PHYSICS / FIELDS & GRAVITY · 01

为什么距离要平方？

手电筒从房间另一头看会暗一些；在月球那么远的地方，地球对每千克物体的引力比在地面上弱得多；两个带电小球离得越远，相互推开的力也越小。每一种情况下，作用都随距离减弱，而且减弱的方式相同：距离变成两倍，它就变成四分之一。与其把这条规律记三遍，不如找出它背后的一个原因。这个原因来自几何；同一个“不断扩大的球面”的图景，也能帮助我们理解接下来的万有引力和库仑定律。

离一个向各方向均匀发出光的点光源越远，单位面积上收到的光通常越少。但为什么距离变成两倍，强度会变成四分之一呢？假设途中没有吸收，我们先在光源周围画一个球面，再把球面向外扩大。追踪同一束方向所覆盖的面积，就能一步步找出这个平方的来源。这一页假定你知道力怎样改变运动；那属于牛顿运动定律，这里只追问作用为什么按距离的平方减弱。

01同一个点、同一束方向、更大的球面

先想象一盏向四面八方均匀发光、功率不变的点光源，途中没有吸收。围绕它的任一球面都会接收到同样的总功率。引力场并不是灯光，但可以用同样的球面几何理解它的平方反比形式。

固定点源 · 三维空间空间几何示意，不是发射波的过程

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金色：固定的一束方向蓝色：观察球面

距离 / 参考距离2.00×

面积 / 参考面积4.00×

强度 / 参考强度25.0%

沿着金色区域观察

点源的位置不变。增大半径，同一束方向会覆盖更大的面积。较小的轮廓是参考球面，半径为 $r_0$ 。

半径 r / r₀2.00×

方向束的半张角25°

改变张角会选中球面的不同份额。无论选哪一个固定张角，面积都随 $r^2$ 增长。

除了平方关系，我们也可以算出系数 $4\pi$ 。把球面切成很窄的水平带。球心上方高度 $z$ 处，水平圆半径为 $x$ ，满足 $x^2+z^2=r^2$ ，周长是 $2\pi x$ 。靠近顶端时圆周更小，但球面也更倾斜。

为了算入倾斜，把球面上一小段的直角三角形与半径三角形比较。切线与半径垂直，所以沿球面小段的竖直比例是 $x/r$ ，即 $dz/ds=x/r$ ，得到 $ds=(r/x)dz$ 。 $ds$ 是很小的斜宽， $dz$ 是竖直高度。周长乘斜宽时， $x$ 正好约去。这里让带宽趋于零来相加，不能把宽的弯曲带直接当作精确长方形。

dA=2\pi x\,ds=2\pi x\frac r x\,dz=2\pi r\,dz

所以每条球面带的极限面积，都等于半径 $r$ 的圆柱上同高 $dz$ 的带。由球底 $z=-r$ 一直加到球顶 $z=r$ ，总高度 $2r$ ，因此总面积 $=(2\pi r)\times (2r)=4\pi r^2$ 。两极本身是面积为零的点，逐渐变窄的带也覆盖了两极附近。

A_{\rm sphere}=4\pi r^2

金色标记只是帮助比较疏密的计数示意，不是“力的粒子”，数量也不是实际测量值。

为什么一小块区域也随 $r^2$ 增长？

固定同一束方向，就像保持一个圆锥的开口不变。距离加倍，区域沿两个方向的尺寸都加倍，所以面积变成四倍；距离变为三倍，面积就变成九倍。

A_{\rm patch}=Cr^2,\qquad C=\frac{A_{\rm patch}}{r^2}

$C$ 由选择的开口大小决定，与距离无关。它是固定的几何系数，不是无法确定的误差。对整个球面， $C = 4\pi$ 。

总量不变，面积变大

强度在这里指单位面积分得多少。固定的总量分布到四倍面积上，每块同样大小的区域就只分得原来的四分之一。下式 S 是固定总量；对灯光而言，它是以瓦特计量的功率。

I(r)=\frac{S}{4\pi r^2}\quad\Longrightarrow\quad I\propto\frac{1}{r^2}

符号 $\propto$ 读作“正比于”：其余条件不变时，两边按同一比例变化。

02接收面积保持不变，再看远近

下面用等面积的平面示意比较球面区域。金色区域不断变大，里面始终是同样的 144 个标记；两幅图的蓝色窗口面积相同，更远处窗口内的标记就更少。

移动接收球面2.00

r_0

\frac{I(r)}{I(r_0)}=\left(\frac{r_0}{r}\right)^2=\frac{1}{2.00^2}\approx 0.250

r₀

A=1A_0,\qquad I=I_0

参考面积与参考强度。

2r₀

A=4A_0,\qquad I=\frac{I_0}{4}

远两倍，强度为四分之一，不是二分之一。

3r₀

A=9A_0,\qquad I=\frac{I_0}{9}

远三倍，强度为九分之一。

03把这个几何关系用于引力

“场”描述空间每个位置的影响。在牛顿引力中， $g$ 表示放在此处的小测试物体每千克受到的引力。点质量或球对称物体外部的场强符合相同的 $1/r^2$ 关系。测试质量 $m$ 不变时， $F = mg$ ，因此引力大小也符合平方反比。

引力指向产生吸引的质量。图中朝外的线只是选取空间方向，展开球面是在改变观察位置，不是在演示引力向外流动。平方反比还依赖球对称与总量固定等条件，单靠球面积不能推出所有力的定律。

想一想：移到两倍远处，是源本身损失了四分之三的强度吗？

不是。源本身不变，同样的总量分布在四倍面积上，局部的单位面积强度变为四分之一。对固定测试质量，引力也变为四分之一。

下一步：引入两个质量与 G

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