PHYSICS / FIELDS & GRAVITY · 02

每一份质量都产生引力

苹果会落到地上，月球则一直绕着地球转。牛顿的想法是：同一种吸引可以解释这两件事，而且它存在于任意两个有质量的物体之间，并不只是地球和它附近的东西。在平方反比定律页面，我们找到了这类作用为什么会随距离的平方减弱。这里再加入质量，并用到牛顿第三定律：地球拉苹果，苹果也用同样大小的力拉地球。那么，为什么看起来只有苹果在动？

我们先用两个可以改变质量的物体来研究这个问题。一次只改变一个质量或两者的距离，读懂引力公式中的每一部分，然后让两个物体同时开始运动。

01两个质量，同一次相互吸引

在牛顿力学中，任何质量都会产生引力场，小金属球也不例外。两个物体都要考虑：其余条件固定时，任一个质量加倍，引力就加倍；两个中心的距离加倍，引力变为四分之一。这种质量关系与平方反比的引力定律有实验和天文观测的支持。

孤立的两个物体 · 初始静止球对称物体 · 距离从球心量到球心

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物体 1 的受力，指向物体 2

F_{2\to1}=1.07\times10^{-9}\,\mathrm{N}

$a_1=5.34\times10^{-11}\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

物体 2 的受力，指向物体 1

F_{1\to2}=1.07\times10^{-9}\,\mathrm{N}

$a_2=2.14\times10^{-10}\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

等长箭头用于比较这一时刻的两个力，绝对大小见读数。释放两者：较轻物体的速度增加得更快，共同质心的位置保持不变。动画在接触前停止。

F\propto\frac{m_1m_2}{r^2},\qquad \frac{F}{F_0}=\frac{m_1}{20\,\mathrm{kg}}\frac{m_2}{5\,\mathrm{kg}}\left(\frac{2.5\,\mathrm m}{r}\right)^2=1.000

$F_0$ 是“恢复例子”中的引力：20 kg 与 5 kg，中心相距 2.5 m。实时倍数告诉你引力怎样改变。 $r$ 是两个中心的距离，不是表面之间的空隙。

物体 1 产生场

$g_1$ 表示物体 1 在该处产生的“每千克引力”。源质量越大，场越强；距离带来平方反比的几何变化。

g_1=\frac{Gm_1}{r^2}

物体 2 受到这个场的作用

把每千克受到的力乘以质量 $m_2$ ，就得到物体 2 的受力。反过来交换两个物体的角色，物体 1 受到的力大小完全相同。

F_{1\to2}=m_2g_1=\frac{Gm_1m_2}{r^2}

02常量 G 也有单位

质量与距离项给出了变化规律，但它本身还不是以牛顿计量的力。引入比例常量 $G$ ，先检查它应有的单位；数值则必须通过测量得到。

力的量纲

量纲表示一个量由哪些基本类型构成。 $M$ 代表质量， $L$ 代表长度， $T$ 代表时间。由 $F = ma$ ，力等于质量乘以加速度，即质量乘以长度、再除以时间的平方。

[F]=[M][L][T]^{-2},\qquad 1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}

[M]^1

质量

[L]^1

长度

[T]^{-2}

时间

\begin{gathered}F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\\G\approx6.67430\times10^{-11}\ \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\end{gathered}

\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}=\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}

$F$ 引力大小: 任一个物体受到的引力大小，单位为牛顿（N）。
$m_1,\ m_2$ 两个质量: 两个质量都要参与相乘，以千克（kg）计量。
$r$ 中心距离: 两个点质量或球心的距离，以米（m）计量。
$G$ 万有引力常量: 通过实验测量、确定牛顿引力强度的常量。它不是小写 g。

量纲相同只是必要的自洽检查，不能证明平方反比关系、两个质量相乘的规律，也不能算出 G 的数值。这些需要物理证据。G 是测量值，不是人为规定的精确数；它很小，因此普通物体之间的引力十分微弱。

03地球拉你，你也拉地球。力一样大

牛顿第三定律说，一次相互作用中的两个力大小相等、方向相反。关键是：它们作用在不同物体上。下面可以单独选择一个物体，只看它受到的引力。

只显示这对物体之间的引力示意图不按比例

地球人 · 放大展示R = 6,371 kmh = 0 km正在加载地球和人物模型……

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你对地球的引力589.2 N

地球对你的引力589.2 N

蓝点标出你在地球上方的位置，R 和 h 使用同一套图示比例。虚线把这个点连到单独放大展示的人物；人体并没有按照地球的比例绘制。

r = R + h = 6,371 km

每支箭头属于箭尾所在的那个物体。这是作用在不同物体上的两个力，并不是每个物体都受到 2F。

地球引力使你产生的加速度

a_{\rm you}=\frac{F}{m}= 9.820\,\mathrm{m\,s^{-2}}

你的引力使地球产生的加速度

a_{\rm Earth}=\frac{F}{M}= 9.87\times10^{-23}\,\mathrm{m\,s^{-2}}

力相等不代表加速度相等，因为 $a = F/m$ 。地球的质量极大，因此你的引力使它产生的加速度极小。站在地面时，你还受到向上的支持力；这里单独展示引力，并不是说站着的人会加速穿过地板。

\begin{gathered}\vec F_{\rm Earth\to you}\\=-\vec F_{\rm you\to Earth}\\|F|=\frac{GMm}{r^2}\end{gathered}

不要把同一次相互作用算两遍

你对地球的引力作用在地球上；地球对你的引力作用在你身上。每个物体受到来自对方的一个引力，大小都是 $GMm/r^2$ ，不是“地球的引力 + 你的引力”。

为什么这两个力不会抵消你的下落？

计算某个物体的合力时，只能相加作用在这个物体上的力。把地球和你一起研究，系统边界就变了：两个引力都成为内力，在总受力中抵消。要知道哪一种运动因此不变，先把质心定义为按质量加权的平均位置。

X=\frac{Mx_{\rm Earth}+mx_{\rm you}}{M+m}

质量大一倍，位置权重就大一倍。例如 2 kg 在 $x=0$ 、1 kg 在 $x=3\ \mathrm{m}$ ， $X=(2\times 0+1\times 3)/3=1\ \mathrm{m}$ ，靠近较重的一方。质量不变时，位置对时间求两次变化率，得到质心加速度 $A=\dfrac{Ma_{\text{地球}}+ma_{\text{你}}}{M+m}$ 。用牛顿第二定律把分子换成 $F_{\text{地球}}+F_{\text{你}}$ ；两个内力等大反向，无外力时分子为零， $A=0$ 。两个物体仍可互相接近并各自加速，同时共同质心保持匀速。

想一想：地球用 600 N 拉你，你用多大的力拉地球？

600 N，方向相反，作用在地球上。你受到地球的引力仍为 600 N，不是 1,200 N。因为质量不同，所以加速度不同。

04这个模型适用于哪里？

点质量与球对称物体

在牛顿引力中，点质量以及两个不重叠的球对称物体可直接使用该公式。不规则、不能忽略尺寸的物体，需要把各部分的引力贡献相加。

不是相对论的描述

广义相对论通过时空几何描述引力。引力较弱、速度远小于光速时，牛顿模型是很好的近似；更强的引力或更高速度下需要修正。

G 与 g 不同

$G$ 是定律中的普适常量； $g$ 是某处的引力场强，单位为 $\mathrm{N/kg}$ ，等价于 $\mathrm{m/s^2}$ ，会随位置改变。地表附近的 $g$ 约为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 。

继续探索：广义相对论中的另一种引力描述

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