引力与弯曲的时空
01“时空弯曲”究竟在说什么？
松开手，球会下落；站着不动，脚底会感到地板的支撑。这是两种不同的经历：**球失去了支撑**，**你仍然受到支撑**。你感到的压力已经提供了一个线索。我们先把“相对地面看到运动改变”和“人或仪器实际感到一个推力”分开。
在广义相对论里，引力通过空间和时间的几何来描述：尺子怎样量间隔，钟怎样量时长，自由运动的物体怎样继续运动。物质和能量参与决定这些规则。开头那颗球和那块地板，正好用来把这句话里的每一部分慢慢弄清楚。这一页接着「时间膨胀」和「闵可夫斯基时空」两页讲：钟的读数可以不同，事件则用位置和时间一起标记。
推或拉叫作力。加速度描述速度改变得有多快；这里的速度既包括快慢，也包括方向。体重秤测的是秤面托住你的力度，因此读数直接反映支撑力，不能单凭它判断周围时空的性质。
02和球一起下落
我们先排除空气阻力，不但放开球，也放开整个房间。在同一个地点附近，自由下落的物体具有相同的引力加速度——在这个小房间实验的精度下如此。这个普遍性是经过实验检验的物理起点，不是画一部电梯就证明出来的。
比较球的下落与整个房间的下落
蓝色是房间，橙色是从静止放开的球，灰色横线属于地面。选择房间被托住或自由下落，按播放比较。切到房间视角，相当于从所有物体的位置中减去房间的移动。
下面的三维装置始终从外部、相对固定标记观察。屋顶和近侧墙敞开，让我们能够检查小球；再下面的图可以另行切换到下落房间的坐标。两者使用相同的释放进度。
拖动可查看器材，也可以使用视角按钮。教学区的操作也会同步改变这里的状态。
房间与球向下移动相同的距离，球就保持在地板上方相同的高度。它相对地面在下落，相对房间却悬浮着。和它一起下落的人感到失重，是因为没有地板把人推离这种自由运动；这不等于周围的引力已经消失。
动画使用短时间、低速、向下加速度不变的近似。为什么下落距离里有时间的平方？从静止出发，加速度为 ，经过时间 ，速度从 增加到 。由于增加是均匀的，平均速度是 。距离等于平均速度乘时间，所以 。在下落房间的视角里，把房间同样的 从球的运动里减去，就没有相对下落。
03一个小房间能分辨什么？
再看远离引力源的一艘火箭。发动机把地板向上推，推向原本自由漂浮的球，球就逐渐接近地板。房间内部的局部现象可以与地球上被托住的房间相同。这就是等效原理在这里的作用：适当的加速与引力，可以产生相同的局部实验结果。
“局部”很重要：实验所占的空间足够小、经历的时间足够短，以至于可以忽略实验范围内的差别。选择下落视角，消去了大家共有的一个加速度；可是我们还没有检查，附近每个物体的加速度是否真的完全一样。两颗球就能帮助我们检查这一点。
04一起下落也消不掉的差别
两颗一起下落的球，能测到一颗球测不到的什么？
两颗球起初一样高，都没有左右运动。虚线给出开始时的下落方向，小金点表示引力源的中心。播放一小段下落过程，再对比均匀场和中心场。增大起始间距，可以更清楚地检查方向差别。
对于中心引力源，左球向下落时略向右，右球向下落时略向左，两者间距逐渐减小。即使你跟着其中一颗球下落，也不能消去这个相对变化。相邻地点的引力加速度不同所产生的效果，叫作潮汐效应。它既包括图中的方向差别，也包括较低和较高的小球所受到的加速度大小差别。
不用先学完相对论，也能核对图中的数字。我们把弱引力、低速情况下的牛顿模型当作起始定律。用 表示右球离中心竖线的水平距离， 表示它在中心上方的高度， 表示它到中心的距离。直角三角形给出 。用 合并引力常数 和引力源质量 ；加速度大小采用牛顿引力定律 。
检查这个面积论证
四个相同的直角三角形放在大正方形四角。每个三角形的两条直角边叫作 、，最长边叫作 。四条最长边围成中间的正方形。切换突出显示的部分，看看我们减去了哪块面积，留下哪块面积。
大正方形边长为 ，所以面积是 。每个三角形占边长为 的长方形一半，四个共占 。内部各边都长 。中间图形的每个角也是直角：看大正方形一条边上两个三角形相接的点，中间图形的角夹在一个三角形的锐角和另一个三角形的锐角之间，三个角合起来正好铺满这条直边，是半圈。这两个锐角正是同一个直角三角形的两个较小的角。三角形三个内角的和也是半圈，可以过一个顶点画对边的平行线，把另外两个角沿平行线搬过来核对；去掉其中的直角，两个锐角合起来就是直角。半圈减去这个直角，剩下的仍是直角。因此中间的确是正方形，从大正方形中减去四个三角形就得到结果。
由方向箭头构成的相似三角形可知，向内方向的水平分量比例为 ，竖直分量比例为 。把大小乘上这些比例，就得到两个方向的加速度。这个短时构造把加速度固定在初始值；若模拟更久，就必须持续更新。
利用电梯一节的位移计算，右球到达 。左球与它镜像对称，间距就是这个数的两倍。默认 、、，所以 ，，。于是 。当 ，间距为 。这些图示单位是为了让变化容易看见。均匀向下的场满足 ，所以间距保持为 。
05先别急着弯曲时空：几何是什么？
几何关心可以测量的关系：距离、角度，以及哪条路线是在每一小处都不拐弯地继续前进。坐标则是给位置贴上的数字标签。地图可以把坐标画得扭曲，而真正的测量关系完全不变。我们必须分清地图和测量规则。
把图画弯，还不够
橙线始终代表同一条直路，蓝格线记录原来的尺子刻度。拖动滑块：我们改变地图中纵坐标的写法，把道路和尺子一起重画。真正的道路没有弯。
把规则写出来，画面就没有隐藏的步骤：横坐标 不变，把纵坐标 换成 ，其中 是滑块数值。道路原来满足 ，所以新图满足 。当 、 时，新数值是 。改变的是标签，不是尺子测出的道路高度。仅仅看到图上的一条曲线，还不能证明空间有曲率。
换张地图也不会消失的测量结果
现在用地球仪表面作一个几何例子。蓝线与橙线是相隔四分之一圈的两条经线，绿线是赤道。依次走过三段局部最短路线。每到一个角，量的是球面上的夹角，不是它投影到屏幕后看起来的夹角。
每条经线都与赤道垂直。两条经线的经度相差四分之一圈，所以它们在北极的夹角也是 。三个实测角相加得到 。平面三角形的对应结果是 ：过一个顶点画出对边的平行线，利用平行线的角相等，把另外两个角搬到这个顶点，三个角刚好排成半圈。球面的不同结果来自表面内部的测量，不会因为我们换了一张地图就消失。
按照局部几何尽可能直地继续走的路线，叫作测地线。在球面上，经线和赤道都是例子。地球仪帮助我们理解内在几何：仅凭空间内部的测量就能发现什么。它不是在宣称宇宙就是这个球的表面。
06为什么必须连时间一起说？
只说地点，还不能确定一个事件。球现在经过门口，和明天经过门口，是两件不同的事。我们必须同时记录在哪里、什么时候；所有这些事件组成时空。和球一起走的钟，测量沿着这串事件经历的时长；尺子比较附近的位置。几何必须同时描述这两类测量。
即使球起初在空间里不动，它也有一串相继的事件：现在在这里，片刻后仍在这里。它的历史仍然延伸在时空中。广义相对论的自由落体规则说：足够小、不受非引力作用力的试验物体，沿时空测地线运动。“试验物体”表示我们忽略它自己对周围几何的影响。这条规则属于物理理论，不能靠刚才的地球仪类比来证明。
下落的球沿着这条自由路径运动，地板却阻止你沿自己的自由路径运动：相对附近自由下落的物体，它不断向上推你。所以“我保持在同一高度”并不意味着“我没有感受到加速”；地板通过持续支撑来维持你的位置。
07两颗球怎样与曲率联系起来？
取很多条相邻的自由下落路径，让它们在一个局部参考系里具有相同的初速度。在平直时空中，这些路径保持彼此的惯性相对运动；在弯曲时空中，它们可以产生相对加速度。两球的变化提供了测量曲率某些分量的方法，不同的初始方向会探测到不同的分量。一对靠拢的小球还不是完整的曲率地图；如果靠拢只是因为初速度不同，也不是同一种检验。
这就是我们用测量代替弯曲薄膜图的原因。你可以重新命名坐标，也可以跟着一个物体下落，但这样做不能消去一片有限弯曲区域里所有真实的潮汐测量结果。“曲率”描述的是时空几何中的这种结构，而不是格线看起来弯不弯。
08谁决定这种几何？
爱因斯坦场方程把时空几何与能量、动量以及包括压力在内的应力联系起来。能量衡量引起物理变化的能力，动量记录带方向的运动，应力描述物质内部各部分之间怎样推拉。质量是其中一种贡献，引力源并不只限于沉重的物体。这些方程是需要用预言接受检验的物理定律，不是换一种坐标写法就自动为真的定义。求解它们，还需要物质分布以及周围情况或初始情况的信息。
真空区域仍然可以弯曲：恒星外部物质很少，却属于整个引力问题的解；引力波也能穿过真空。所以“这一点没有物质”不能推出“这里的时空平直”。完整方程区分曲率的不同部分；本课用可测的路径和钟来建立概念，而不在没有先备知识时突然引入张量记号。
光也遵循时空几何。它的自由路径是类光测地线，也就是局部以真空光速前进的路径。远处的观察者可以测到它经过大质量物体附近后，整体传播方向发生变化；这不需要光子具有静止质量。引力图景因此不再只是在重物上施加一个向下的拉力，而是同时描述钟、自由落体路径和光信号。
09橡皮膜图还没有解释的部分
小球滚进凹下去的橡皮膜，是因为地球引力把它向下拉，膜又提供接触力。若把这当作引力的成因，就等于用引力解释引力。薄膜还只是嵌在第三个空间方向里的二维表面，而我们讨论的是三个空间坐标和一个时间坐标。时空曲率不要求存在一种材料、一个外部的向下方向，或包住它的更高维房间。
10试着自己区分这些情况
宇航员在轨道中悬浮，是地球引力已经变成零了吗？ ——展开思路与答案
不是。宇航员和飞船一起自由下落，宇航员不需要地板支撑。弯曲的轨道以及可测的潮汐差别仍然存在。失重描述缺少支撑，不一定意味着没有引力。
换坐标后，格线看起来弯了，我们创造了引力吗？ ——展开思路与答案
没有。要问的是尺子、钟以及相邻自由物体测到了什么。在坐标实验里，道路、格线和测量规则一起改变表示，实际物理情况没有变化。曲率关心不依赖坐标标签的测量关系，不是纸上格线的形状。
下落房间中，两颗自由释放的球开始相互加速靠近，应该检查什么？ ——展开思路与答案
先排除两球彼此的引力、电力、气流及不同初速度等影响，使用足够小的中性试验物体。若测出的相对加速度来自外部引力，就是潮汐效应。仅仅跟着房间中心下落不能把它消去，它能探测时空曲率。
来源与模型的作用
本页的数学步骤可以逐步核对；物理起点和实验证据可以在下面的原始论文、研究机构说明和测量报告中核对。这里的教学图为本课绘制，不是时空的照片。
