1$ 处的斜率。 $f'(x)=2x$ 是一个函数，输入任意 $x$ ，就能得到那里对应的斜率。原函数的高度 $f(1)=1$ 与斜率 $f'(1)=2$ 是不同的量。

最后这条线由上面推导的 $f'(x)=2x$ 确定。有限个点不能唯一决定一条曲线；逐点记录是为了看清规律，而不是用采样代替证明。