Presión en el agua y flotación

Con zapatos normales te hundes en nieve profunda; con esquís, apenas lo haces. Tu peso es el mismo, pero cambia el área que lo soporta. Repartir la misma fuerza sobre más superficie reduce la fuerza por metro cuadrado. La presión mide eso: fuerza dividida entre el área sobre la que actúa.

La fuerza se mide en newtons y el área en metros cuadrados, así que la presión se mide en newtons por metro cuadrado, unidad llamada pascal: $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$. Un pascal es pequeño y solemos usar kilopascales: $1\ \mathrm{kPa} = 1000\ \mathrm{Pa}$.

Mantén el peso en $600\ \mathrm{N}$ y cambia el área de apoyo para ver cuánto se hunde en la nieve blanda.

Si las suelas suman $0.05\ \mathrm{m^2}$, un peso de $600\ \mathrm{N}$ produce $p = 600/0.05 = 12\,000\ \mathrm{Pa} = 12\ \mathrm{kPa}$. Con esquís de área $0.3\ \mathrm{m^2}$, el mismo peso produce $p = 600/0.3 = 2000\ \mathrm{Pa}$: multiplicar el área por seis divide la presión entre seis.

Pensemos en el agua en reposo del tanque. Tomemos una pequeña superficie horizontal de área $A$ a profundidad $h$. ¿Qué pesa sobre ella? El agua situada justo encima: una columna con esa superficie como base y la superficie del agua como parte superior.

El volumen de la columna es $Ah$, área de la base por altura. La densidad, $\rho$, letra griega rho, es la masa por metro cúbico. Un metro cúbico de agua tiene masa $1000\ \mathrm{kg}$, así que su $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$. La columna tiene masa $\rho A h$ y peso $\rho A h g$, donde $g = 9.81\ \mathrm{N/kg}$ es el peso por kilogramo. Como está en reposo, algo la sostiene: el agua inferior empuja su base hacia arriba con una fuerza igual a su peso. El agua lateral solo empuja horizontalmente y no ayuda a sostenerla. Dividir esa fuerza entre el área da la presión a profundidad $h$:

El área $A$ se cancela: la presión no depende del tamaño de la superficie elegida, solo de la profundidad, y es proporcional a ella. Duplicar la profundidad duplica la presión. En $h = 1\ \mathrm{m}$, $p = 1000 \times 9.81 \times 1 = 9810\ \mathrm{Pa}$, aproximadamente $9.8\ \mathrm{kPa}$.

Baja la superficie y observa cómo crece la columna de agua encima. Su área es $10\ \mathrm{cm} \times 10\ \mathrm{cm}$, por lo que $A = 0.01\ \mathrm{m^2}$.

En $h = 2\ \mathrm{m}$, la columna contiene $0.01 \times 2 = 0.02\ \mathrm{m^3}$ de agua, de masa $1000 \times 0.02 = 20\ \mathrm{kg}$ y peso $20 \times 9.81 = 196.2\ \mathrm{N}$. Repartido sobre $0.01\ \mathrm{m^2}$, produce presión $196.2/0.01 = 19\,620\ \mathrm{Pa}$, exactamente $\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 2$.

Falta el aire. La atmósfera presiona la superficie del agua con unos $101\ \mathrm{kPa}$ al nivel del mar, y se suma a la presión en cada profundidad: $p = p_0 + \rho g h$, donde $p_0$ es la presión atmosférica. Un manómetro suele mostrar solo la contribución del agua, $p - p_0 = \rho g h$, llamada presión manométrica. A diez metros, el agua añade $1000 \times 9.81 \times 10 = 98\,100\ \mathrm{Pa}$, casi otra atmósfera completa; por eso lo notan los oídos del buceador.

Otra consecuencia: en agua en reposo, dos puntos a igual profundidad tienen la misma presión. Si no, el agua entre ellos sería empujada desde la presión mayor hacia la menor y fluiría, contradiciendo el reposo. Por tanto, la presión solo depende de la profundidad, no de la forma del recipiente.

Hasta ahora la superficie era horizontal y recibía presión desde arriba. Pero el agua también presiona las paredes del tanque y los costados de los peces. Los experimentos muestran que, en un punto del agua en reposo, la presión es igual sobre pequeñas superficies orientadas en cualquier dirección, arriba, abajo o lateralmente, y siempre empuja perpendicularmente a ellas. Esto último tiene una razón sencilla: el agua no conserva su forma y, a diferencia de la madera, no resiste una fuerza que deslice una capa sobre otra. En reposo solo puede ejercer una fuerza perpendicular; cualquier componente paralela haría que fluyera.

Introduzcamos una caja con caras superior e inferior horizontales, ambas de área $A$, y altura $H$. La cara superior está a profundidad $h_1$ y la inferior a $h_2 = h_1 + H$. El agua presiona sus seis caras.

Empecemos por las cuatro caras laterales. Cada una tiene otra enfrente que ocupa las mismas profundidades. Como la presión solo depende de la profundidad, las fuerzas en caras opuestas son iguales y contrarias: se cancelan. Comprimen la caja, pero no la trasladan.

La presión a profundidad $h_1$ empuja la cara superior hacia abajo, y la de profundidad $h_2$ empuja la inferior hacia arriba. La fuerza es presión por área, como vimos en la sección 1, así que

La cara inferior está más profunda y recibe mayor empuje. La diferencia $h_2 - h_1$ es la altura $H$, y $HA$ es el volumen $V$. La fuerza neta del agua apunta hacia arriba y vale $\rho g V$. Observa: $\rho V$ es la masa de una porción de agua del tamaño de la caja y $\rho V g$, su peso. La fuerza ascendente equivale al peso del agua desplazada. Esta fuerza neta se llama empuje de flotación y la regla es el principio de Arquímedes. Usamos presión manométrica: la atmosférica $p_0$ añade a ambas caras la misma fuerza $p_0 A$, que se cancela.

Sube y baja la caja y cambia su altura. Su sección transversal es $0.5\ \mathrm{m} \times 0.5\ \mathrm{m}$, así que $A = 0.25\ \mathrm{m^2}$. La longitud de las flechas representa las fuerzas.

Con $H = 0.4\ \mathrm{m}$ y la cara superior en $h_1 = 0.6\ \mathrm{m}$, obtenemos $F_{\text{down}} = 1000 \times 9.81 \times 0.6 \times 0.25 = 1471.5\ \mathrm{N}$ y $F_{\text{up}} = 1000 \times 9.81 \times 1.0 \times 0.25 = 2452.5\ \mathrm{N}$, cuya diferencia es $981\ \mathrm{N}$. El volumen de la caja es $0.4 \times 0.25 = 0.1\ \mathrm{m^3}$ y $0.1\ \mathrm{m^3}$ de agua pesan $1000 \times 0.1 \times 9.81 = 981\ \mathrm{N}$. Baja la caja $0.5\ \mathrm{m}$ más: las fuerzas pasan a $2697.75\ \mathrm{N}$ y $3678.75\ \mathrm{N}$, pero la diferencia sigue siendo $981\ \mathrm{N}$.

Observa que $h_1$ desapareció. Bajar más la caja aumenta ambas fuerzas por igual y no cambia la diferencia. Una vez totalmente sumergida, el empuje no depende de la profundidad. Si la cara superior sale del agua, ya no recibe fuerza del agua y el empuje ascendente es $\rho g h_2 A$: el peso del agua que llenaría exactamente la parte sumergida.

La caja es sencilla porque sus caras superior e inferior son planas y horizontales. Una esfera o un pez tiene una superficie curva y fuerzas en distintas direcciones. En lugar de sumarlas una a una, usemos un argumento válido para cualquier forma. Imagina sustituir el objeto por agua que ocupe exactamente el mismo espacio, con igual forma y posición. Esa porción es parte del agua en reposo y no se mueve, así que la fuerza total del agua circundante debe equilibrar su peso: apunta hacia arriba y vale $\rho V g$. Al devolver el objeto, el agua circundante sigue a las mismas profundidades y actúa sobre su superficie exactamente como sobre aquella porción. El empuje sobre cualquier objeto equivale al peso del agua que desplaza:

Aquí $V_{\text{sub}}$ es el volumen de la parte sumergida, porque solo ella desplaza agua.

¿Subirá o se hundirá? Comparemos su peso con el máximo empuje. Un objeto de densidad $\rho_{\text{obj}}$ y volumen $V$ tiene masa $\rho_{\text{obj}} V$ y peso $W = \rho_{\text{obj}} V g$. Totalmente sumergido recibe empuje $\rho_{\text{water}} V g$. Ambos contienen $Vg$, así que basta comparar densidades: si $\rho_{\text{obj}} > \rho_{\text{water}}$, vence el peso y se hunde; si $\rho_{\text{obj}} < \rho_{\text{water}}$, vence el empuje y sube. Si las densidades son iguales, el empuje y el peso se equilibran: es la flotabilidad neutra. Sin otras fuerzas verticales ni movimiento inicial, puede permanecer a esa profundidad.

Cuando un objeto menos denso emerge, desplaza menos agua y el empuje disminuye. La profundidad donde empuje y peso se igualan es su posición de equilibrio de flotación. Puede atravesarla todavía en movimiento y oscilar alrededor; la resistencia del agua amortigua ese movimiento. Solo cuando flota en reposo, sin otros apoyos ni fuerzas externas, podemos aplicar la condición de equilibrio $B = W$:

La segunda línea divide ambos lados entre $g$ y $\rho_{\text{water}} V$. Por tanto, la fracción sumergida es $\rho_{\text{obj}}/\rho_{\text{water}}$. Una madera de densidad $650\ \mathrm{kg/m^3}$ flota con $650/1000 = 0.65$ de su volumen bajo el agua. Un barco de acero flota porque encierra mucho aire: su densidad media, masa total dividida entre el volumen total incluido el aire interior, es menor que la del agua.

Comprobémoslo en el tanque. Hay una esfera de radio $0.43\ \mathrm{m}$ sobre el agua. El control de densidad cambia el material, pero no el tamaño. La sonda dorada mide la presión manométrica a la profundidad elegida. Puedes agarrar la esfera con el puntero, sumergirla y soltarla.

Su volumen es $V = \tfrac{4}{3}\pi R^3 = \tfrac{4}{3}\pi \times 0.43^3 = 0.333\ \mathrm{m^3}$. Con densidad $650\ \mathrm{kg/m^3}$, tiene masa $650 \times 0.333 = 216.5\ \mathrm{kg}$ y peso $216.5 \times 9.81 = 2124\ \mathrm{N}$. Totalmente sumergida desplaza $0.333\ \mathrm{m^3}$ de agua y recibe empuje $1000 \times 0.333 \times 9.81 = 3267\ \mathrm{N}$, mayor que su peso. Al soltarla sube y termina en reposo con $0.65$ del volumen sumergido.

Antes de reproducir, piensa: ¿qué ocurrirá con densidad $1200\ \mathrm{kg/m^3}$?

Reproduce, agarra la esfera, sumérgela y suéltala. Prueba densidades mayores y menores que $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ y baja la sonda para comprobar $\rho g h$. Cuando la esfera se mueve, el agua también ejerce resistencia. Que empuje y peso coincidan un instante no significa por sí solo que ya esté quieta. En flotación en reposo se equilibran; una esfera más pesada que llega al fondo también necesita la fuerza de apoyo ascendente del fondo.