近似
我们能立刻算出 。但要算 ，就需要再想一步。我们不必从头开始，可以利用在 9 这里已经知道的两件事：曲线的高度，以及它正在怎样改变。如果还没有见过曲线在一点的斜率，先读[[derivative_curve|导数]]页面；那里用到的极限写法，在[[limit_secant|极限]]页面有说明。
01“大约等于 3”还缺了什么？
平方根是在反过来问平方的问题：因为 ，所以平方后等于 9 的那个非负数是 3，也就是 。现在把根号里的数稍微增大，从 9 变成 9.1，平方根也会稍微增大。因此，3 是一个有用的初步估计，但它忽略了这次增加。
我们能不能在还不知道 的情况下，估计应该给 3 加上多少？这就是这里需要近似的原因：用较容易的计算代替较难的计算，同时留意这样做引入了多少差别。符号 表示“约等于”，不表示两个数完全相等。
把这个计算规则记成 。这里 是输入， 是输出；图上用曲线的高度表示这个输出。我们知道点 ，想求附近另一个点 Q 的高度，Q 的输入是 9.1。只保留起点高度 3，是第一种估计。接下来的估计还会用到 P 处的斜率。
02保留起点，给变化量一个名字
接下来我们会尝试几个附近的输入，所以先给输入的变化量取个名字：。它等于新输入减去已知输入。从 9 出发，新输入就是 。要到达 9.1，需要 ；要到达 8.9，则需要 。
包含方向：正数表示向右，负数表示向左。横向距离是 ，也就是去掉正负号后变化量的大小。计算时，不能把负的 擅自换成正的距离。
高度也会改变，但改变量通常与横向不同。它从 变成 ，所以高度变化是 。图中从 P 到 Q 的路径分为两段：水平移动 ，接着竖直移动到 Q。水平一段记录输入变化，竖直一段记录输出变化。请试试正数和负数 ，并与 比较。
计算机画出真实曲线，是为了让我们核对结果。接下来构造近似时，只用已知点和该处斜率，不把 Q 的未知高度偷偷放进计算。
如果是在自己做近似计算，我们仍然不知道这次高度变化。图中可以算出它来核对，但我们的办法必须用 P 处的信息预测它。什么东西把横向变化与竖向变化联系起来？斜率就有这个作用。
03利用已经知道的斜率
对于直线，斜率是高度变化除以输入变化。例如，斜率为 2，表示向右移动 1 个单位时高度增加 2 个单位。把横向变化乘以斜率，就得到对应的高度变化。
平方根的图像是一条曲线，一个斜率不能描述整条曲线。先用直线连接 P 和另一个不同的点 Q，这条直线叫作经过两点的割线。让 Q 靠近 P，割线斜率就会趋向 P 处的斜率。经过 P、具有这个极限斜率的直线，就是这里的切线。
这个极限斜率就是 9 处的导数，写成 。右上角的小撇表示“导数”，不是另一个输入。下面的极限表示：从两侧考察越来越小、但不为零的变化量 。它不是把零直接代入分母。
下一节会算出这个斜率是 。现在先把它与割线斜率比较。让 Q 从两侧靠近，在两个斜率仍有差别时暂停，并放大 P 附近。然后尝试恰好 ：P 与 Q 重合，割线商未定义，但切线斜率仍然存在。
当 很小但不为零时，割线斜率接近 ，却不能保证与它相等。近似正是在这里进入的：我们用已知的切线斜率代替较难算的割线斜率，之后再检查误差。
04斜率 1/6 是怎样算出来的？
我们来算出这个斜率，不把它当成需要凭空记住的规则。把 和 代入割线商。计算这个商时先假设 ，并且 ，使平方根有定义。
先处理根号的差
接近 时，分子与分母都会变小；直接代入只会得到 。我们要先看清极限之前有什么可以约去。用到的恒等式是 ，因为展开后中间的两项会相互抵消。这里取 、。
把原来的分式乘以 。这个因子的分子、分母相等且为正，因此它等于 1；我们只改变写法，没有改变数值。
约去公因子后求极限
因为此时 不为零，可以把分子、分母同时除以 。当 趋近零时，剩下的分母趋近 。它并不趋近零，因此其倒数趋近 。
注意区别：化简后的表达式在零处有定义，原来的割线商却没有。我们是借助化简后的表达式求出原式的极限，并没有让除以零变得合法。
对于任何正的起点输入 ，同样的步骤都适用。这里 只是已知输入的名字，替换了刚才具体选择的 9。把计算中的 3 换成 ，分母里的两个平方根就都趋近 ，所以：
05把斜率变成预测的高度
回到原来的问题：估计 附近的高度。现在我们知道切线斜率 。对于较小且不为零的 ，用这个已知斜率近似代替割线斜率。然后反过来，把“除以 ”和“减去 3”依次还原。每一步代数操作，在图上都有对应的移动。
先乘以 ，左边就变成高度变化。右边用“输入变化乘以斜率”预测这次高度变化。如果 为负，预测的高度变化也为负：应该向下移动，而不是向上。
这还只是变化量。要得到最后的高度，必须把起点高度 3 加回来。把得到的切线上的点叫作 T。它与 Q 的输入相同，但 T 给出预测高度，Q 给出真实高度。
图中会展示这次计算的每个动作：水平移动 ，高度改变 ，把这个变化加到起始高度 3 上。用“下一步”逐个查看操作，就能核对答案从哪里来。 时没有变化，结果精确等于 3，无须使用割线商。
把起点高度与变化量合并后，才会显示预测值。两个方向的移动过程中都可以暂停查看。
对于原来的目标 9.1，带符号的变化量是 。预测结果为：
更精确的计算给出 。预测与它相差约 ，远小于直接说 3 时漏掉的约 。在这个例子里它确实更准确，但仍然是近似。接下来仔细看剩下的间隙。
06即使误差很小，也要看清它
用 表示直线给出的预测高度。把带符号的误差定义为 ，也就是“预测值减去真实值”。误差为正，说明预测偏高；误差为负，说明预测偏低。绝对误差 只保留差别的大小。这里 是已知的起点输入， 仍然等于目标输入减去起点输入。
在完整图像上，Q 和 T 可能看起来重合。这不能证明数值相等，间隙可能只是比屏幕上的一个像素还小。下面单独的窗口只放大它们的竖向差值，标明刻度，并且在改变 时保持刻度不变。
同一输入 x = 9.1 处的竖向间隙
这里只显示两个点的竖向差值，不显示从零开始的完整高度。改变 h 时刻度保持不变，因此较小的间隙会真的显示得更小。
为什么这里的平方根预测总在曲线上方？
几次尝试能提示这一点，却不能证明每个允许的输入都这样。我们可以直接检查差值。为了让代数更容易读，给两个高度取短名字： 是已知的起点高度， 是目标的真实高度。因此 、，并且 。
斜率是 ，所以预测为 。减去真实高度 ，再乘以正数 ，就能去掉分母：
现在把 换成 ，剩下的三项恰好组成一个完全平方：
分子是平方，分母为正，所以预测不可能低于平方根曲线。 时预测等于真实值；其他允许的 下，预测都在真实值上方。这个推导同时包含向左和向右的变化。
把间隙与输入变化的大小联系起来
另外，。因为 ，所以 。把它代入误差公式，再把短名字换回原来表示的高度：
固定正的 ，让 很小时，分母保持在正数 附近，而分子是 。因此间隙会迅速缩小：把本来就较小的 缩小到十分之一，它的平方会缩小到百分之一，分母却只改变一点。这是在附近做的比较，不是在任意大步长下都成立的精确误差比例。
误差的方向与函数有关。例如，取 ，从输入 3 出发。展开得到 。对于不为零的 ，割线斜率为 ，它趋近 6。因此切线预测为 ，而“预测减真实”等于 ：这一次，预测在曲线下方。不能由平方根的例子得出“切线总是高估”的结论。
07保留方法，换一个函数
刚才的构造用到了三个信息：已知输入、它的高度，以及该处的斜率。对于一般的函数 ，把已知输入叫作 。已知高度就是 ，该处的导数就是 。要到达附近的输入 ，把带符号的变化量 乘以斜率，再把高度变化加到起点高度上：
一旦选定 ， 和 就是固定的数，改变的只有 。右边是一条直线的规则：起点值，加上一个常数乘以输入变化。用这条直线近似函数在 附近的值，叫作线性化。它仍然是刚才看见的横向移动与竖向改变，只是现在写成了适用于其他合适函数的形式。
有时新输入写成 ，而不是 。这时 ，预测值就写成 。这并不是第二种方法，只是直接给目标输入取名字，而不是给变化量取名字。
还需要检查条件：函数在选定的输入处必须有有限的导数，目标也必须属于定义域，也就是函数有定义的输入集合。仅仅两个函数值存在还不够。对于 ，零处的函数值存在，但这里所需的有限斜率不存在，所以平方根的这个构造要求 。
导数存在，保证步长变小时直线预测在局部越来越准确：剩余误差除以 会趋近零。它却没有直接告诉我们，某个具体步长是否已经小到满足所需精度。对于平方根的例子，我们推导出了精确的误差公式；对于其他函数，可能需要数值核对，或者另外推导误差界限。
为什么导数能给出刚才的保证？把预测误差写成 。对于不为零的 ，两边除以 ，剩下的就是导数与割线斜率的差：
按照导数的定义，割线斜率趋近导数，所以它们的差趋近零。取绝对值，就得到 。这解释了预测为什么在局部改善，也说明了为什么一开始就需要导数存在。
08自己构造一次预测
把三个量的作用分清楚： 是一个高度， 是带符号的输入变化， 是每单位输入变化对应的高度变化。后两个相乘，得到的是高度变化，不是最终高度。加上 之后，才得到预测答案。分别试一次向右和向左的变化。
使用已知输入 ，这里 。先求带符号的输入变化，再把它乘以斜率 ，最后加回起点高度。你得到的预测是多少？
直线保留了选定点的高度与斜率，但它不能跟着曲线一起弯曲。如果想在更大一点的范围里得到更好的近似，就需要让计算规则也能匹配斜率的变化。下一页会通过麦克劳林与泰勒多项式，一步步构造这个想法。
