共享电子，让原子成键
氢气由 H₂ 分子组成：两个氢原子结合在一起。可这两个原子完全相同，谁也夺不走对方的电子，所以它们不能像食盐那样结合。食盐里是一个原子把电子交给另一个原子，离子键页面讲了这种方式。水、糖、DNA 和塑料，也都靠另一种方式结合：共用电子。共用也有一个最合适的距离，所以每一种键都有典型的键长；这些共用电子对还会决定分子的形状，分子的空间结构页面会讲到这一点。
两个氢原子各有一个电子。如果它们靠近，怎样形成一个氢分子？我们先观察共用电子对的含义，再改变两个原子之间的距离。离得远近不同，储存的能量也不同。这种由位置决定的能量叫势能，我们比较它怎样变化。这样就能进一步解释：为什么原子可以结合在一起，却不会无限靠近。理解这个例子后，再比较 键和 键的空间形状。
01同一对电子，受到两个核的吸引
一个氢原子含一个质子和一个电子。两个氢原子可以共享两颗电子，形成 H₂。共享的负电荷同时受到两个正电核的吸引；下图箭头表示原子核受到的、指向共享区域的吸引。一条单键线代表一个共享电子对。
这是两个氢最内层电子云（1s）波函数的归一化线性组合示意。云表示概率密度，不是坚硬表面。靠近过程用于比较电子分布，不是碰撞模拟或反应速率计算。原子核和电子标记为便于观察而放大。
02为什么化学键具有特定长度？
先继续观察同一个 H₂ 分子。原子核相互排斥，电子之间也相互排斥，而原子核与电子相互吸引。距离很近时，电子的量子能量也会显著变化。对于具有已占据内层的原子，泡利原理对重叠占据态的限制也是重要的短程贡献。各种贡献共同决定总势能曲线；最低点给出平衡核间距，也就是键长。
依次使用三个距离按钮。61 pm 时，把向外的力箭头与势能曲线左侧的较高位置对照；74 pm 时，两个力箭头在最低点消失；107 pm 时，箭头转为向内。暂停状态方便比较这三个位置。点击“观察键的振动”，就能看到运动中的原子怎样越过最低点。先记住三句话：最低点就是键长；最低点的斜率为零，所以合力为零；偏离最低点，力就把原子拉回。模型下面会逐步说明为什么曲线的斜率给出这样的力方向。后面几小节是选读的推导，读不懂可以先跳过，直接用这三句话。
“观察键的振动”保持机械能，让两核持续在势能最低点两侧振动。拖动后放开则加入阻尼，表示能量传递给假想环境。运动被大幅放慢，并使用经典教学势能，并非 H₂ 的量子模拟。
先把力与能量变化联系起来
设 r 是两个原子核之间的距离，沿两核连线朝距离增大的方向取正。径向力 Fᵣ 为正，表示它倾向于增大 r。功表示力通过位移传递的能量。位移 Δr 很小、这段力变化很小时，电力做功约为 FᵣΔr。势能 U 的定义使这段功等于势能的减少：减少的势能可以变成运动能量。
这个分式是图的高度变化除以距离变化。计算时，Δr 不为零，所以可以相除。让这段非零位移逐渐接近零，所得比值就趋近曲线在当前位置的斜率，dU/dr 就是它的记号。负号很重要：若 r 增大时 U 上升，斜率为正，力便朝 r 减小的方向；若 U 下降，力便朝 r 增大的方向。这就解释了平滑势能最低点两侧的箭头为什么都指向恢复平衡的方向。
两个点电荷的势能为什么含有 1/r
库仑定律是实验起点：两个点电荷间 Fᵣ = kq₁q₂/r²。q₁、q₂ 是带正负号的电荷，k 是库仑常量，且 r > 0。乘积为正表示排斥，为负表示吸引。我们现在要把距离改变过程中做的功加起来；不能拿某一个位置的力乘上整个距离，因为途中力一直在变化。
把从 r 到更远距离 R 的过程分成许多短段。对其中 a 到 b 这一段，选中间距离 √(ab)，它介于 a、b 之间。为什么这样选？因为它的平方正好是 ab，可以把这一小段的近似功写成两个分式之差：
下一小段从 b 开始，产生的 +1/b 正好抵消这一段的 −1/b。每个内部端点都这样相消。当最宽的小段也趋向零时，连续变化的力在每一段上近似不变，求和趋向精确的功。最后只剩首、尾端点：
选择无限远处的势能为零。R 无限增大时，1/R 趋于零，U(R) 趋于选定的零点，因此 U(r) = kq₁q₂/r。异号电荷的势能为负，表示靠近后的能量低于分离时的参考值；负号与我们选的零点有关，不是物质数量为负。
放开原子以前，先读懂键的曲线
分子包含多项电荷相互作用和电子的量子能量，不能用一项点电荷势能代替总和。刚才使用的图采用选定的教学曲线，最低点放在 r₀ = 74 pm，这是 H₂ 平衡键长的代表值。皮米 pm 是一万亿分之一米。曲线是模型输入，不是从量子计算推出这个实测键长。
这里画出的曲线用 s = r/r₀ 表示距离，也就是把当前距离与平衡距离 r₀ 作比较。我们取 q = exp[−2.8(s−1)]，相对势能为 U = (1−q)²−1。exp(x) 表示固定数 e（约为 2.718）的 x 次方；它始终为正，随 x 增大而增大，且 exp(0) = 1。2.8 控制这条示意势阱的宽度，能量单位使深度为 1。不用求导规则也能检查最低点：平方不能为负，所以 U ≥ −1。等号要求 q = 1，于是 s = 1、r = r₀。
距离较大时，s > 1 对应 0 < q < 1；继续增大 s 会使 q 变小，(1−q)² 增大，能量上升并趋近零，所以力向内拉。s < 1 时 q > 1；继续向内会使 q 增大，(q−1)² 增大，能量又上升，所以力向外推。平滑最低点的斜率为零，因此合力为零；但已运动的原子不会立即停住。它越过最低点后，会受到反向的力而减速。
现在再使用核间距滑块，同时看势能图上的点与原子上的箭头。“放到平衡点”把 r 设为 74 pm。“观察键的振动”开始最低点附近的慢放经典运动，你可以随时暂停检查；拖动后放开会加入阻尼，表示能量传给假想的周围环境。
电学起点：库仑定律
两个点电荷间的力随电荷大小增加，随距离平方增加而减小。异号相吸，同号相斥。、 是电荷， 是它们的距离， 是库仑常量。
力不是势能
令无限远处势能为零，两个点电荷的电势能如上。力告诉我们能量随位置怎样变化。分子能量包含多种相互作用与量子运动，不能只用这一项代替整个化学键。
最低点为什么稳定
在最低点两侧，小幅偏离都会产生恢复力，真实化学键会在平衡位置附近振动。距离很远时，吸引很弱，原子并非从任意远处都会瞬间回归。图中 H₂ 的平衡键长约为 74 pm。
03搭建三键：一个 ，两个
这里选择乙炔分子 ，重点观察中间的两个碳。轨道描述电子可能出现的分布，并非运行轨道。在这个成键模型中，每个碳用朝内的 sp 轨道参与 成键，用两组相互垂直的 p 轨道参与 成键。我们按顺序揭示它们，便于逐个观察。
这些名称在构造中分别指什么呢？ 函数没有特别偏向的方向； 函数在核的相反两侧有正负两瓣。sp 描述把一个 和一个 组合，得到沿碳链指向两边的两个函数，另外两个 方向保留并与碳链垂直。朝内的函数沿两核连线重叠，叫 ，读作 sigma；其余 函数在这条线的两侧并排重叠，叫 ，读作 pi。“从两侧贡献开始”会显示每个原子提供的部分。只显示迎头的 重叠，就可以单独检查这条键；加入一个 分量，就能看出剩下的每对 函数贡献了什么。
迎头重叠
读作 sigma。密度围绕连接两核的轴分布。在这个模型中，单键是 键； 的中央 电子对沿核间轴共享。
π — 侧向重叠
读作 pi。每个参与的 p 函数在两瓣之间的平面上为零，两核也位于这个共同平面。因此两份函数相加仍是 0 + 0 = 0，平方后密度为零。两瓣合起来描述一个轨道，不是两个键。乙炔有两组相互垂直的 轨道。
六颗电子，并非六个云点
每个碳提供 4 颗外层价电子，每个氢提供 1 颗，总共 颗。 三键占 3 对，所以是 颗；两个 键再占 颗，合计 。每个碳另外还有 2 颗内层 1s 电子，没有画进此图。成键重新安排电子，不会创造它们。
依次显现只是讲解顺序，并不表示真实乙炔按这个时间顺序逐条成键。双叶轮廓帮助辨认各 p 轨道的角向形状，周围柔和的云用高斯近似采样概率密度；共享密度形成时，同一组轮廓连续伸展并连通；这段形变用于教学，不是计算得到的反应轨迹。这不是分子量子化学计算，省略了 C–H 电子云和碳的内层电子。颜色区分轨道，不代表相位；电子云没有坚硬边界。
04为什么一对电子画成相反自旋？
电子有一种内禀量子性质，叫自旋。相对于同一测量轴，两个可能结果标为 ↑、↓；这是量子模型的输入，不是小球自转。泡利不相容原理是另一条起始规则：两颗电子不能占据同一个完整的单电子态。在一个空间轨道中，空间部分已经相同，只能使用两个不同自旋态来区分两颗电子。第三颗若再进入，就必须重复其中一个完整状态，违反规则。因此一个轨道最多放两颗电子，且自旋相反。
相反自旋是一个轨道内配对的占据条件，并不意味着任意两颗相反自旋的电子一定形成化学键。稳定成键还要求合适的轨道与更低的总能量。刚才的 H₂ 曲线展示了这个能量条件，相反自旋不能替代它。
想一想：一个 π 键的上、下两瓣，各有一个电子对吗？
不是。两瓣共同属于一个空间 轨道，合计两颗电子。乙炔的另一对 电子占据垂直方向的另一个轨道。
