自旋：电子固有的角动量

想一想绕着车轴转动的自行车轮。要让它停下，有两件事要紧：它转得多快，以及它有多少质量、这些质量离车轴多远。一个转得慢的重轮子，可能和一个转得快的轻轮子一样难停下。物理学把这些合成一个量，叫角动量，记作 $L$。一小块质量为 $m$ 的物体，以速度 $v$ 沿半径为 $r$ 的圆运动，它的角动量是 $L = mvr$。整个轮子的角动量，就是把它所有小块的 $mvr$ 加起来。单位是 $\text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}$。

转动还有方向：轮子可以朝这边转，也可以朝那边转，转轴也可以指向任何方向。我们用一支沿着转轴画的箭头来描述这一切：把右手四指顺着轮子转动的方向弯曲，大拇指指向的就是箭头的方向。这叫右手定则。箭头的长度表示角动量有多大，箭头的方向表示转轴和转动的方向。在下面试一试：让轮子反着转，箭头就翻过来；让它转得更快，箭头就变长。

我们还需要角动量的另一个性质：在一个不受外界影响的系统里，总角动量永远不变，这叫角动量守恒。滑冰的人把手臂收回来，就会转得更快：她的质量离转轴更近了（$r$ 变小），速度就必须变大，$mvr$ 才能保持不变。而如果系统的一部分开始朝一个方向转，另一部分就必须朝相反方向转，这样所有箭头加起来仍然是原来的总量。

再来看磁。1820 年，奥斯特发现，导线里有电流通过时，放在旁边的指南针会偏转。电流就是运动的电荷，所以运动的电荷会产生磁场。把导线弯成一个圆圈，这个电流环就完全像一根小条形磁铁：环的一面是北极，另一面是南极。哪一面是北极，同样由右手定则决定：四指顺着正电荷绕环运动的方向弯曲，大拇指指向的那一面就是北极。

现在让一个表面带电的球转起来。每一点电荷都绕着转轴做圆周运动，所以转动的球就是一叠电流环，它们都朝同一个方向环绕。合在一起，这个球就成了一块磁体，北极位于转轴上右手定则箭头所指的那一侧。在下面的模型里，橙色小点是电荷，金色圆环表示电流环，红蓝箭头表示磁体（红端是北极）。让球转得更快，磁体就更强；让它反着转，磁体就翻转。

这块磁体有多强，和球转了多少，之间有一个简单的联系。小磁体的强弱用磁矩 $\mu$ 衡量。对于一个平面电流环，磁矩等于电流乘以环的面积，$\mu = IA$。取一个电荷 $q$，以速度 $v$ 沿半径为 $r$ 的圆运动。它转一圈要用时间 $T = 2\pi r / v$，所以电流，也就是每秒经过某一点的电荷量，是 $I = q/T = qv/(2\pi r)$。面积是 $A = \pi r^2$。两者相乘：

同一个电荷如果质量为 $m$，它的角动量是 $L = mvr$。比较两者：$\mu = qvr/2$ 和 $L = mvr$ 里都有同样的 $vr$，用一个除以另一个，得到 $\mu / L = q/(2m)$，速度和半径都约掉了。所以对一个旋转的带电物体来说，磁性和转动成正比：角动量加倍，磁矩也加倍。请记住这个联系，它是理解自旋的关键。

磁场是磁体周围的一片区域，另一块磁体放在这里会受到力。我们用磁感线来画磁场：把指南针放在任意一点，它会沿着经过该点的磁感线排列；磁感线越密的地方，磁场越强。在一块磁铁的两极之间，磁感线从北极指向南极。

把一块小磁体放进磁场，会发生什么？先假设磁场是匀强的：磁感线互相平行、间隔均匀，各处强度相同。小磁体的北极被沿着磁感线拉，南极被朝反方向拉，两边一样用力。这两个拉力会让磁体转动，但合起来不会推动它：匀强磁场里的小磁体只会转，不会移动。

现在让磁场变得不均匀。图中的磁感线从下面的北极向上通到上面的尖形南极，并在尖端附近挤在一起，所以上面的磁场更强。如果小磁体指向上方，也就是顺着磁场，它的北极被向上拉（顺着磁感线），南极被向下拉；北极位置更高，处在更强的磁场里，它受的拉力更大，于是整个磁体被向上推。让它指向下方，也就是逆着磁场，同样的推理会把它向下推。让它与竖直方向成 $\theta$ 角，推力就介于两者之间：只有磁体竖直方向的那一部分 $\mu\cos\theta$ 起作用。用下面的控件切换磁场，转动磁体看看。

还有一点后面会用到。一个在自转的磁体像陀螺一样：磁场想让它转过去，它却不会直接转到和磁场对齐，而是绕着磁场方向缓慢地画圈，倾角 $\theta$ 保持不变。所以一个自转的磁体飞过不均匀磁场时，角度不变，推力 $\mu\cos\theta$ 也一路保持稳定。

现在来看电子。大量测量表明，每个电子都是一块小磁体，而且所有电子的磁性强弱完全相同。既然电子是磁体，按照刚才旋转带电球的推理，它应该也带着角动量。真的是这样吗？

那么，电子是一个正在旋转的小球吗？有三个事实说明不是。第一，它的自旋量子数固定不变：改变自旋状态，不等于让一个物质表面转得更快或更慢。第二，实验根本测不出电子的大小，它小于 $10^{-18}\,\text{m}$。这么小的球即使只解释测得的分量大小 $\hbar/2$，表面必须转得快到不可能。用 $L = mvr$，并假设全部质量都在球的边缘（这是最有利的情况）：

这大约是光速的 20 万倍，物质表面不可能具有这样的速度。第三，电子的磁性比我们的规则 $\mu/L = q/(2m)$ 对同样角动量的旋转带电球所预测的约强一倍。因此，自旋与转动角动量具有一些重要的共同性质：它是角动量，参与角动量守恒，也会形成磁体。但其实没有任何东西在转。它是一种性质，而不是一种运动。

其他粒子也有自旋。电子、质子和中子的自旋量子数为 $s=\tfrac12$；光子为 $s=1$。这些数用来分类它们的量子角动量，不是一个表面转动的速率。下面集中讨论自旋为 $\tfrac12$ 的系统，在沿选定轴准备状态和进行理想的两结果测量时所遵循的概率规则。

电子这么小，怎样测量它的自旋？1922 年，施特恩和格拉赫利用的是它的磁性。单独的电子不好用，因为它带电，在任何磁场里都会被偏转。于是他们用了银原子。一个银原子有 47 个电子，其中 46 个两两成对，每一对的自旋方向相反，磁性互相抵消；只剩下最外面的一个电子没有配对。银原子的 47 个电子正好和原子核里的 47 个质子平衡，所以原子整体不带电，磁场无法通过电荷让它偏转；但它带着那个未配对电子的磁性。

在模型里从左往右看这台装置。加热到约 $1000\,^{\circ}\text{C}$ 的炉子让银原子从一个小孔逸出。两道窄缝把它们收成一条又薄又扁的原子束。原子束接着穿过一块磁铁的缝隙：它的下磁极是北极（红色标记），有一道凹槽；上磁极是南极（蓝色标记），被做成锋利的刃。磁感线从下面的北极向上通到上面的南极，并在刃口下方挤在一起，所以越靠上磁场越强，这正是推动小磁体所需要的不均匀磁场。最后，原子落在一块玻璃板上，积累成看得见的银层。

打开之前，我们应该预期看到什么？原子从炽热的炉子里出来，它们的磁体朝着各个方向随机分布。由第 3 章可知，每个原子受到的推力与 $\cos\theta$ 成正比，$\theta$ 是它的磁体与竖直方向的夹角，而且穿过磁铁时这个角度保持不变。指向正上方的原子被向上推得最多，指向正下方的被向下推得最多，横躺着的完全不被推。

这些推力的大小是怎样分布的？把每个原子的磁体想成从一个球心出发、长度相同的箭头；方向随机，箭头的尖端就均匀地分布在球面上。推力取决于尖端的高度 $\cos\theta$，它在 $-1$ 与 $+1$ 之间。现在把球横着切成厚度相同的一圈圈。阿基米德最早证明了一个奇妙的事实：每一圈的面积都相同。靠近顶部的一圈半径小，但它的球面更倾斜，两种效应恰好抵消。所以 $-1$ 到 $+1$ 之间每个高度出现得一样多，原子应该在玻璃上均匀地铺成一整条连续的带。选择“如果电子是普通磁体”，就能看到这个预测。

现在选择“实际发生的情况”。银落成了两条分开的带，一条在中心上方，一条在下方，中间什么也没有。（两条带弯得像一对嘴唇，是因为在刃口中部下方磁场最强，原子束中部的原子被推得最远。）格拉赫把这个结果写在一张明信片上寄给了玻尔。没有一个原子落在中间，而横躺的原子本应落在那里。为了便于区分两组原子，模型把上面的沉积画成橙色，下面的画成蓝色；真实的银都是同一种颜色。

两条带意味着什么？每个原子要么被完全向上推，要么被完全向下推，从来没有只推一部分的。推力衡量的是原子磁体竖直方向的那一部分，而磁性与自旋成正比，所以自旋在竖直方向上的部分只能取两个值：$+\hbar/2$ 或 $-\hbar/2$。我们把这两个结果叫作自旋向上和自旋向下。只能取某些分立数值的量叫作量子化的量；你在玻尔原子模型的能级中已经见过这个想法。

在原子到达时数一数。大约一半落在每一条带上，数的原子越多，两边的比例越接近 $\tfrac12$。对刚从炉子出来的原子来说，每个结果的概率都是 $\tfrac12$。我们无法预先说出某一个原子会落在哪条带上，只能说出每个结果有多大可能。

会不会是炉子本来就只产生自旋朝正上或正下的原子？试一试：把整块磁铁连同狭缝一起绕原子束转动。用下面的角度控件，并观察屏幕。转到 $90^{\circ}$ 时，磁铁测量的是横向，两条带出现在左右两边。无论选什么角度，总是恰好两条带，沿着磁铁的方向。

这对普通的箭头来说已经很奇怪了。一支指向正上方的箭头完全没有横向的部分，从横向去测应该得到 $0$。而自旋沿任何方向都不会给出 $0$：每次测量都沿着我们选择的方向，给出 $+\hbar/2$ 或 $-\hbar/2$。答案只作为我们所提问题的回答而存在。

要走得更远，需要一个更方便的工具。分析器就是一台小型的施特恩—格拉赫磁铁，只不过它没有玻璃板，而是有两个出口：结果为 $+$ 的原子从上方的出口（橙色环）出来，结果为 $-$ 的原子从下方的出口（蓝色环）出来。我们可以用盖子堵住任意一个出口，挡住那些原子，让其余原子继续进入第二台分析器。最后，两个收集杯统计到达的原子。

把两台竖直的分析器排成一行。堵住第一台下方的出口，只让结果为“向上”的原子继续前进，再竖直地测一次。它们每一个都再次给出“向上”，蓝色收集杯一直是空的。一个原子一旦给出了“向上”，再问它同样的问题，它就一直给出“向上”。第一台分析器准备好了它的状态：我们说它的自旋现在处于“沿竖直方向向上”的状态。

现在把第二台分析器横过来，转到 $90^{\circ}$，第一台仍然只留下竖直方向“向上”的原子。这些原子在竖直方向上肯定是向上的，可是横向去测，大约一半给出“+”，一半给出“−”。知道竖直方向的答案，对横向的答案毫无帮助。

试试其他角度。$0^{\circ}$ 时每个原子都给出“+”。$180^{\circ}$ 时分析器上下颠倒了：它的“+”出口收集的是沿“朝下”方向向上的原子，所以每个原子（它们沿竖直方向向上）都给出“−”。在两者之间，给出“+”的比例平滑地减小。大量精确的实验都符合同一条规则：自旋沿一个方向准备为向上，再沿转过 $\theta$ 角的方向测量，那么

用下面的计数检验几个角度。$\theta = 60^{\circ}$ 时，$\cos 30^{\circ} \approx 0.866$，$0.866^2 = 0.75$：四个原子里有三个给出“+”。$\theta = 90^{\circ}$ 时，$\cos 45^{\circ} \approx 0.707$，$0.707^2 = 0.5$：一半。$\theta = 120^{\circ}$ 时，$\cos 60^{\circ} = 0.5$，$0.5^2 = 0.25$：四个里有一个。每个原子仍然只给出 $+$ 或 $-$；规则告诉我们的是每种结果出现得有多频繁。

这条规则和普通箭头的图像有一个漂亮的联系。把每个“+”记作 $+1$，每个“−”记作 $-1$，对很多原子取平均。比例为 $P_+$ 的原子得 $+1$，其余的 $1 - P_+$ 得 $-1$，所以平均值是 $P_+ - (1 - P_+) = 2P_+ - 1$。代入 $P_+ = \cos^2(\theta/2)$：

最后一步用了二倍角公式 $\cos\theta = 2\cos^2(\theta/2) - 1$。所以大量结果的平均值是 $\cos\theta$，正是一支长度为 1、倾斜 $\theta$ 角的普通箭头会给出的值。每一次结果都是“全有或全无”，但平均起来，自旋表现得像那支箭头。这就是箭头图像有用的原因，也是它永远不能代表全部的原因。

我们可以用三台分析器，检查自旋是否像一支普通箭头。第一台竖直放置，只留下“向上”，所以离开它的原子沿竖直方向测量都会给出“向上”。末端那台也竖直放置。如果两台之间没有别的装置，到达末端的原子就都会给出“向上”，蓝色收集杯是空的。现在在中间放一台横向分析器，只留下它的“+”原子。末端的测量还会得到相同结果吗？

运行一下。一半原子在第一台分析器被挡住，剩下的一半又在横向分析器被挡住，到达最后一台的那四分之一里，现在有一半给出“向下”。加了一道只会挡掉原子的“筛子”，反而让原本没有的“向下”原子出现了。如果每个原子都带着一支同时具有确定竖直分量和确定横向分量的小箭头，中间的分析器只能丢掉原子，绝不可能把一个“向上”的原子变成“向下”。

所以，横向的测量改变了原子。经过中间的分析器后，每个通过的原子在横向是“+”，仅此而已；它原来的“向上”已经消失了。接着，最后一台分析器再问竖直方向的问题，按第 9 章的规则，$\theta = 90^{\circ}$，“向上”和“向下”的概率各为 $\tfrac12$。自旋一次只能在一个方向上是确定的，而每次测量都会让它在刚刚测量的方向上变成确定的。

现在可以把完整的答案合起来了，每一点都有本页的内容作依据。

所以，自旋既不是一个在转的球，也不是一支同时在每个方向上都有确定分量的箭头。一个值得记住的图像是：一支一次只能回答一个问题的箭头。沿任何方向问它，它只会回答“顺着你”或“逆着你”；而“问”这个动作本身，会把它转到你所问的方向上。

化学。原子中的两个电子要共用同一个轨道，自旋必须相反，一个向上一个向下，而且第三个电子不能再加入。这条规则叫泡利不相容原理，它使电子一层一层地填充原子，而不是全部挤到最低的能级上，由此塑造了整张元素周期表。共价键就是两个原子共用的一对自旋相反的电子。

磁铁。大多数物质中，电子的自旋两两成对，磁性互相抵消。而在铁、钴、镍里，相邻的自旋倾向于排成同一方向，于是大片区域被磁化：冰箱磁铁的磁性就是从这里来的。

医学。水中氢原子的质子也有 $\tfrac12$ 的自旋。磁共振成像（MRI）把人体放进强磁场，用无线电波翻转这些自旋；它们回到原来状态时发出的信号，显示出水在哪里，从而显示体内组织的形状。

粒子。自旋把所有种类的粒子分成两大家族。自旋量子数为半整数（$\tfrac12$、$\tfrac32$……）的粒子，例如电子和夸克，叫作费米子，遵守不相容原理，它们构成物质；自旋量子数为整数（$0$、$1$……）的粒子，例如光子，叫作玻色子，传递相互作用的粒子是玻色子，但并非每种玻色子都传递力；希格斯玻色子也是玻色子的一种。标准模型页面会在这里继续展开。